安徽省江南十校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月分科診斷模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年“江南十?！备咭环挚圃\斷摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷總分為150分，數(shù)學(xué)考試總時(shí)間為120分鐘；2.本試卷包括“試題卷”和“答題卷”，請務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題無效；3.考生作答時(shí)，請將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷的相應(yīng)位置.第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求.1.下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合之間關(guān)系直接判斷即可.【詳解】對于A，為無理數(shù)，，A正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，，，C錯(cuò)誤；對于D，由得：或，不是的子集，D錯(cuò)誤.故選：A.2.設(shè)命題：，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷.【詳解】由題意可知：命題的否定是：，.故選：D.3.“，”恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)恒成立求解，即可根據(jù)集合間的關(guān)系求解.【詳解】若對，恒成立,則，故，由于是的真子集，所以符合題意，選項(xiàng)AB是既不充分也不必要條件，D是充要條件，故選：C4.已知實(shí)數(shù)，，則下列不等式一定成立是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式性質(zhì)可知A錯(cuò)誤，利用特殊值代入可得BC不一定成立，根據(jù)不等式性質(zhì)可證明D正確.【詳解】由題意可知，但不一定成立，即不一定成立，A錯(cuò)誤；不妨取，此時(shí)，即不一定成立，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，顯然，此時(shí)不一定成立，C錯(cuò)誤；由可知，又，所以，即；即D正確.故選：D5.如圖是杭州2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長度是，弧長度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（）A.9 B.8 C.4 D.3【答案】B【解析】【分析】由弧長比可得半徑比，結(jié)合扇形面積公式求解.【詳解】設(shè)，，則，則∴，故.故選：B6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義，得到函數(shù)為偶函數(shù)，且，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除C、D項(xiàng)；又由，可排除B項(xiàng)，所以A符合題意.故選：A.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，則，而，所以，所以，故.故選：B.8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解法1：根據(jù)題意，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把不等式化簡為，令，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根據(jù)題意，得到，設(shè)，得到為偶函數(shù)，求得關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】解法1：由函數(shù)，則不等式，即為，可得，即，令，則，即，解得，即，解得，所以不等式的解集為.解法2：由函數(shù)，可得，設(shè)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，可得關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，所以不等式，即為，可得，即，解得，所以不等式的解集為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中正確的有（）A.是冪函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則B.的單調(diào)遞增區(qū)間是C.的定義域?yàn)椋瑒tD.的值域是【答案】AD【解析】【分析】A由冪函數(shù)及其單調(diào)性求參數(shù)；B由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求增區(qū)間；C根據(jù)定義域及二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍；D換元法及二次函數(shù)性質(zhì)求值域.【詳解】A：是冪函數(shù)，則，得或，又在單減，故，對；B：由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有且，所以單增區(qū)間是，錯(cuò)；C：定義域?yàn)?，則或，錯(cuò)；D：令，則，對.故選：AD10.下列選項(xiàng)中，結(jié)果為正數(shù)的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)角的象限，分別求得其取值范圍，結(jié)合正弦值與余弦的值關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，可得，所以，所以A正確由，可得且，所以，，所以B正確，C錯(cuò)誤；由，可得，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知正數(shù)，滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為10【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)闉檎龜?shù)，A項(xiàng)，或（舍去），當(dāng)時(shí)取等，故A正確；B項(xiàng)，，解得或（舍去），即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故C正確；D項(xiàng)，，解得（負(fù)值舍去），當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等，故D正確.故選：ACD.12.高斯是德國的著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和大地測量學(xué)家.他被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù).高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，則（）A.的值域是B.方程有無數(shù)組解C.是單調(diào)函數(shù)D.方程有3個(gè)根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù)，設(shè)，則，則,，即的值域?yàn)?，故A正確．當(dāng)，，且時(shí),，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)，則，當(dāng)，則（不符合題意，舍去），當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，，故D正確，故選：ABD第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的定義域是，則的定義域是__________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)定義域求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，即，所以，若求函數(shù)的定義域，則有，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.14.已知，則______.【答案】1012【解析】【分析】根據(jù)題意，令，求得，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】令，則，所以故答案為：15.若對恒成立，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)恒成立得到，，利用均值不等式計(jì)算最值得到答案.【詳解】令，對恒成立，則，即得，故，又，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以的最大值為.故答案為：.16.已知若有六個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令，則，作出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為在上有兩解，列出不等式組，即可求解.【詳解】令，則，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)分別為，由圖象知，要使得有六個(gè)根，轉(zhuǎn)化為在上有兩解，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，且為第二象限角（1）求，；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡求值.【小問1詳解】由得，代入得，又為第二象限角，得，【小問2詳解】由誘導(dǎo)公式，有.18.已知集合，集合（1）若，求和；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集、交集、并集的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)集合交集的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合分類討論思想進(jìn)行求解即可.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，或，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，即，即，滿足；當(dāng)時(shí)，即，由得或，解得或；綜上，.19.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)（1）求，的值；（2）判斷并證明在上的單調(diào)性.【答案】（1），（2）是上單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.【小問1詳解】由是上的奇函數(shù)，所以，得又恒成立，所以，即，【小問2詳解】是上的遞增函數(shù)證明如下：由（1）知，，在上任取，，不妨令，則，因?yàn)椋?，所以，所以是上單調(diào)遞增函數(shù)20.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“打造生態(tài)旅游”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）元.已知這種水果的市場售價(jià)大約21元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）（1）寫出單株利潤（元）關(guān)于施用肥料（千克）的關(guān)系式；（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）當(dāng)施肥量為3千克時(shí)，利潤最大，最大利潤是540元【解析】【分析】（1）用銷售額減去成本投入得出利潤的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式求出的最大值.【小問1詳解】由題意可知，，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，對稱軸，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，有最大值540元，因?yàn)椋援?dāng)施肥量為3千克時(shí)，利潤最大，最大利潤是540元.21.已知定義在上的函數(shù)滿足，（1）求，并證明為奇函數(shù)；（2）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，解不等式：.【答案】（1），證明見解析（2）【解析】【分析】（1）賦值法求出，再由奇偶函數(shù)定義證明奇偶性即可；（2）根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)化簡，再由單調(diào)性脫去“”，解一元二次不等式即可得解.【小問1詳解】令，得，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，得，所以,即，所以奇函數(shù).【小問2詳解】因?yàn)?，所以原不等式等價(jià)于，又，所以，，即，又是上的遞增函數(shù)，所以，解得或，原不等式的解集為.22.若在上的值域是的子集，則稱函數(shù)在上是封閉的.（1）若在上是封閉的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在上是封閉的，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義，即求