貴州省貴陽市第十三中學高三數學文模擬試卷含解析

貴州省貴陽市第十三中學高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=x在[0，1）上的最大值為m，在（1，2]上的最小值為n，則m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：D【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】通過變形可知f（x）=1++sinπx，進而可知當x∈[0，1）時，函數g（x）=+sinπx滿足g（2﹣x）=﹣g（x），由此可知在區(qū)間[0，1）∪（1，2]上，函數f（x）關于點（1，1）中心對稱，利用對稱性即得結論．【解答】解：f（x）=x=1++sinπx，記g（x）=+sinπx，則當x∈[0，1）時，g（2﹣x）=+sinπ（2﹣x）=﹣sinπx，即在區(qū)間[0，1）∪（1，2]上，函數f（x）關于點（1，1）中心對稱，∴m+n=2，故選：D．2.函數f（x）為R上的可導函數，其導函數為f'（x），且，在△ABC中，f（A）=f'（B）=1，則△ABC的形狀為

A.等腰銳角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰鈍角三角形參考答案：D【分析】求函數的導數，先求出，然后利用輔助角公式進行化簡，求出A，B的大小即可判斷三角形的形狀．【詳解】函數的導數，則，則，則，則，，，，即，則，得，，即，則，則，則，則，即△ABC是等腰鈍角三角形，故選D．3.（5分）（2014?重慶）在復平面內復數Z=i（1﹣2i）對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限參考答案：A【分析】根據復數乘法的運算法則，我們可以將復數Z化為a=bi（a，b∈R）的形式，分析實部和虛部的符號，即可得到答案．【解答】解：∵復數Z=i（1﹣2i）=2+i∵復數Z的實部2＞0，虛部1＞0∴復數Z在復平面內對應的點位于第一象限故選A【點評】本題考查的知識是復數的代數表示法及其幾何意義，其中根據復數乘法的運算法則，將復數Z化為a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本題的關鍵．4.已知集合，則B中所含元素的個數為

A．3

B．6

C．8

D．10參考答案：C當時，；當時，；當時，；當時，．共有8個元素5.如右圖，若輸入n的值為4，則輸出m的值為A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.若，則

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.已知x，y滿足不等式組則目標函數z=3x+y的最大值為（）A．B．12C．8D．24參考答案：B略8.函數是定義在R上的增函數，且函數滿足,若任意的恒成立，則a的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：B略9.已知正數滿足：三數的倒數成等差數列，則的最小值為（

）A、1

B、2

C、 D、4參考答案：B略10.已知f(x)是定義域為(－∞,+∞)的奇函數，滿足f(1－x)=f(1+x)．若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=A．－50 B．0 C．2 D．50參考答案：C 因為f(x)是定義域為(－∞,+∞)的奇函數，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數列{an}的前n項和Sn滿足4an﹣3Sn=2，其中n∈N*．則數列{an}的通項公式為．參考答案：an=2?4n﹣1【考點】數列遞推式．【分析】4an﹣3Sn=2，當n≥2時，4an﹣1﹣3Sn﹣1=2，兩式相減可得：4an﹣4an﹣1﹣3an=0，an=4an﹣1，當n=1時，4a1﹣3S1=2，解得：：：a1=2，數列{an}是2為首項，公比為4的等比數列，根據等比數列的通項公式即可求得數列{an}的通項公式．【解答】解：由4an﹣3Sn=2，①當n≥2時，4an﹣1﹣3Sn﹣1=2，②4an﹣4an﹣1﹣3（Sn﹣Sn﹣1）=0，即4an﹣4an﹣1﹣3an=0，整理得：an=4an﹣1，當n=1時，4a1﹣3S1=2，解得：：：a1=2，由a1=2，得an≠0，=4，其中n≥2．故數列{an}是2為首項，公比為4的等比數列，由等比數列的通項公式：an=a1?qn﹣1=2?4n﹣1，故答案為：an=2?4n﹣1．12.設f﹣1（x）為f（x）=﹣cosx+，x∈（0，π]的反函數，則y=f（x）+f﹣1（x）的最大值為．參考答案：【考點】反函數．【分析】根據f（x）是（0，π]上的單調增函數，且f（x）與f﹣1（x）單調性相同，得出y=f（x）+f﹣1（x）的定義域是（a，]，計算y=f（x）+f﹣1（x）的最大值為f（）+f﹣1（）．【解答】解：∵f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]上單調遞增，且f﹣1（x）為f（x）=﹣cosx+在x∈（0，π]的反函數，又f（x）與f﹣1（x）的單調性相同，∴當x=π時，f（x）的最大值是f（π）=﹣cosπ+=；且當x=時，f（x）=﹣cos+=，∴y=f（x）+f﹣1（x）的定義域是（a，]，且x=時，f﹣1（）=π；∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值為f（）+f﹣1（）=+π=．故答案為：．13.已知實數（Ⅰ）當時，若,且是的三條邊長,則的取值范圍是______；（Ⅱ）如果這個數中任意三個數都不能構成一個三角形的三條邊長,則的最大值是____.參考答案：（Ⅰ）,（Ⅱ）.14.不等式的解集為_________________參考答案：【知識點】絕對值不等式的解法．E2

解析：：∵|2x+1|-2|x-1|＞0，∴|2x+1|＞2|x-1|≥0，

∴（2x+1）2＞4（x-1）2，∴．∴不等式|2x+1|-2|x-1|＞0的解集為．

故答案為：．【思路點撥】由不等式|2x+1|-2|x-1|＞0?不等式|2x+1|＞2|x-1|?（2x+1）2＞4（x-1）2即可求得答案．15.已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD邊長為1，高AA1=，它的八個頂點都在同一球面上，那么球的半徑是

；A，B兩點的球面距離為

.參考答案：答案：1，

16.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點,且左、右焦點分別為F1、F2,這兩條曲線在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形。若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2,則e1·e2的取值范圍為

。參考答案：【知識點】單元綜合H10設橢圓與雙曲線的半焦距為c，PF1=r1，PF2=r2．

由題意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，

∴2c＜10，2c+2c＞10，?．?1＜＜4，

∴e2=；

e1=．

∴e1?e2==?！舅悸伏c撥】設橢圓與雙曲線的半焦距為c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中邊之間的關系得出c的取值范圍，再根據橢圓或雙曲線的性質求出各自的離心率，最后依據c的范圍即可求出e1?e2的取值范圍是．17.若函數f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的圖像關于直線x=－2對稱，則f(x)的最大值是______.參考答案：16三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（分）如圖，是曲線上的個點，點在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標原點).(Ⅰ)寫出；(Ⅱ)求出點的橫坐標關于的表達式；(Ⅲ)設，若對任意正整數，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：解析：(Ⅰ).……………2分(Ⅱ)依題意，則，…3分在正三角形中，有

..……………………4分，

，

①同理可得

.

②①-②并變形得，

，

…………………6分

.

∴數列是以為首項，公差為的等差數列.

，……7分，..

…………8分(Ⅲ)解法1：∵，∴..∴當時，上式恒為負值，∴當時，，∴數列是遞減數列.

的最大值為.

…………………11分若對任意正整數，當時，不等式恒成立，則不等式在時恒成立，即不等式在時恒成立.

設，則且，∴解之，得

或，即的取值范圍是.……………14分19.據統(tǒng)計，2017年國慶中秋假日期間，黔東南州共接待游客590.23萬人次，實現旅游收入48.67億元，同比分別增長44.57%、55.22%.旅游公司規(guī)定：若公司導游接待旅客，旅游年總收入不低于40（單位：百萬元），則稱為優(yōu)秀導游.經驗表明，如果公司的優(yōu)秀導游率越高，則該公司的影響度越高.已知甲、乙兩家旅游公司各有導游100名，統(tǒng)計他們一年內旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數分布表如下：分組

頻數

1849245

（Ⅰ）求的值，并比較甲、乙兩家旅游公司，哪家的影響度高?（Ⅱ）若導游的獎金（單位：萬元），與其一年內旅游總收入（單位：百萬元）之間的關系為，求甲公司導游的年平均獎金；（Ⅲ）從甲、乙兩家公司旅游收入在的總人數中，用分層抽樣的方法隨機抽取6人進行表彰，其中有兩名導游代表旅游行業(yè)去參加座談，求參加座談的導游中有乙公司導游的概率.參考答案：（I）由直方圖知：，有，由頻數分布表知：，有．

甲公司的導游優(yōu)秀率為：；乙公司的導游優(yōu)秀率為：；由于,所以甲公司的影響度高．

………4分（II）甲公司年旅游總收入的人數為人；年旅游總收入的人數為人；年旅游總收入的人數為人；故甲公司導游的年平均獎金（萬元）．

……8分（III）由已知得，年旅游總收入在的人數為15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分層抽樣的方法甲公司抽取人，記為；從乙公司抽取人，記為1,2．則6人中隨機抽取2人的基本事件有：共15個.參加座談的導游中有乙公司導游的基本事件有：,,,,,,,,共9個．設事件為“參加座談的導游中有乙公司導游”，則所求概率為．

…………………12分20.已知函數.（1）當時，討論導函數的零點個數；（2）當時，證明：.參考答案：(1)見解析；(2)見證明【分析】（1）對求導，利用導數判斷函數的單調性，由，判斷的正負，利用零點存在定理可得結果.（3）利用（1）設的極小值點為，得，且，只需判斷.將變形，，利用基本不等式可證.【詳解】解：（1）函數的定義域為，因為，所以，所以在上為增函數，又因為，所以，，所以在上存在唯一的零點．(2)由（1）可知：在上存在唯一的零點，設該零點為，則，當時，，當時，，所以在處取得最小值，由得，所以，，所以，由得，所以，而，當時，取“=”，而，所以，所以，即．【點睛】本題考查函數導數的應用，利用導數研究函數的單調性，極值，結合零點存在定理研究復雜函數的零點，考查不等式恒成立問題，考查等價變形能力、運算能力，屬于難題.21.已知函數.（1）證明：；（2）設，比較與的大小，并說明理由.參考答案：解：（1）因為，故在上是增加的，在上是減少的，，設，則，故在上是增加的，在上是減少的，故，，所以對任意恒成立；（2），∵，∴，故只需比較與的大小令，設，，因為，所以，所以函數在上是增加的，故，所以對任意恒成立，即，從而有.22.

參考答案：解析：⑴①證明:∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；連接BD交AC于點O，連接FO，∵正方形ABCD的邊長為，∴AC＝BD＝2；在直角梯形ACEF中，∵EF＝EC＝1，O為AC中點，∴FO∥EC，且FO＝1；易求得DF＝BF＝，DE＝BE＝，由勾股定理知DF⊥EF，BF⊥EF，∴∠BFD是二面角B－EF－D的平面角，由BF＝DF＝，BD＝2可知∠BFD＝，∴平面BEF⊥平面DEF

⑵取BF中點