2024屆陜西省漢中市高三上學(xué)期第一次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat13頁2024屆陜西省漢中市高三上學(xué)期第一次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算化簡即可.【詳解】.故選：D.2．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與余弦兩角和公式化簡求值即可.【詳解】故選：A.3．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】由Venn圖確定集合的表示，然后計(jì)算可得．【詳解】，由題意圖中陰影部分表示為，故選：B．4．《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得《幾何原本》相媲美的數(shù)學(xué)名著．其第五卷《商功》中有如下問題：“今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？”這里所說的圓堡就是圓柱體，其底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少?若取3，估算該圓堡的體積為（1丈=10尺）A．1998立方尺 B．2012立方尺C．2112立方尺 D．2324立方尺【答案】A【詳解】試題分析：由底面半徑為，則，又，所以，所以該圓堡的體積為立方尺，故選A．【解析】1．?dāng)?shù)學(xué)文化；2．旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積．5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)奇偶性，可排除BC，由，可排除D，從而可選出答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，故函?shù)為上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，可排除BC；，因?yàn)椋裕膳懦鼶，只有A選項(xiàng)符合題意.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，注意利用函數(shù)的奇偶性、特殊值，考查學(xué)生的推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6．若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知直線過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)公式可知圓的圓心為，直徑為，因?yàn)?，所以直線過圓的圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，得，解得.故選：A.7．某部門調(diào)查了200名學(xué)生每周的課外活動(dòng)時(shí)間（單位：h），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中課外活動(dòng)時(shí)間的范圍是，并分成，，，，五組．根據(jù)直方圖，判斷這200名學(xué)生中每周的課外活動(dòng)時(shí)間不少于14h的人數(shù)是（

）A．56 B．80 C．144 D．184【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖確定每周的課外活動(dòng)時(shí)間不少于14h的頻率，再根據(jù)頻率、頻數(shù)、總數(shù)的關(guān)系能求出結(jié)果．【詳解】每周的課外活動(dòng)時(shí)間不少于14h的頻率為，故所求人數(shù)，故選：C．8．若在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域和單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，列不等式組即可得解.【詳解】設(shè)，由題意得：在上恒成立，且由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”原則可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得：.故選：A9．2023年5月10日21時(shí)22分，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船的長征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭，在我國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)火發(fā)射，約10分鐘后，天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船與火箭成功分離并進(jìn)入預(yù)定軌道．已知火箭的最大速度（單位：）與燃料質(zhì)量（單位：）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系為．若已知火箭的質(zhì)量為，火箭的最大速度為，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量為（

）（參考數(shù)值：，結(jié)果精確到）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得正確答案.【詳解】依題意，，令，則，所以，所以.故選：B10．設(shè)，，為不同的平面，m，n為不同的直線，則的一個(gè)充分條件是（

）A．， B．，，C．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 D．內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離相等【答案】B【分析】結(jié)合空間平面間的位置關(guān)系判斷ACD，結(jié)合平面法向量的概念判斷B．【詳解】選項(xiàng)A，直棱柱的側(cè)面都與底面垂直，但相鄰側(cè)面是相交的，A錯(cuò)；選項(xiàng)B，由，知直線的方向向量是平面的一個(gè)法向量，直線的方向向量是平面的一個(gè)法向量，且，即直線的方向向量平行，也即平面的法向量平行，因此這兩個(gè)平面平行，B正確；選項(xiàng)C，當(dāng)這無數(shù)條直線是平行線時(shí)，平面與可能相交，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，不共線的三點(diǎn)在內(nèi)，當(dāng)平面過這三點(diǎn)確定的三角形的中位線時(shí)，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離相等，此時(shí)平面相交，D錯(cuò)，故選：B．11．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則以下說法錯(cuò)誤的是（

）A． B．的一個(gè)周期為2C． D．【答案】C【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)得，然后由周期性的定義判斷其它選項(xiàng)．【詳解】是R上的奇函數(shù)，因此，A正確；，所以2是它的一個(gè)周期，B正確；，但的值不確定，C錯(cuò)；，，因此，D正確．故選：C．12．已知函數(shù)，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由定義知為奇函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為上求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，，即在R上為奇函數(shù)；在上，故在上遞增，易知：在R上遞增，又，則，即上；令，則，故上，遞增；上，遞減，而，，此時(shí)；綜上，的最小值為.故選：A二、填空題13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，得到求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以知，則，故答案為：14．學(xué)校要從8名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì).已知恰有3名候選人來自甲班，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選中，則甲班恰有2名同學(xué)被選中的概率為.【答案】【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳解】從8名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，有種選法；8名候選人中有3名候選人來自甲班，從中選出2名甲班同學(xué)有種選法；所以甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率為.故答案為：.15．已知等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則.【答案】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，從而得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，，，成等比數(shù)列，所以，則，解得，所以，故，所以.故答案為：.16．已知P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的最大值是.【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則將轉(zhuǎn)化為，從而得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故答案為：.三、解答題17．如圖，在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，，點(diǎn)D在邊BC上，且.

(1)求；(2)求線段AD的長.【答案】(1)(2)4【分析】（1）利用余弦定理與三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解；（2）利用正弦定理即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意得：，又，所以.（2）因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理可得?18．倉廩實(shí)，天下安．習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)：“解決好十幾億人口的吃飯問題，始終是我們黨治國理政的頭等大事”“中國人的飯碗任何時(shí)候要牢牢端在自己手上”．糧食安全是國家安全的重要基礎(chǔ)．從某實(shí)驗(yàn)農(nóng)場種植的甲、乙兩種玉米苗中各隨機(jī)抽取5株，分別測量它們的株高如下（單位：）：甲：29，31，30，32，28；乙：27，44，40，31，43．請根據(jù)平均數(shù)和方差的相關(guān)知識(shí)，解答下列問題：(1)哪種玉米苗長得高？(2)哪種玉米苗長得齊？【答案】(1)乙種玉米苗長得高(2)甲種玉米苗長得齊【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)分別求甲乙的平均值，比較大小即得結(jié)論；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)分別求甲乙的方差，比較大小即得結(jié)論.【詳解】（1）甲的平均值，乙的平均值，，故乙種玉米苗長得高．（2）甲的方差，乙的方差，，故甲種玉米苗長得齊.19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，平面PAB，點(diǎn)O為PB的中點(diǎn).，.

(1)求證：直線平面ABCD；(2)求直線PB與平面OAC夾角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由線面垂直的性質(zhì)定理得，從而由線面垂直的判定定理得證題設(shè)線面垂直；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角．【詳解】（1）∵，，∴在中，，∴，又平面PAB，平面PAB，∴，又，AB、平面ABCD，∴直線平面ABCD.（2）由（1）得，，，建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，∴，，，設(shè)平面OAC的法向量為，則，即，令，則，，∴，∴，故直線PB與平面OAC夾角的正弦值為.

20．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且有，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，離心率為；(2)【分析】（1）由題意可得，繼而求出，即可得方程和離心率；（2）設(shè)，則，又由可得，繼而得到，聯(lián)立即可解得，的值.【詳解】（1）依題知：，所以.所以橢圓方程為，離心率.（2）如圖：設(shè)，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，聯(lián)立①②解得，故.21．設(shè)函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(3)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，求得得切線斜率，再求出函數(shù)值后可得切線方程；（2）分類討論確定和的解得單調(diào)區(qū)間；（3）由（2）中單調(diào)增區(qū)間得關(guān)于的不等式，從而求得其范圍．【詳解】（1），，又，所以所求切線方程為；（2）時(shí)，時(shí)，，是增函數(shù)，時(shí)，，是減函數(shù)，時(shí)，時(shí)，，是減函數(shù)，時(shí)，，是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，減區(qū)間是，增區(qū)間是；（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；所以的范圍是．22．已知曲線的極坐標(biāo)方程為是曲線上不同的兩點(diǎn)，且，其中為極點(diǎn)．(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求得正確答案.（2）先得到點(diǎn)的極坐標(biāo)，將的極坐標(biāo)代入曲線的極坐標(biāo)方程，解方程求得.【詳解】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為