第5講 分離變量法 -2

2.2有限長(zhǎng)桿的熱傳導(dǎo)問題

對(duì)于齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題,其解題過程和波動(dòng)方程的過程類似.所以下面的例題我們僅給出主要過程.其中為給定的函數(shù).例１．齊次熱傳導(dǎo)方程的定解問題令代入方程及邊界條件中,并引入?yún)?shù)得當(dāng)或時(shí),特征值問題當(dāng)時(shí),由邊界條件從而特征函數(shù)為：T的方程解得所以將疊加,利用初始條件確定系數(shù)將初始條件代入上式，得所以系數(shù)例２．細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問題長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，設(shè)與細(xì)桿線垂直截面上各點(diǎn)的溫度相等，側(cè)面絕熱，端絕熱，端熱量自由散發(fā)到周圍介質(zhì)中，介質(zhì)溫度恒為0，初始溫度為求此桿的溫度分布。解：定解問題為設(shè)且得本征問題由及齊次邊界條件，有當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí),由得由得故即令有函數(shù)方程ry圖1由圖1看出，函數(shù)方程有成對(duì)的無窮多個(gè)實(shí)根故本征值為：對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)的方程：解為故可以證明,函數(shù)系在上正交由初始條件得將展成以基底的付氏級(jí)數(shù),確定

問題的解為（二）利用邊界條件,得到特征值問題并求解（三）將特征值代入另一常微分方程，得到（四）將疊加，利用初始條件確定系數(shù)（一）將偏微分方程化為常微分方程－－（方程齊次）分離變量法解題步驟－－（邊界條件齊次）分離變量法適用范圍：偏微分方程是線性齊次的，并且邊界條件也是齊次的。其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。注左端點(diǎn)右端點(diǎn)特征值特征函數(shù)取值范圍

一

一一

二

二

二二一課堂練習(xí)2.3二維拉普拉斯方程的邊值問題1.矩形域上拉普拉斯方程的邊值問題例1．矩形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下溫度分布.設(shè)薄板上下底面絕熱，一組對(duì)邊絕熱，另一組對(duì)邊的溫度分別為零攝氏度和，求穩(wěn)恒狀態(tài)下薄板的溫度分布。定解問題為：解再利用x=0

和x=a處的齊次邊界條件得設(shè)且代入方程故本征問題當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，將代入有解：考慮邊界條件（y方向上），有解得比較系數(shù)所以解為作為例子，取，可求得于是考察一個(gè)半徑為r的圓形薄板穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布問題,設(shè)板的上下兩面絕熱,圓周邊界上的溫度已知為求穩(wěn)恒狀態(tài)下的溫度分布規(guī)律。2圓域上的拉普拉斯方程的邊值問題分離變量

代入方程得齊次偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程:（一）將偏微分方程化為常微分方程由可知，又圓內(nèi)各點(diǎn)的溫度有界，因而所以應(yīng)滿足條件（二）利用條件,確定特征值問題并求解得到兩個(gè)常微分方程的定解問題(1)(2)1)時(shí)，無非零解；2)時(shí)，有非零解3)時(shí)，令特征值特征函數(shù)通解以為周期,必須是整數(shù),?。ㄈ⑻卣髦荡肓硪怀Ｎ⒎址匠?，得得到方程通解滿足有界性條件的通解將代入方程滿足周期性條件和有界性條件的特解為（四）將疊加,利用邊界條件確定系數(shù)滿足周期性和有界性條件的通解為:利用邊界條件，得由此可以確定系數(shù)注:經(jīng)過化簡(jiǎn),方程的解可以表示為稱為圓域內(nèi)的泊松公式.例2.在帶電的云跟大地之間的勻強(qiáng)靜電場(chǎng)(設(shè)其強(qiáng)度為,方向?yàn)樨Q直的)，水平架設(shè)一輸電線，討論輸電線(導(dǎo)體圓柱體)對(duì)勻強(qiáng)電場(chǎng)的影響。++帶電的云+++