矩陣的特征值與特征向量

第五章矩陣的特征值與特征向量

在經(jīng)濟(jì)理論及其應(yīng)用中

常要求一個(gè)方陣的特征值和特征向量的問題

數(shù)學(xué)中諸如方陣的對(duì)角化及解微分方程組的問題

也都要用到特征值的理論

2引言純量陣lE

與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB≠

BA

．?dāng)?shù)乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?例：一特征值與特征向量定義:非零列向量X稱為A

的對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量定義6設(shè)A是n階矩陣

如果對(duì)于數(shù)，存在n維非零列向量X,使AX

X

成立則稱

為方陣A的一個(gè)特征值第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量p117AX

X如何求特征值和特征向量?即齊次方程有非0解齊次方程有非0解的充要條件是系數(shù)行列式為0即|

I

A|0(2)|

I

A|

0稱為方陣A的特征方程二特征多項(xiàng)式與特征方程定義

設(shè)A為n階方陣(1)f(

)

|

I

A|稱為方陣A的特征多項(xiàng)式

即即(3)方陣A的特征值

就是特征方程|

I

A|

0的根所以方陣A的特征值

也稱為方陣A的特征根齊次線性方程組

的每一個(gè)非零解向量，都是方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量所以方陣A對(duì)應(yīng)于每一個(gè)不同特征值

的特征向量都有無窮多個(gè)三特征向量定理1

如果非零向量X為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量則CX(C≠0為任意常數(shù)）也是A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量定理2

如果X1，X2為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量，且X1+X2≠0，則X1+X2也是A對(duì)應(yīng)于特征值

的特征向量，

即:矩陣A對(duì)應(yīng)于同一特征值

的特征向量的非零線性組合仍然為A對(duì)應(yīng)于

特征向量(不能為0)

綜上所述,求矩陣A的特征值及特征向量的步驟如下:第一步計(jì)算矩陣A特征多項(xiàng)式|

I

A|

;第二步求出矩陣A的特征方程|

I

A|=0的全部根,即求得A的全部特征值

1，

1，---

n，(其中可能有重根）第三步對(duì)于A的每個(gè)特征值

i,求出對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（

iI

A）X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

i的全部特征向量為例1

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為

1

4

2

-2

(2)當(dāng)

1

4時(shí)其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

1

4的全體特征向量為例1

求矩陣的特征值和特征向量

解(3)當(dāng)

2

-2時(shí)其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

2-2的全體特征向量為例2

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為

1

2

2

4

(2)當(dāng)

1

2時(shí)其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

1

2的全體特征向量為例2

求矩陣的特征值和特征向量

解(3)當(dāng)

2

4時(shí)其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

24的全體特征向量為例3

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為

1

2

4，

3

2例3

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為

1=

2=4

3

2(2)當(dāng)

1

2=4其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

1

2=4的全體特征向量為例3

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為

1=

2=4

3

2(3)當(dāng)

3=2其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

32的全體特征向量為例4

求矩陣的特征值和特征向量

解(1)A的特征方程為所以A的特征值為

1=

2=1

3

2例4

求矩陣的特征值和特征向量

解A的特征值為

1=

2=1

3

2(2)當(dāng)

1

2=1其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

1

2=1的全體特征向量為例4

求矩陣的特征值和特征向量解A的特征值為

1=

2=1

3

2(3)當(dāng)

32其基礎(chǔ)解系可取為則矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值

3=2的全體特征向量為在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個(gè)特征值（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|（利用根與系數(shù)的關(guān)系可證，證明不要求。但性質(zhì)本身需牢固掌握）四特征值與特征向量的性質(zhì)例5

設(shè)

是方陣A的特征值

證明

(1)

2是A2的特征值

證明

因?yàn)?/p>

是A的特征值

故有X

0

使AX

X

于是(1)A2X

2X

(AX)