江西省新八校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

江西省東鄉(xiāng)一中都昌一中豐城中學(xué)贛州中學(xué)新八校景德鎮(zhèn)二中上饒中學(xué)上栗中學(xué)新建二中2023屆高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.記集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出，從而求出交集.【詳解】集合或，，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算法則計(jì)算即可.【詳解】，所以的共軛復(fù)數(shù)為故選：C3.已知向量，，，則的值為（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，則，解得.故選:C4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的n為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)的功能，一一循環(huán)驗(yàn)證，直至，終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，，第一次?zhí)行循環(huán)體，得，；第二次執(zhí)行循環(huán)體，得，；第三次執(zhí)行循環(huán)體，得，；第四次執(zhí)行循環(huán)體，得，，則輸出．故選：B．5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)圓柱的組合體，分別計(jì)算長(zhǎng)方體與圓柱的體積，利用長(zhǎng)方體的體積減去圓柱的體積即可.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是在一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去一個(gè)圓柱而形成的，長(zhǎng)方體的底面積為，高為，則長(zhǎng)方體的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，所以該幾何體的體積為.故選：A6.甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準(zhǔn)備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠(yuǎn)三百山5個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)，記事件A：甲和乙選擇景點(diǎn)不同，事件B：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，，所以，故選：B.7.已知遞增的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.令，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件求得通項(xiàng)公式，得到通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為d（），則，，，又因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即：，解得：或（舍），所以，所以，則.故選：D.8.已知是函數(shù)的最大值，若存在實(shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)得到，得到，且的最小正周期為，根據(jù)題意求得的最小值為，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，且函?shù)的最小正周期為，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：A.9.函數(shù)圖像上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等差數(shù)列，則以下不可能成為公差的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的取值計(jì)算出公差的范圍，進(jìn)而判斷即可求解.【詳解】函數(shù)等價(jià)為，表示為圓心在半徑為1的上半圓，半圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為1，最大距離為3，若存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等差數(shù)列，則最大的公差應(yīng)有，即，最小的公差應(yīng)滿足，即，所以公差的取值范圍為，所以不可能成為該等差數(shù)列的公差．故選：D.10.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可得出、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，則，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即，所以，，故.故選：A.11.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒有給出證明．經(jīng)過了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將原方程兩邊開平方，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可得的不等式，可得所求范圍．【詳解】方程，即，顯然，則，即，可得動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的比為常數(shù)，由雙曲線的定義，可得，解得，即的取值范圍為.故選：B．12.設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的對(duì)稱性，把所求的點(diǎn)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，構(gòu)造函數(shù)求最小值即可.【詳解】令，則，這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱.所以與的圖象可以看成是由，這兩個(gè)函數(shù)圖象向右平移一個(gè)單位得到的.所以的最小值即為曲線與上兩點(diǎn)的最小值.曲線上的點(diǎn)到直線的距離為

設(shè)，則.由可得，由可得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以由圖象關(guān)于對(duì)稱得：的最小值為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知x，y滿足約束條件，則的最大值為__________．【答案】2【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：由解得：.把轉(zhuǎn)化為直線l:.平移直線l，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，縱截距最小，此時(shí)最大.故最大值為2.故答案為：214.已知函數(shù)，則不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】由定義可判斷函數(shù)的奇偶性，求導(dǎo)可得其單調(diào)性，從而可求解不等式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，且，則函數(shù)為增函數(shù)，則不等式等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：15.在棱長(zhǎng)為2正方體中，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到平面的最小距離是______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用等體積法可得，求h的最小值，即需求的最大值，進(jìn)而需求出邊上的高QN的最大值，運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定、性質(zhì)證得，可求得在上的最大值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，由題意知，面ABCD面，面ABCD，所以Q到面的距離等于A到面的距離，所以，所以，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為h，則，所以，過點(diǎn)Q作交AD于點(diǎn)M，又因?yàn)槊鍭BCD面，面ABCD面，面ABCD，所以面，又因?yàn)槊?，所以，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，連接，則，又因?yàn)?，、面，所以面，又因?yàn)槊?，所以，設(shè)（），則，（），所以，（），所以當(dāng)時(shí)取得最大值為，此時(shí)取得最小值為.故答案為：.16.已知是拋物線上兩點(diǎn)，且，為焦點(diǎn)，則最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何意義，再利用余弦定理與基本不等式求余弦的最小值再判斷即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，由題得，，即，故，即，因?yàn)?，且余弦函?shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的焦半徑公式與余弦定理的綜合運(yùn)用等，需要根據(jù)題意列出對(duì)于的余弦定理，再利用基本不等式分析最值,屬于中等題型.三、解答題：共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步叕.第1721為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)，為此隨機(jī)對(duì)該校100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)男35女25總計(jì)100已知從這100名學(xué)生中任選1人，女生被選中的概率為.（1）完成上面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān).（2）若按分層抽樣法從女生中抽取8人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人都不經(jīng)常鍛煉的概率.附：，其中，.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)．（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算出女生人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全的值，由此作出判斷.（2）由分層抽樣計(jì)算出抽取的8人中經(jīng)常鍛煉與不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)，再結(jié)合古典概型求解概率即可.【小問1詳解】設(shè)這100名學(xué)生中女生有x人，則，解得．列聯(lián)表完成如下．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)男352560女152540總計(jì)5050100所以，因?yàn)?，所以?5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)．【小問2詳解】從女生中抽取的8人中經(jīng)常鍛煉的有人，不經(jīng)常鍛煉的有人，8人中隨機(jī)抽取2人的基本事件有種，抽取的2人都不經(jīng)常鍛煉的基本事件有種，所以抽取的2人都不經(jīng)常鍛煉的概率為.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先將條件中的等式全部變?yōu)檎?，然后利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求角即可；?）先利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，再結(jié)合（1）中的條件求出，最后利用三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】,由正弦定理得，即，又，；【小問2詳解】，由正弦定理得①，又②，由①②得，.19.如圖，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上.（1）求證：；（2）若是線段AB上一點(diǎn)，，，三棱錐的體積為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）3【解析】【分析】（1）由直棱柱性質(zhì)得，再由平面，得，從而可得線面垂直，然后得線線垂直；（2）是直角三角形，，由已知可得出，由（1）可得，因此只要設(shè)，則面積可表示出來，也可得出三棱錐的體積，求得，得出．【小問1詳解】∵是直三棱柱，則面，又面，∴，又平面，平面，∴，又，平面，平面，∴平面，又平面，∴；【小問2詳解】由（1）知平面，∴，，∴，點(diǎn)到的距離為，設(shè)，則，∵，，，∴，由，，，∴，∴，∴，即，∴，則.20.已知圓A：，直線過點(diǎn)且與軸不重合，交圓于C，D兩點(diǎn)，過作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（1）求點(diǎn)E的軌跡的方程；（2）設(shè)軌跡的上、下頂點(diǎn)分別為G、H，過點(diǎn)的直線交軌跡于M、N兩點(diǎn)（不與G、H重合），直線GM與直線交于點(diǎn)，求證：P、H、N三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）由橢圓的定義求點(diǎn)E的軌跡的方程即可；（2）證明P、H、N三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為證明.【小問1詳解】如圖：因?yàn)?，平行于，所以，所以，故，又由于圓A：，可得，從而，所以.又，，所以,所以，有橢圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以點(diǎn)E的軌跡的方程為：.【小問2詳解】證明：如圖：由題意可知：,，因?yàn)檫^點(diǎn)的直線交軌跡于M、N兩點(diǎn)（不與G、H重合），所以直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：，設(shè)，.聯(lián)立與可得：恒成立，所以，.直線的斜率為，所以方程為：與直線交于點(diǎn)，所以，所以，，所以P、H、N三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】經(jīng)過圓錐曲線上滿足某條件的動(dòng)點(diǎn)的直線過定點(diǎn)問題，可探求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程，即可推理計(jì)算解決問題，證明三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為斜率之差為零的問題.21.已知函數(shù).（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，計(jì)算切點(diǎn)處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求解切線方程；（2）根據(jù)極值點(diǎn)的定義，可得是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)，將問題轉(zhuǎn)化成，令，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】證明：由，可知，因?yàn)椋ǎ┦堑臉O值點(diǎn)，所以方程的兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，所以，，則．要證成立，只需證，即證，即證，即證，設(shè)，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，故．【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用，求某點(diǎn)處的切線方程較為簡(jiǎn)單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.選考題：請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，設(shè)曲線和直線交于M，N兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式，化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）將點(diǎn)P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P在直線上，再利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將直線代入曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解．【小問1詳解】將消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為．由，得，將，代入上式，得所以直線的直角坐標(biāo)方程