高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第二冊(cè)配套課件：41乘法公式與全概率公式413獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系

4.1.2乘法公式與全概率公式4.1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系第四章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.結(jié)合古典概型,會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.2.結(jié)合古典概型,會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.*了解貝葉斯公式.3.結(jié)合古典概型,理解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系.課前篇自主預(yù)習(xí)【情境導(dǎo)入】某班有兩個(gè)課外活動(dòng)小組,第一小組有足球票6張,排球票4張;第二小組有足球票4張,排球票6張.事件A為“甲從第一小組的10張票中任抽1張”,事件B為“乙從第二小組的10張票中任抽1張”.事件A,B之間有怎樣的關(guān)系?【知識(shí)梳理】

一、乘法公式與全概率公式1.乘法公式:由條件概率的計(jì)算公式P(B|A)=可知,P(BA)=P(A)P(B|A),這就是說,根據(jù)事件A發(fā)生的概率,以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,可以求出A與B同時(shí)發(fā)生的概率.一般地,這個(gè)結(jié)論稱為乘法公式.定理1

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.則對(duì)Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且*3.貝葉斯公式:一般地,當(dāng)1>P(A)>0且P(B)>0時(shí),有這稱為貝葉斯公式.定理2

若樣本空間Ω中的事件A1,A2,…,An滿足:(1)任意兩個(gè)事件均互斥,即AiAj=?,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.則對(duì)Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也稱為貝葉斯公式.微練習(xí)1已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,則P(BA)=

.

答案

0.06解析

P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.微練習(xí)2已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,則P(B)=

.

答案

0.35解析

P(B)=P(A)·P(B|A)+P()·P(B|)=0.5×0.3+0.5×0.4=0.35.微練習(xí)3某學(xué)校有A,B兩家餐廳,王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.解

設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”,B1=“第1天去B餐廳用餐”,A2=“第2天去A餐廳用餐”,則Ω=A1∪B1,且A1與B1互斥,根據(jù)題意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8,由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7,因此,王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.二、獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系1.事件的相互獨(dú)立性:一般地,當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時(shí),就稱事件A與B相互獨(dú)立(簡(jiǎn)稱獨(dú)立).事件A與B相互獨(dú)立的直觀理解是,事件A是否發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率,事件B是否發(fā)生也不會(huì)影響事件A發(fā)生的概率.2.獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系:當(dāng)P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)時(shí),由條件概率的計(jì)算公式有,即P(A|B)=P(A).這就是說,此時(shí)事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的概率相等,也就是事件B的發(fā)生,不會(huì)影響事件A發(fā)生的概率.類似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B).因此,當(dāng)P(B)>0時(shí),A與B獨(dú)立的充要條件是P(A|B)=P(A).這也就同時(shí)說明,當(dāng)P(A|B)≠P(A)時(shí),事件B的發(fā)生會(huì)影響事件A發(fā)生的概率,此時(shí)A與B是不獨(dú)立的.事實(shí)上,“A與B獨(dú)立”也經(jīng)常被說成“A與B互不影響”等.微思考擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次,“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”這兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立?課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一乘法公式與全概率公式例11號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球,2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球,現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱,然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球.問從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少?反思感悟

復(fù)雜事件概率的求法求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個(gè)互不相容的簡(jiǎn)單事件之并,然后利用條件概率和乘法公式,求出這些簡(jiǎn)單事件的概率,最后利用概率的可加性,得到最終結(jié)果,這一方法的一般化就是全概率公式.變式訓(xùn)練

1甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊,設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為0.4,0.5,0.7,又設(shè)只有一人射中,飛機(jī)墜落的概率為0.2,若有二人射中,飛機(jī)墜落的概率為0.6,若有三人射中,飛機(jī)必墜落.求飛機(jī)墜落的概率.解

記A={飛機(jī)墜落},Bi={i個(gè)人射中飛機(jī)},i=1,2,3.B1={甲射中,乙、丙未射中}+{乙射中,甲、丙未射中}+{丙射中,甲、乙未射中},∴P(B1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.同理P(B2)=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3=0.41.P(B3)=0.4×0.5×0.7=0.14.再由題設(shè),P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1.利用全概率公式,P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.探究二事件獨(dú)立性的判斷例2把一顆質(zhì)地均勻的骰子任意地?cái)S一次,判斷下列各組事件是否獨(dú)立.(1)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出奇數(shù)點(diǎn)};(2)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出3的倍數(shù)點(diǎn)};(3)A={擲出偶數(shù)點(diǎn)},B={擲出的點(diǎn)數(shù)小于4}.反思感悟

兩個(gè)事件是否獨(dú)立的判斷(1)直接法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響.(2)定義法:當(dāng)P(AB)=P(A)P(B)時(shí),事件A,B獨(dú)立.(3)條件概率法:當(dāng)P(A)>0時(shí),可用P(B|A)=P(B)判斷.變式訓(xùn)練

2判斷下列事件是否獨(dú)立.(1)甲組有3名男生,2名女生;乙組有2名男生,3名女生.現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”;(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球,“從8個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè),取出的還是白球”.解

(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生,對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒有影響,所以兩個(gè)事件獨(dú)立.探究三相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算例3小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率;(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率.分析(1)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響,因此本題是相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率問題,注意兩列正點(diǎn)到達(dá)所包含的情況.(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的對(duì)立事件是三列火車都沒正點(diǎn)到達(dá),這種情況比正面列舉簡(jiǎn)單些,因此利用對(duì)立事件的概率公式求解.反思感悟

與相互獨(dú)立事件有關(guān)的概率問題求解策略明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義.一般地,已知兩個(gè)事件A,B,它們的概率分別為P(A),P(B),那么:(1)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生為事件A+B.(2)A,B都發(fā)生為事件AB.它們之間的概率關(guān)系如表所示:延伸探究

本例條件下,求恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.

素養(yǎng)形成方程(組)思想在概率中的應(yīng)用

分析設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品為事件A,B,C,由題意可建立關(guān)于P(A),P(B),P(C)的方程組,從而確定P(A),P(B),P(C);再由對(duì)立事件和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解.方法點(diǎn)睛

已知基本事件的概率求與其有關(guān)的事件的概率時(shí),通常分析相關(guān)事件的性質(zhì),利用條件概率公式、相互獨(dú)立事件公式直接求解;若已知基本事件的相關(guān)概率求基本事件的概率,則需要在分析相關(guān)事件的性質(zhì)后,構(gòu)建方程(組)求解.

當(dāng)堂檢測(cè)1.擲一枚硬幣兩次,記事件A=“第一次出現(xiàn)正面”,B=“第二次出現(xiàn)反面”,則有(

)A.A與B相互獨(dú)立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A與B互斥 D.P(AB)=答案

A解析

事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B的發(fā)生沒有影響,故A正確;由于A與B可以同時(shí)發(fā)生,所以事件A與B不互斥,故B,C錯(cuò)誤;對(duì)于