江蘇省專轉本統(tǒng)一考試高等數(shù)學復習資料總綱(簡略版)

高等數(shù)學復習提綱極限（一）極限七大題型題型一（）要求:A:達到口算水平；B:過程即“除大”。題型二0結果：將a帶入分子=00結果：將a帶入分子=0=0“=0“0/0型”用洛比達法則繼續(xù)計算求值將a帶入分母00直接帶入a求出結果就是要求的值題型三（進入考場的主要戰(zhàn)場）注：應首先識別類型是否為為“”型！公式：口訣：得1得+得內框，內框一翻就是。（三步曲）題型四：等價無窮小替換（特別注意：）（1）A:同階無窮小：；B:等價無窮小：；C:高階無窮小：.注意：（2）常用等價替換公式：147**2536特別補充：（3）等價替換的的性質：1）自反性：2）對稱性：3）傳遞性：（4）替換原則：A:非0常數(shù)乘除可以直接帶入計算；B:乘除可換，加減忌換（5）另外經常使用：進行等價替換題型五有界：（）識別不存在但有界的函數(shù)：題型六：洛必達法則（極限題型六），見導數(shù)應用：洛必達法則題型七：洛必達法則（極限題型七），定積分，見上限變限積分題型三&題型四的綜合（二）極限的應用1、單側極限（1）極限存在條件左左右右（2）極限的連續(xù)性（3）間斷點及分類（★難點）把握兩個問題：第一，如何找間斷點；第二，間斷點分類（難）。A:間斷點：定義域不能取值的內點B:間斷點分類Ⅰ類可去Ⅱ類Ⅰ類跳躍A,Ⅰ類可去,Ⅱ類不存在，不能分類，求左右極限導數(shù)（堅守的陣地）導數(shù)定義定義一1、“陡”、“平”的形象敘述;2、;3、;4、.拓展：注意：1）分段點求導，永遠用定義！2）有連續(xù)性條件時可直接帶入定義二導數(shù)常用公式17234586導數(shù)運算1、乘法運算：九字訣號變號則用則層間乘2、除法運算：復合函數(shù)求導（核心內容★★★）層次分析（如右“九字訣”,由外向內，“遇則則止”）所謂的“則”是＋、-、×、÷2、幾點性質：（1）公式，推廣為：（2）形如：利用公式等價替換（3）奇偶性:①②高階導數(shù)1324微分基本知識注意求的時候要加“”.參數(shù)方程求導（考試重點）參數(shù)方程、隱函數(shù)、變限積分、變限二重積分標準形式：t為中間變量標準形式：t為中間變量公式：符號型求導隱函數(shù)求導（必考）題目一般形式是:對數(shù)法求導巧用對數(shù)的性質，變形式子導數(shù)的應用切線與法線切線斜率就是在該點的導數(shù)值法線斜率×切線斜率=-1；洛必達法則（極限題型六）（★）注意：等價無窮小，乘除可換，加減忌換洛必達法則可重復使用注意：等價無窮小，乘除可換，加減忌換洛必達法則可重復使用條件：1.條件：1.；2.后有則前有函數(shù)的單調性與極值、凹凸性、拐點1）“峰”——極大值；“谷”——極小值；單調性與極值求解A：單調性：B：單調性交界點→極值點（判據）C:極值點可疑點（）D:漸近線2）函數(shù)凹凸性與拐點A：B:凹凸性交界點且能取值→拐點C：拐點可疑點一般求解步驟：求定義域、漸近線；計算；求的點和使不存在的點，設為；列表分析；得出結論.函數(shù)最大值、最小值比較：1）；2）端點函數(shù)的實際應用步驟：（1）合理做設，具有唯一性； （2）；（關鍵點所在）（3）令；（4）“八字”，唯一駐點，即為所求。多元微分學（20+）顯函數(shù)一階偏導數(shù)“求即變”“求即變”：求哪個，哪個就是變量全微分一元函數(shù)： 此時，二元函數(shù)：此時，(高)二階偏導數(shù)主要是求，分別定義為：一定條件下，即連續(xù)時：一定條件下，即連續(xù)時：二元隱函數(shù)求導一階：二階直接求：符號型求導（必考）1．2.(重點★)會畫關系圖九字訣先找路路中乘路間加【例題】求框1框2框1框2解：（1）畫關系圖1√△2√△（2）“九字訣”求解不定積分★基本知識性質：基本公式★17238456求不定積分的四大方法方法一湊常數(shù)公式：配方見到一元二次方程敏感的想到配方法拆分公式：利用三角函數(shù)和差化積和積化和差公式積分方法二——固定搭配公式方法三——分布積分一般分布積分公式：關鍵：是什么？三角函數(shù)三角函數(shù)高高的優(yōu)先級方向的優(yōu)先級方向特殊方程法積分法積分時，對如下積分要特別注意：等等方法四——變量替換一次項替換如:方法：直接令.二次項替換根據下表進行相應替換：原項替換原理:根據下面兩個三角變換得來的替換原理:根據下面兩個三角變換得來的1.2.定積分定積分計算1.N-L公式（牛頓-萊布尼茲公式）主要思想是利用積分方法進行積分，然后“出來代值”計算；2.變換——變限定積分性質1.（1）（2）2.3.更名：4.拆分：積分性質的運用：分段函數(shù)的定積分函絕對值積分三角函數(shù)積分（實質是判斷三角函數(shù)符號進行拆分積分運算）5.若則★這一性質十分重要，特別是見到對稱限時要想到這一性質。6.變限積分涉及到求極限七大題型的最后一種題型，即題型七（1）★記?。号c沒有關系推廣：上限帶入乘上限求導下限帶入乘下限求導(2)洛必達法則（極限題型七）7廣義積分三種形式：（1）；（2）；（3）.解：定義：原式=A（有限）收斂發(fā)散定積分應用一般出現(xiàn)在綜合題的最后一題，題型僅有兩種：第一，求面積；第二求旋轉體體積（繞）面積（1）“左右型”**（2）“上下型”*旋轉體體積（1）“坐在軸上”微元法推導：繞微元法推導：繞軸：公式1：“墩”；繞軸：公式2：“城墻”。（2）“坐在軸上”微元法推導：繞微元法推導：繞軸：公式1：“城墻”；繞軸：公式2：“墩”。二重積分累次積分公式：二重積分的計算直角坐標系的幾何意義：二重積分改變次序記住一些不能正序積分的函數(shù)：思路:原累次積分二重積分新累次積分極坐標主要是圓的思想，注意畫圖，特別注意上限和下限！Jacobi因子Jacobi因子常微分方程（ODE）分離變量法標準型注意：化簡之即：注意：化簡之即：①-C②步驟：①變化型核心：令一階線性ODE（重點）1.標準型：，關鍵是找到、；一次無+號一次無+號2.常數(shù)變量法：做題步驟：注意：積分不要加C;，不要“||”注意：積分不要加C;，不要“||”符號。，計算，；帶入公式.三大題型題型1：貝努里方程（Bernoulli）→，即題型2：積分方程特定條件【例題】解：令，則原式即為：整理之：=…題型3：二階線性ODE齊次方程（）特性方程即：（補充：），為互異實根，，非齊次方程標準型：關鍵是讀參數(shù)：求解過程：=1）解出2)讀參數(shù).可設特解方程：AB代入3）【例題】解：①=0，即②=（）（草稿紙上做）=（草稿紙上做）將=0，解出系數(shù)③級數(shù)定義S有限收斂發(fā)散1.2.3.收斂的必要條件N第一部分判別圖N發(fā)散Y發(fā)散Y比值判別法>1發(fā)散<1收斂=1失效根式判別法>1發(fā)散<1收斂=1失效比較判別法p>1收斂P≤1發(fā)散萊布尼茲法則1.交錯2.3.第二部分交錯級數(shù)萊布尼茲法則發(fā)散收斂（2）絕對收斂與條件收斂的判別發(fā)散絕對收斂條件收斂注：1）2）識別過程：（3）級數(shù)的幾點性質第三部分冪級數(shù)1.收斂域和收斂半徑級數(shù)對稱性：1.一收朝里皆收；2.一發(fā)朝外均發(fā)。級數(shù)對稱性：1.一收朝里皆收；2.一發(fā)朝外均發(fā)。收斂半徑：R;公式：收斂區(qū)間（收斂域）如將2.冪級數(shù)的展開1）公式1：2）公式2：；3）逐項微分，逐項積分注：不改變收斂區(qū)間，改變端點注：不改變收斂區(qū)間，改變端點空間解析幾何矢量運算矢量的內積（1）（2）內積：(3)矢量的叉積+-+O（1）O（2）（3）平面方程1.點法式：例如：2.直線標準型(點斜式)證明題綜述（18+）介值定理（零點定理）定理條件：（1）（2）注意：1.2.1.2.解題要點：A：是什么？B:是什么？3.解答過程要規(guī)范，工整.羅爾定理（Roller）定理條件：（1）（2）（3）題型解釋：1.一般是證明“必有一個正根或負根”解題步驟：A:利用介值定理證明根的存在性； B:利用反證法，證明根的唯一性。2.證明某表達式的零點在什么之間例如：（1）證明（2）證明在f(x)兩零點之間存在，使得對于這種題型的解答，注