2020-2021學(xué)年江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)、溧陽中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)、深陽中學(xué)高三（上）

期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一個(gè)是符合題目要求）

1.（5分）已知集合4={花1<|-lWx<3},B={XEN|2V<4},則集合AGB中元素的個(gè)數(shù)為

）

A.1B.2C.3D.4

2.（5分）若z（l—i）=2i,則5的虛部為（

A.1B.-1C.D.

（5分）在苧王的二項(xiàng)展開式中，，的系數(shù)為（

3.

嗦3

ABcD.

-4t-i16

4.（5分）已知平面向量W-1）,Ib|=4?且（a-2b）_La，則|a-b|=（）

A.2B.3C.4D.5

5.（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球土壤樣品，在預(yù)定區(qū)域安全著

陸.嫦娥五號(hào)是使用長征五號(hào)火箭發(fā)射成功的，在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速

度u（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量機(jī)（單位：kg）

的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為v=2000/〃（l+竺）.如果火箭的最大速度達(dá)到12km/s,則燃料的質(zhì)量

m

與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是（）

A.M=e6rnB.Mm=1—1C.InM+Inm=6D.—=E

m

6.（5分）設(shè)々=5抽2,則（）

A.a2<2“<log!aB.log,a<2a<cr

2

C.a2<log,a<TD.log[4<Q2c2"

22

7.（5分）函數(shù)/（x）=|sinx|cosx的導(dǎo)函數(shù)尸（x）在［0,乃］上的圖象大致為（）

>'A

"x

A.B.

8.（5分）在四面體ABC。中，\ABC和均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體A8CD

的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，且AD是該球的直徑，則四面體A8C。的體積為（）

A.立B.遮C.立D.立

241264

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2

分，不選或有錯(cuò)選的得0分.

9.（5分）下列命題中正確的是（）

A.命題“VxeR,sin蒼,1”的否定是“IreR,sinx>1w

B.“a>1”是<1”的充分不必要條件

a

C.在&ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，h,c,若a?+從〉c?,則AASC為

銳角三角形

D.在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,若sin2A=sin2B,則4=8

10.（5分）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“（”eN*）,公差d*O,S6=90,%是％與旬

的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.q=22

B.d——2

C.當(dāng)〃=1（）或〃=11時(shí)，S,,取得最大值

D.當(dāng)S,,>0時(shí)，〃的最大值為21

M

11.（5分）過拋物線V=4x的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于A（%,乂），B（X2,打）兩點(diǎn)，

為線段A3的中點(diǎn)，則（）

A.以線段43為直徑的圓與直線x=-l相切

B.以線段B尸為直徑的圓與y軸相切

9

C.當(dāng)AF=3FB時(shí)，14?1=萬

D.0408=-3（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）

12.（5分）已知曲線y=sin（〃）x+匹）（G>0）在區(qū)間（0,1）上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，

4

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.存在3,使sin（4+'）>交

42

B.存在口，使sin（女士）=立

42

C.有且僅有一個(gè)x<,e（0,l）,使sin（平）+?）=*

D.存在玉（0,1）,使sin（（叫）+?）<0

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.（5分）己知tana=」，則.2a-sin-a的值為___

31+cos2a

14.（5分）CES是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會(huì)

.2020CES消費(fèi)電子展于2020年1月7日-1（）日在美國拉斯維加斯舉辦,在這次CES消費(fèi)電

子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場.若該公司從7名員

工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作（這3名員工的工作視為相同的工作），再選出2名員工分

別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有1人負(fù)責(zé)接待工作，則不同的安排

方案共有一種.

15.（5分）某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名

投票，投票要求見選票，如圖所示.這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為

總票數(shù)的84%,75%,46%,則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能

為.

“我身邊的榜樣”評(píng)選選票

候選人符號(hào)注：

甲1.同意畫“O”，不同意畫“x”.

2.每張選票“O”的個(gè)數(shù)不超

乙

過2時(shí)才為有效票.

丙

16.（5分）如圖，在底面邊長為2,高為3的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相

切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知等差數(shù)列｛《,｝的公差d大于0,且見，牝是方程丁-12x+27=0的兩根,

數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S,=2s.-1）,（〃嘰）.

（1）求數(shù)列伍,｝,｛仇｝的通項(xiàng)公式;

（2）若。=a?b?,求數(shù)列｛Q,｝的前〃項(xiàng)和T?.

18.（12分）已知△ABC中，bconA-c>0.

（I）ZSABC中是否必有一個(gè)內(nèi)角為鈍角，說明理由.

（II）若△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：

?sinA=^-;?sinC=-^-;③a=2；?c=V2-

請(qǐng)證明使得AABC存在的這三個(gè)條件僅有一組，寫出這組條件并求出b的值.

19.（12分）如圖，正方形A8co和4環(huán)所在面互相垂直，且邊長都是1.M,N,G分

別為線段AC,BF,AB上的動(dòng)點(diǎn)，CM=BN,A尸//平面MNG,記8G=a（0<a<l）.

（1）證明：MG_L平面他EF；

（2）當(dāng)MN的長最小時(shí)，求二面角4-8的余弦值.

20.（12分）為了進(jìn)一步提升廣電網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量，某市廣電運(yùn)營商從該市某社區(qū)隨機(jī)抽取140名

客戶，對(duì)廣電網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的滿意程度進(jìn)行調(diào)查，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為

7

服務(wù)水平的滿意率為*,對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的有90名客戶.

7

（1）完成下面2*2列聯(lián)表，并分析是否有97.5%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān);

對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù)對(duì)服務(wù)水平不滿意人合計(jì)

數(shù)

對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)

對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人

數(shù)

合計(jì)

(2)為進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量，在選出的對(duì)服務(wù)水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進(jìn)意

見，用X表示對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望；

(3)若用頻率代替概率，假定在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平兩項(xiàng)都滿意

的客戶流失率為5%,只對(duì)其中一項(xiàng)不滿意的客戶流失率為40%,對(duì)兩項(xiàng)都不滿意的客戶流

失率為75%,從該社區(qū)中任選4名客戶，則在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)至少有2名客戶流失的

概率為多少？

附:

P(K2..k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K、——幽但----------，其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

21.(12分)已知函數(shù)J'(x)=ae*-/〃(1+x)-cos(a-l),aeR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(x)的零點(diǎn)；

(2)若求q的取值范圍.

22.(12分)已知橢圓C:二+與=1(">"0)的離心率為且，且經(jīng)過點(diǎn)P(2,l).直線/與

ab'2

橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線R4交y軸于直線P3交y軸于N.

(I)求橢圓。的方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，若|0M|=|0N|,求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

2020-2021學(xué)年江蘇省常州市前黃高級(jí)中學(xué)、深陽中學(xué)高三（上）

期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)是符合題目要求）

1.（5分）已知集合4={在岡-1WXW3},8={xeN|2*<4},則集合AAB中元素的個(gè)數(shù)為

（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：-1這xW3},{x€N|2x<4}={xeN|x<2}={0,1},

.?.4nB={x6R|-1WXW3}A{0,l}={0,1).

集合ACB中元素的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

2.（5分）若z（l-i）=2i,則彳的虛部為（)

A.1B.-1C.iD.T

【解答】解：由z（l-i）=2i,

徂2;(1+02i+2i2-2+2i

得z=H2i-1+/,

(1-0(1+/)-I2+122

z=-1-?,

則2的虛部為-1.

故選：B.

3.（5分）在喙王的二項(xiàng)展開式中，/的系數(shù)為（

15C,亮D.—

?1616

【解答】解:6的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr*(-D

r+1-C6

令3-E,求得，n,故/的系數(shù)為一42一53

16

故選：D.

4.（5分）已知平面向量Z=（6，-1）,歷|=4,且則|=（）

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：由平面向量Z=（?,-1）-可得訝=愿萬=2,

由（a-2b）J_a，可得a，（a-2b）=0,

即a=2a?b=4,

則a-b=2,

GV1=底針=e2_2；后+/=也-2義2+16=4,

故選：C.

5.（5分）2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球土壤樣品，在預(yù)定區(qū)域安全著

陸.嫦娥五號(hào)是使用長征五號(hào)火箭發(fā)射成功的，在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速

度v（單位：〃?/s）和燃料的質(zhì)量〃（單位：kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量相（單位：kg）

的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為u=2000/〃（l+絲）.如果火箭的最大速度達(dá)到12k〃7/s,則燃料的質(zhì)量

m

與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是（）

A.M=e6mB.Mm=—1C.InM+Inm=6D.——=e6—1

tn

【解答】解：由題意可得：v=2000/n（l+—）=12000,

tn

得1+竺二/，解得：—=e6-l,

mm

如果火箭的最大速度達(dá)到12km/s,則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是竺=才一］,

m

故選：D.

6.（5分）設(shè)〃=$皿2,則（）

A.a2<2a<log)aB.logjtz<<a2

22

22

C.a<log[a<TD.\og}a<a<T

22

&,

【解答】解：a=sin2,-<2<——<a<1,

242

ii1且L<"<1,2fl>1,

「.logi6r<log|—=-

52222

/.log,tz<a2<T,

2

故選：D.

7.（5分）函數(shù)/（x）=|sinx|cosx的導(dǎo)函數(shù)尸（x）在［0,九］上的圖象大致為（）

【解答】解：當(dāng)xe[0,何時(shí)，sinx..O,

f'(x)=cos2x-sin2x=cos2x，

結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可知選項(xiàng)8正確,

故選：B.

8.（5分）在四面體力BCO中，AABC和ABC。均是邊長為1的等邊三角形，已知四面體ABCD

的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，且4）是該球的直徑，則四面體A8C。的體積為（）

A夜R近°屈D夜

241264

【解答】解：在四面體A3C。中，A48C和A8CD均是邊長為1的等邊三角形，

四面體ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面.匕且A。是該球的直徑,

/.AB=AC=BC=BD=CD=I,NABD=ZACD=90°,

OB=OC=0D=—BO.LAD,130±OC

2tf

,8O_L平面AC￡>,

二.四面體ABCD的體積為：

Vn4CD=-xSMCDxBO=-x—xV5x—x—=-.

"AC"33222]2

故選：B.

B

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2

分，不選或有錯(cuò)選的得0分.

9.（5分）下列命題中正確的是（）

A.命題“VxeR,sin%,1”的否定是“IceR,sinx>1M

B.““>1"是“4<1”的充分不必要條件

a

C.在中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,若合+從〉。?，則&4BC為

銳角三角形

D.在&48c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,若sin2A=sin28,則A=8

【解答】解：全稱命題的否定為特稱命題，故命題“VxeR,Sin%,1”的否定是“heR,

sinx>1n,選項(xiàng)A正確,

求解不等式可得“>1或”0,故"“>1"是“』<1”的充分不必要條件，選項(xiàng)3正

aa

確，

&45c中，若/+/>/,則asC="'6/c為銳角，但是不能確定&48C為銳

2ab

角三角形，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

&4BC中，若A=三,B=三,滿足sin2A=sin28,不滿足A=5,選項(xiàng)Z）錯(cuò)誤；

36

故選：AB.

10.（5分）已知等差數(shù)列⑸}的前“項(xiàng)和為S”（〃eN*）,公差d*0,S6=9（）,%是的與。9

的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.a}=22

B.d=-2

C.當(dāng)〃=10或〃=11時(shí)，，Slt取得最大值

D.當(dāng)S〃>0時(shí)，〃的最大值為21

【解答】解：由公差dwO,S6=90,可得64+154=90,即2%+5d=30,①

由%是%與%的等比中項(xiàng)，可得〃；=%%，即為(4+64=(q+2d)(q+8d),

化為q=—10d,②

由①②解得4=2(),d=-2,故A錯(cuò)誤，B正確；

由S“=20〃+g〃(〃-1)(_2)=2山_“2=_(“_^)2+半,

由于〃為正整數(shù)，可得〃=10或11時(shí)，S,,取得最大值110；故C正確；

由S,>0,解得可得〃的最大值為20.故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.(5分)過拋物線V=4x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于4(%,%)，B(x2,打)兩點(diǎn)，M

為線段AB的中點(diǎn)，則()

A.以線段A3為直徑的圓與直線x=-1相切

B.以線段即為直徑的圓與y軸相切

9

C.當(dāng)AF=3RB時(shí)，[48|=—

2

D.OAOB=—3(。為坐標(biāo)原點(diǎn))

【解答】解：丁=人的焦點(diǎn)以1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

對(duì)于A,設(shè)A,B,M在準(zhǔn)線上的射影為A',B,M',

由|AF|=|A4'|,\BF\=\BB'\,\MM'\=^(\AA'\+\BB'=AF\+\FB\)=-\AB\,可得線

段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，與直線y軸相交，故A對(duì)；

對(duì)于B，設(shè)A5,y),B(X2,y2),

BR的中點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為;(1+當(dāng))，”到y(tǒng)軸的距離"=上?=一.顯然以線段BF為直

徑的圓與y軸相交，故8對(duì)；

對(duì)于C,利用「一+J_=4=],AF=3BF,可得AF=4,BF=-,AB=—,故C錯(cuò)；

AFBFp33

2

對(duì)于D,。408=%元2+y%=(—P~)=—3，故。對(duì).

故選：ABD.

12.(5分)己知曲線丫=$皿8+馬3>0)在區(qū)間(0,1)上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心,

4

則下列結(jié)論中正確的是()

A.存在口，使sin(竺匕巴)>立

42

B.存在co，使sin(2.上%)=—

42

C.有且僅有一個(gè)/e(0,l),使sin(叫)+?)=[

D.存在不￡(。,1)，使sin(69Xo+()<O

【解答】解：曲線y=sin(〃)x+工)(69>0),

4

，對(duì)木爾軸為5+工=工+1<乃(kwZ),BPx=-^-+—7r(kGZ)，

42469co

、.jrjrk

對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)0x+—=k%(kGZ),即x-------F—?(kGZ),

44coco

在區(qū)間(0,1)上恰有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，

71.71

——4(<13》一4

5〃

乃

一

-一

40:，4

解日n3454

3沏，即--<--，

乃

-<1>一44

一1

4

口4

747%

Aco

選項(xiàng)A,在范圍內(nèi)存在少使sin(空且)>也，故選項(xiàng)4正確;

42

選項(xiàng)B,2<2>G(—,則20=2乃時(shí)成立，故選項(xiàng)8正確；

22

選項(xiàng)C,—<,不是僅有一個(gè)￡（0,1）,使sin（69,）+馬=±故選項(xiàng)C不正確；

4445

選項(xiàng)￡）,存在為=：,口=.，使sin（@To+（）<0,故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.（5分）已知tana=L則為四二包蟲的值為*.

31+cos2a-18一

【解答】解：tana=-,

3

sin2cr-sin12a_2sincrcos?-sura_2tancr-tarra_3_5

1+cos2a2cos2a2218

故答案為：

18

14.（5分）CES是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會(huì)

.2020CES消費(fèi)電子展于2020年1月7日-10日在美國拉斯維加斯舉辦,在這次CES消費(fèi)電

子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場.若該公司從7名員

工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作（這3名員工的工作視為相同的工作），再選出2名員工分

別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有I人負(fù)責(zé)接待工作，則不同的安排

方案共有360種.

【解答】解：根據(jù)題意，不考慮甲乙的限制條件，從7名員工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作，

有C^=35種選法，

在剩下的4人中任選2人，安排在上午、下午講解該款手機(jī)性能，有月=12種選法，

則不考慮甲乙的限制條件時(shí)，有35x12=420種安排方法；

若甲乙都安排負(fù)責(zé)接待工作，有C；x后=6（）種安排方法，

則有420-60=360種安排方法；

故答案為:360.

15.（5分）某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng)，現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名

投票，投票要求見選票，如圖所示.這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為

總票數(shù)的84%,75%,46%,則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能

為95%.

“我身邊的榜樣”評(píng)選選票

候選人符號(hào)注：

甲1.同意畫“O”,不同意畫“X”.

72.每張選票“O”的個(gè)數(shù)不超

過2時(shí)才為有效票.

丙

【解答】解：不妨設(shè)共有選票100張，投1票的x,投2票的y,投3票的z,

x+2y+3z=84+75+46

則根據(jù)題意得＜x^+z=100,

x,y,z€N

整理可得z-x=5,即z=x+5,

由題意，若要投票有效率越高，則z需越小,

故當(dāng)x=0時(shí)，z最小為5,此時(shí)y=95,

此時(shí)投票的有效率為954-100=95%,

故答案為：95%.

16.（5分）如圖，在底面邊長為2,高為3的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個(gè)面均相

切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個(gè)面相切，也與大球相切，則小球的半徑為

5-岳

【解答】解：大球的半徑為R=l,設(shè)小球的半徑為r,如圖,

由題意可知，OD=應(yīng)-岳,CD=2-r,CO=1+r,

所以(l+r)2=(2—,y+(五一夜/產(chǎn)，2r-10r+5=0,

re(0,1),

解得一標(biāo)近=匕叵,

42

5-岳

故答案為:

2

四、解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知等差數(shù)列｛七｝的公差"大于0,且由，牝是方程^-12》+27=0的兩根,

數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為，且5'=|依-1）,（〃€生）.

（1）求數(shù)列｛4｝,｛"｝的通項(xiàng)公式;

（2）若。=a“b?,求數(shù)列?｝的前n項(xiàng)和T?.

【解答】解：（1）生，氏是方程d-12x+27=0的兩根，且數(shù)列｛q｝的公差d>0,

.,.a,=3,as=9,公差d=^~—=2

-5-2

an=a2+（n—2）d=2n-\...（3分）

3

又當(dāng)〃=1時(shí)，有4=S[=5（A—1）,:.bx=3

當(dāng)n..211寸，有仇=5?-也-鼬），；.bn=3%

又a=3n0.?.數(shù)列｛"｝是首項(xiàng)4=3,公比q=3的等比數(shù)列，

bn=刎=3"…（6分）

(2)由(1)知c,=a也=(2〃-1)3"…(7分)

7；,=3+3<+53,+...+(2/1-3)3,,''+(2?-1)3"(1)

37；=3,>3網(wǎng)，…+(2〃-5)3"'+(2〃-3)3"+(2〃-1)3"'(2)…(9分)

32(1-3,1-')

(1)(2)：-27；,=3+2(32+33+...+3U)-(2/?-1)BP=3-(21)3n+l+2

1-3

7；=3+(n-l)3),+l.(12分)

18.(12分)已知△ABC中，bcosA-c>0.

(I)Z\ABC中是否必有一個(gè)內(nèi)角為鈍角，說明理由.

(II)若△ABC同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：

?sinA=~^";?sinC=^^":③"=2；(?)c=V2-

請(qǐng)證明使得△ABC存在的這三個(gè)條件僅有一組，寫出這組條件并求出b的值.

【解答】解：(I)因?yàn)槭蟧sA-c>0,由正弦定理可得sinBcosA-sinOO,

在△ABC中，C=n-A-B,

sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB?

所以不等式整理為sinAcosB+cosAsin8<sin8cosA,

即sinAcosBVO,因?yàn)?0,n),sinA>0,

所以cosBVO,所以B為鈍角；

(ID(i)若滿足①③④，則正弦定理可得

sinAsinC

即是=穆_,所以sinC=工，

V2sinC2

2_

又“〉c,所以4>C,在三角形中，sinA=Y^,

2

所以A=2L或A=9TT,而由(I)可得4=工，

444

所以可得。=3_,8=71-A-C=TT-_ZL=」_TT；

64612_________

所以Z,=Va2+c2-2accosB=，4+2-2X2Xa(一叱&)=心1;

Gi)若滿足①②，由(I)B為鈍角，4,C為銳角，

及sin4=2Za,sinC=Y^,可得A=2-,C=?L,

2243

所以B=』不符合B為鈍角，故①②不同時(shí)成立；

12

(iii)若滿足②③④，由B為鈍角，sinC=YM,

2

所以C=?L,而所以A>C,這時(shí)

33

不符合8為鈍角的情況，所以這種情況不成立；

綜上所述：只有滿足①③④時(shí)

19.(12分)如圖，正方形A8CO和4郎所在面互相垂直，且邊長都是1.M,N,G分

別為線段AC,BF,AB上的動(dòng)點(diǎn)，CM=BN,Af//平面例NG,記8G=a(0<a<l).

(1)證明：A/G_L平面"￡F：

(2)當(dāng)MN的長最小時(shí)，求二面角A-mV-B的余弦值.

【解答】(1)證明：AF//平面例NG,且AFu平面平面43EFC平面MNG=NG,

AF//NG,...N8NG=45°,

BG=a,CM=BN=\[2a,AG=1—?,AM=\/2(l—a),

AMAG\-a

MG!IBC,

ABIBC,MGLAB,

平面ABC。_L平面,平面4BCDC平面AB所=AB,MGu平面4BCD,

MG±平面ABEF.

(2)解：由(1)知，MGJ.平面ABEF,

NGu平面ABEF,MGLNG,

MN=ylNG2+MG2=7a2+(l-a)2=ylla2-2a+L.,當(dāng)且僅當(dāng)a=工時(shí)，等號(hào)成立，

以8為原點(diǎn)，BA、BE、8c所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則4(1,0,0),B(0,0,0),*,0,；),N(g,；,0),

AM=(-萬，0，—)>MN(0>—>——)>

設(shè)平面A例N的法向量為加=(x,y,z),則口3=°,即22,

[%M/V=O_Ly」z=O

[2'2

令z=l,貝ljx=l,y=l，.\/n=(1,1,1),

同理可得，平面BMN的法向量為〃=(-1,1,1),

mn11

cos<m,n>=------=—j=7==—,

\m\-\n\V3xV33

由圖可知，二面角A-MN-3為鈍角，

.??二面角A-MN-B的余弦值為.

3

20.(12分)為了進(jìn)一步提升廣電網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量，某市廣電運(yùn)營商從該市某社區(qū)隨機(jī)抽取140名

客戶，對(duì)廣電網(wǎng)絡(luò)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的滿意程度進(jìn)行調(diào)查，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為9,

7

服務(wù)水平的滿意率為*,對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的有90名客戶.

7

(1)完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否有97.5%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)；

對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù)對(duì)服務(wù)水平不滿意人合計(jì)

數(shù)

對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)

對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人

數(shù)

合計(jì)

(2)為進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量，在選出的對(duì)服務(wù)水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進(jìn)意

見，用X表示對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望：

(3)若用頻率代替概率，假定在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平兩項(xiàng)都滿意

的客戶流失率為5%,只對(duì)其中一項(xiàng)不滿意的客戶流失率為40%,對(duì)兩項(xiàng)都不滿意的客戶流

失率為75%,從該社區(qū)中任選4名客戶，則在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)至少有2名客戶流失的

概率為多少？

附:

Pg.k)0.100.050.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K?=----------必八bef------,其中”=“+6+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

【解答】解：(1)由題意知，對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意的為140x9=120人，對(duì)服務(wù)水平滿意的為

7

140x2=100人，

7

補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下所示：

對(duì)服務(wù)水平滿意人數(shù)對(duì)服務(wù)水平不滿意人合計(jì)

數(shù)

對(duì)業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)9030120

對(duì)業(yè)務(wù)水平不滿意人101020

數(shù)

合計(jì)10040140

故有97.5%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān).

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,

/"=。)=若嗎,""管嗎，"X=2)=等后

「.X的分布列為

X012

P29203

525252

數(shù)學(xué)期望夙X)=0x"+lx?+2x』

5252522

(3)在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)，對(duì)業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平兩項(xiàng)都滿意的客戶流失的概率為

型x5%」

140280

只對(duì)其中一項(xiàng)不滿意的客戶流失的概率為&x40%=衛(wèi),

140280

對(duì)兩項(xiàng)都不滿意的客戶流失的概率為」2x75%=」，，

140280

從該運(yùn)營系統(tǒng)中任選一名客戶流失的概率為"衛(wèi)生=」,

2805

在業(yè)務(wù)服務(wù)協(xié)議終止時(shí)，從社區(qū)中任選4名客戶，至少有2名客戶流失的概率為

p=y玲*—嗚■嘿.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ae'-/〃(l+x)-cos(a-l),aeR.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/0)的零點(diǎn)；

(2)若/(x)..O,求a的取值范圍.

【解答】解：(1)由題知：當(dāng)々=1時(shí)，

/(x)=ex-ln(y+x)-1,=ex---------,

l+x

令g(x)=f\x)=ex-,所以g，(x)=e*+—1-r>0,

1+x(1+x)

所以g(x)在(-1,+w)上單調(diào)遞增，且g(0)=0,

所以，當(dāng)xe(-l,0)時(shí)，f'(x)<0,f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，f\x)>0,/(x)在