2020-2021學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)競賽卷2（解析版）

2020—2021學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)競賽卷2

單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）

1.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是36。，則此等腰三角形的兩個相等底角的

度數(shù)大小是（）

A.54°B.63°C.27°D.27°或63°

【答案】D

【解析】解：在三角形ABC中，設(shè)=BD1AC于C.

①若是銳角三角形，乙1=90。-36。=54。，

底角=（180°-54°）+2=63°；

②若三角形是鈍角三角形，ZB/1C=36°+90°=126°,

此時底角=(180°-126°)+2=27°.

所以等腰三角形底角的度數(shù)是63。或27。.

故選：D.

分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可

求出它的底角的度數(shù).

此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和應(yīng)用，此題的關(guān)鍵

是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理.

2.若關(guān)于x的不等式組［二父］；的所有整數(shù)解的和是6,則機的取值范圍是（）

A.3<771<4B.3<m<4C.3<m<4D.3<m<4

【答案】B

【解析】解：不等式組整理得：fX-1,

解得：1S尤<m,

整數(shù)解的和是6,得到1+2+3=6,即整數(shù)解為1,2,3,

則m的范圍是3<mW4,

故選:B.

不等式組整理后表示出解集，由解集中所有整數(shù)解和是6求出m的范圍即可.

此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖是5個小正方形紙片拼成的圖形，現(xiàn)將其中一個小正方形紙r~\

片平移，使它與原圖中剩下的小正方形紙片有一條或兩條邊重合I~~[

后拼成一個軸對稱圖形，在拼出的所有不同位置的軸對稱圖形中，

全等的圖形共有（）

A.0對B.1對C.2對D.3對

【答案】B

在拼出的所有不同位置的軸對稱圖形中，全等的圖形共有1對，

故選：B.

將其中一個小正方形紙片平移，使它與原圖中剩下的小正方形紙片有一條或兩條邊重合

后拼成一個軸對稱圖形，進而得出結(jié)論.

本題主要考查了利用平移設(shè)計圖案，確定一個基本圖案按照一定的方向平移一定的距離,

連續(xù)作圖即可設(shè)計出美麗的圖案.通過改變平移的方向和距離可使圖案變得豐富多彩.

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4.正整數(shù)人氏c是等腰三角形的三邊長，并且。+兒+6+。。=24,則這樣的三角

形有(

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】解：a+be+b+ca=24可以化為(a+b)(c+1)=24,其中a,b,c都是正

整數(shù)，并且其中兩個數(shù)相等，

令a+b=A,c+l=C5!UA,C為大于或等于2的正整數(shù)，

那么24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合2X12,3X8,4x6,6x4,

8x3,12x2,

①、4=2,C=12時，c=ll,a+b=2,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

②、4=3,C=8時，c=7,a+b=3,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

③、4=4,C=6時，c=5,a+b=4,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

④、4=6,C=4時，c=3,a+b=6,可以得到a=b=c=3,可以組成等腰三角

形；

⑤、4=8,C=3時，c=2,a+b=8,可得a=b=4,c=2,可以組成等腰三角

形，a=6=4是兩個腰；

⑥、A=12,C=2時，可得a=b=6,c=1,可以組成等腰三角形，a=b=6是兩

個腰.

二一共有3個這樣的三角形.

故選：C.

先將a+bc+b+ca=24可以化為(a+b)(c+1)=24,然后根據(jù)24分解為大于等于2

的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合討論是否符合題意即可得出答案.

本題考查數(shù)的整除性及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時將原式化為因式相

乘的形式及將24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合是關(guān)鍵.

11,X-1

-x-1W—

:2有且只有4個整數(shù)解，且使關(guān)于x的方

(—d-3%>0

程'7+F=-2的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)”的和為()

X—11—X

A.7B.10C.12D.1

【答案】A

—x—1<----

【解析】解：解不等式組"-2得，-3wx<g

-a-3x>06

X.2

?.?不等式組只有4個整數(shù)解,

0<-<1,

0<a<6,

解分式方程高+蕓=—2得:

???分式方程的解為正數(shù)，

1?.—>0,且?1,

22

解得：a<5且a+3,

綜上可得，a的取值范圍為0<a<5,且aK3,

則符合條件的所有整數(shù)a的和為：1+2+4=7.

故選：A.

解不等式組求得其解集，根據(jù)不等式組只有4個整數(shù)解得出。的取值范圍，解分式方程

得出其=與巴，由方程的解為正數(shù)且分式有意義得出a的取值范圍，綜合兩者所求最終

確定。的范圍，據(jù)此可得答案.

本題考查了解一元一次不等式組、分式方程的解，有難度，注意分式方程中的解要滿足

分母不為0的情況.

6.如圖，平行四邊形ABC。中，點E在邊上，以BE為折痕,將△ABE向上翻折，

點A正好落在CQ上的點F,若AFCE的周長為29,ZkFCB的周長為51,則FC的

長為（）

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意得AFBE三A4BE,

EF=AE,BF=AB.

???平行四邊形ABC。,

二AD=BC,AB=DC.

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.?△FDE的周長為29,即DF+DE+E尸=29,

DF+DE+AE=29,即DF+AD=29.

???△FC8的周長為51,即FC+BC+B尸=51,

■■FC+AD+DC=51,即2FC+4D+D尸=51.

2FC+29=51,

解得：FC=11.

故選：C.

仔細分析題意，AFBE為△4BE的翻折后的三角形，則APBE三AABE,利用全等三角

形各對應(yīng)邊相等、平行四邊形的性質(zhì)及線段間的等量關(guān)系可求解尸C的長.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及圖形的翻折問題；解決翻折問題的關(guān)鍵是找著相等的邊,

利用整體思想求得答案.

7.某學(xué)校要召學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的

余數(shù)大于6時再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的

函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=［制（［幻表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（）

=SB.y=［等］C.y=［聾D.y=［誓］

【答案】B

【解析】解：由題意可得，

當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)不大于6時，應(yīng)舍去，

當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于等于7時，就增加一名代表，

故y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=［誓］,

故選:B.

根據(jù)題意，可以得到各班人數(shù)除以1（）的余數(shù)與是否增選一名代表的關(guān)系，從而可以得

到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，本題得以解決.

本題考查不等式、函數(shù)關(guān)系式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

8.如圖，△AOB中，々1OB=90。，40=4,BO=8,小。〃「

繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)到AdOB'處，此時線段4B'與BO的

交點E為80的中點，則線段B'E的長度為（）E-----X°

B'

A.3V5

B型

5

C.壁

5

D,.

5

【答案】B

【解析】解：???/-AOB=90°,AO=4,BO=8,

■-?AB=7Aoz+BO?=V42+82=4西，

???△AOB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)到△4OB'處，

???AO=A'O=4,A'B'=AB=4V5，

???點E為8。的中點，

OE=-BO=ix8=4,

22

OE=A'O=4,

過點。作OF1AB'于F,

SWOB，=Jx4V5-OF=1x4x8,

解得OF=嗎

5

在Rt△EO尸中，EF-y/OE2-OF2-J42一（雪，-等，

???OE=A'O,OFLA'B',

：.A'E=2EF=2x—=—,

55

B'E=A'B'-A'E=4V5--=—;

55

故選：B.

由勾股定理求出AB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4。=4'0,AB'=4B,再求出OE,從而得到

OE=A'O,過點。作。FlA'B'于F,由三角形的面積求出OF,由勾股定理列式求出

EF,再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=2EF,然后由B'E=4夕一AE代入數(shù)

據(jù)計算即可得解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及三角形面

積等知識；熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）

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A

9.如圖，P為正三角形外一點，且不與A、B在同一直線上,

AP=2,BP=3,當(dāng)此三角形的邊長、位置都可改變時,

則線段PC的長的最大值是.

【答案】5

【解析】解：如圖，以AP為邊作等邊△APD,連接PC,CD,

???△ABC,△P/W是等邊三角形，

AP=AD=PD=2,/.PAD=60°=Z.BAC,AB=AC,

Z.BAP=/.CAD,且4P=4D,AB=AC,

???△ADC^t^APBAS)

CD=PB=3,

在△PCD中，PC<PD+CD=5,

.?.當(dāng)點力在PC上時，PC有最大值為5.

如圖，以A尸為邊作等邊△4PD,連接PC,CD,由“SAS”可證△4DC三AAPB,CD=

PB=3,由三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點。在PC上時，PC有最大值為5.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，添加恰當(dāng)

輔助線是本題的關(guān)鍵.

10.如圖，尸為邊長為2的正三角形中任意一點，連接PA、

PB、PC.過P點分別作三邊的垂線，垂足分別為D、E、

F,則PD+PE+PF=；陰影部分的面積為

【答案】V3;苧

【解析】解：([)??,正三角形的邊長為2,

為2xsin600=V3?

***S&ABC=￡x2xV3=y/3i

?:PD、PE、尸F(xiàn)分別為BC、AC.A3邊上的高，

ill

?*'S*PBC=]BC,PDfShPAC=-AC-PE,S“PAB=&AB-PF

vAB=BC—AC,

???SRPBC+S"AC+S&PAB=[B。?PD+^4。?PE+(48?PF=3X2(PD+PE+PF)=

PD+PE+PF,

SAABC=SAPBC+SAPAC+S&PAB)

PD+PE+PF=V3;

(2)?.?點尸是三角形內(nèi)任意一點，

???當(dāng)點P是4ABC的中心時，陰影部分的面積等于△ABC面積的一半，

即陰影部分的面積為二S-BC=--

故答案為：V3,隹.

2

(1)求出等邊三角形的高，再根據(jù)A/IBC的面積等于AP/IB、4PBC、ZiP/lC三個三角形

面積的和，列式并整理即可得到PD+PE+PF等于三角形的高；

(2)因為點P是三角形內(nèi)任意一點，所以當(dāng)點尸為三角形的中心時，陰影部分的面積等

于三角形面積的一半，求出A4BC的面積，即可得到陰影部分的面積.

本題主要利用等邊上角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分成的三個三角形的

面積的和求解；第二間體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題中由一般到特殊的解題思想.

11.若設(shè)+2|+設(shè)一3|2<1對任意實數(shù)》都成立，則a的取值范圍為.

【答案】a<5

【解析】解：由于|x+2|+|久一3|表示數(shù)軸上的x的對應(yīng)點到-2、3的對應(yīng)點距離之利,

它們的最小值是5,

,?1|x+2|4-|x-3|>a對任意實數(shù)x都成立，

???a<5,

故答案為a<5.

根據(jù)絕對值的意義求得|x+2|+|x-3|的最小值為5,從而得到a的取值范圍.

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本題考查了絕對值的意義，絕對值不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

12.如圖，A/IBC中，4B=4C=BC,P為三角形內(nèi)一點，P4=2,入

PB=1,PC=V3，△4BC的面積是./\

【答案】咨

4

【解析】解：將AABP以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到木、

vAP=AD,4PAD=60°,CD=PB=1,AD=PA=2,；

PAD是等邊三角形，片飛

/.APD=60°,PD=PA=2,

vPC=V3，

PC2+CD2=PD2,

PCO是直角三角形，且“CD=90°,

???sinHf

乙CPD=30°,

ZXPC=^APD+ZCPD=90°,

AC=y/PA24-PC2=V7-

S4ABe-ACsin600=-xV7xV7x—.

=L2AB224

故答案為：速.

4

首先將AABP以A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACD,易得AAPC是等邊三角形，

△PCC是直角三角形，繼而求得N4PC=90。，由勾股定理，可求得AC的長，繼而求得

答案.

此題考杳了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理.此

題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用.

13.已知久2—%—1=0,則/_2x2+3=

【答案】2

【解析】解：???/-%-1=0,

A%2—%=1,

:.X3—2x2+3

=x(x2-x)-(x2-%)-%4-3

=xxl—1—x+3

=%—1—x+3

=2,

故答案為：2.

根據(jù)/-工-1=0,可以得到%的值，然后對所求式子變形即可解答本題.

本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出所求式子的值.

14.已知x,＞滿足：一:一二=o，則;+9的值為_____.

xyxT_yy”

【答案】±V5

【解析】解：；H=。，

*yx~ry

.??等式的兩邊同乘(x+y)得：=0,

1*y

???(f-2+就=1,

???()2+§)2=3

??.(出)2=胱+(》2+2=5,

一+J西

yx

故答案為：士通

先將原式等式化為

本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題(本大題共4小題,15題，16題7分，17,18題8分，共30分。解答應(yīng)寫

出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.某公司開發(fā)的720件新產(chǎn)品，需加工后才能投放市場.現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加

工這批產(chǎn)品，己知甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多

用20天，而乙工廠的工作效率是甲工廠的1.5倍；在加工過程中，公司需每天支付

80元勞務(wù)費請工程師到廠進行技術(shù)指導(dǎo).

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(1)求甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產(chǎn)品？

(2)該公司要選擇省時又省錢的工廠加工，如果甲工廠向公司報加工費用為每天600

元，請問：乙工廠向公司報加工費用每天最多為多少元時，才可滿足公司要求，有

望加工這批產(chǎn)品.

【答案】解：(1)設(shè)甲工廠每天加工x件，則乙工廠每天加工1.5x件，

依題意，得：--^=20,

x1.5x

解得：x=12,

經(jīng)檢驗，久=12是原分式方程的解，且符合題意，

:.1.5x=18.

答：甲工廠每天加工12件，乙工廠每天加工18件.

(2)甲工廠的加工總費用為(600+80)x詈=40800(元).

設(shè)乙工廠向公司報加工費用每天y元，則乙工廠的價格總費用為(y+80)=40(y+

80)元，

依題意，得：40(y+80)<40800,

解得：x<940.

答：乙工廠向公司報加工費用每天最多為940元時，可滿足公司要求，有望加工這批產(chǎn)

品.

【解析】(1)設(shè)甲工廠每天加工x件，則乙工廠每天加工1.5工件，根據(jù)工作時間=工作總

量+工作效率結(jié)合甲工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完成這批產(chǎn)品多用

20天，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)加工總費用=每天所需費用x工作時間可求出甲工廠的加工總費用，設(shè)乙工廠向

公司報加工費用每天y元，則乙工廠的價格總費用為40(y+80)元，由乙工廠的加工總

費用低于甲工廠的加工總費用，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最大

值即可得出結(jié)論.

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出分式方程.

16.如圖，在AABC中，/.BAC=60%D是AB上一點，AC=BD,

P是CD中點.求證：AP=^BC.

【答案】證明：延長AP至點R使得P尸=4P,連結(jié)DF,CF,

???「是。。中點，

/.CP=DP,

??.四邊形ACFD是平行四邊形，

???DF=AC=BD,DF//AC,

???乙FDB=^BAC=60°,

??.△BDF是等邊三角形，

BF=DF=AC,Z,ABF=60°,

:.乙ABF=Z.BAC,

在△48。和ABAF中，

AB=BA

???Z.BAC=Z.ABF,

AC=BF

：^ABC=L84/(SAS),

：.AF=BC,

：.AP=-AF=-BC.

22

【解析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形和平行四邊形,先證明四邊形ACFD是平行四邊形，

得DF=4C=B。，DF//AC,再證明△BDF是等邊三角形，證明△4BC三△B4F(S4S),

可得結(jié)論.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

17.若直角三角形三邊長為正整數(shù)，且周長與面積數(shù)值相等，則稱此三角形為“完美直

角三角形”，求“完美直角三角形”的三邊長.

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【答案】解：設(shè)三邊長為小b,C,其中C是斜邊，

(a2+爐=c2(l)

則有)it..Qb,、

(a+b+c=y(3)

(2)代入(1)得a?+川=_a_b)2

即岑(ab-4a-4b+8)=0

因為Q/?H0所以Q/?-4a—4b+8=0

所以a=4+三(a力為正整數(shù))

所以b-4=1,2,4,8,

所以b=5,6,8,12；

a=12,8,6,5；

c=13,10,10,13,

所以，三邊長為6,8,10或5,12,13.

【解析】設(shè)三邊長為〃、b.c,其中c是斜邊，則存在勾股定理和周長等于面積這兩個

等量關(guān)系，解方程組且根據(jù)a、b、c均為正整數(shù)可得a、b、c的值.

本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了分類討論思想，本題中討論人b

的值是解題的關(guān)鍵.

18.若一個兩位正整數(shù)〃?