江蘇省徐州市邳州市新世紀(jì)學(xué)校2024屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

邳州市新世紀(jì)學(xué)校2023~2024學(xué)年度第一次月考高三數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（）A.2 B.4 C. D.3.函數(shù)f（x）=lnx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A. B. C. D.4.已知，，則（）A. B. C.2 D.－25.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B. C. D.6.若，則（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)的定義城為R，且滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.3 D.48.若可導(dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分)9．下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.，則10.下列命題中正確的是（）A.的最小值是2B.當(dāng)時(shí)，的最小值是3C.當(dāng)時(shí)，的最大值是5D.若正數(shù)滿足，則的最小值為311.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的截距為．則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為2C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為偶函數(shù)12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在上有極小值 B.的最小值為C.在上單調(diào)遞增 D.的最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)，若，則的取值范圍是__．14.已知，則___________.15.若曲線過(guò)點(diǎn)的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.已知函數(shù)，當(dāng)，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)________.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知集合，，命題，命題.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)，記函數(shù)的最小正周期為，向量，，，且．（1）求在區(qū)間上的最值；（2）求的值．19.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.20.（本小題滿分12分）請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.①；②；③.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：對(duì)任意的.22.已知函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．邳州市新世紀(jì)學(xué)校2023~2024學(xué)年度第一次月考高三數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】解不等式得到，求出交集.【詳解】，或，故.2.已知某扇形的面積為3，則該扇形的周長(zhǎng)最小值為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【分析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，由題意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周長(zhǎng)最小值.【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，所以扇形的面積為，所以，又扇形的周長(zhǎng)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：D.3.函數(shù)f（x）=lnx-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求得，結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，，可得，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了零點(diǎn)的存在定理的應(yīng)用，其中解答中熟記零點(diǎn)的存在定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，，則（）A. B. C.2 D.－2【答案】B【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，由正切的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗杂傻茫虼?，由二倍角公式可得，故選：B5.函數(shù)在的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的對(duì)稱性排除A，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值符號(hào)排除BC即可求解.【詳解】，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，是奇函數(shù)，排除A；當(dāng)時(shí)，，排除C；當(dāng)時(shí)，中，故，排除B.故選：D6.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【分析】由已知不等式變形可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，即，故，則，所以，，則，A錯(cuò)B對(duì)；無(wú)法確定與的大小，故與的大小無(wú)法確定，CD都錯(cuò).故選：B.7.已知函數(shù)的定義城為R，且滿足，，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.3 D.4【答案】A【分析】根據(jù)題目條件得到，故的一個(gè)周期為8，從而得到，計(jì)算出，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，故，即①，用代替得②，由①②得，故的一個(gè)周期為8，故，又得，時(shí)，，故，故.故選：A8.若可導(dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】令，，又導(dǎo)函數(shù)得到在上單調(diào)遞減，結(jié)合是定義在R上奇函數(shù)得到與0的大小，從而解不等式.【詳解】令，，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，所以，解得，又，故不等式的解集為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分)9．下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，故D正確.故選：BD.10.下列命題中正確的是（）A.的最小值是2B.當(dāng)時(shí)，的最小值是3C.當(dāng)時(shí)，的最大值是5D.若正數(shù)滿足，則的最小值為3【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，①，但是無(wú)解，所以①等號(hào)不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，是正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的截距為．則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為2C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.為偶函數(shù)【答案】BC【分析】由周期求，由五點(diǎn)法作圖求出的值，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出A，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】由圖知，的最小正周期，則.由，得.由，得，則，所以.當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增.因?yàn)?，則不是偶函數(shù)，故選：BC．12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在上有極小值 B.的最小值為C.在上單調(diào)遞增 D.的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則結(jié)合求得函數(shù)的表達(dá)式，同時(shí)求得，然后利用導(dǎo)數(shù)確定，的單調(diào)性和最值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，則，即，令（為常數(shù)），所以，，因?yàn)?，可得，所以，，，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，對(duì)于A選項(xiàng)，易得時(shí)達(dá)到極小值；A對(duì)對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞增，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，，D對(duì).故選：ACD．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于已知等式中含有，的式子，難點(diǎn)在于構(gòu)造新函數(shù)，已知條件轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，從而得出新函數(shù)的性質(zhì)．常見(jiàn)的新函數(shù)有，，，，，．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)，若，則的取值范圍是__．【答案】【分析】根據(jù)同角同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以的取值范圍是．故答案?.14.已知，則___________.【答案】【解析】因?yàn)椋运?，故答案為?15.若曲線過(guò)點(diǎn)的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】或【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的二次方程，則此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，從而由可求得答案.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為，故切線方程為，取，代入，得，∵，∴有兩個(gè)不等實(shí)根，故，解之，得或，故答案為：或16.已知函數(shù)，當(dāng)，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)________.【答案】12【分析】不妨設(shè)，由函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式為，引入函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，由此只要用導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，再由分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，可化為，設(shè)，則，所以為上的減函數(shù)，即在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，所以，因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.所以.故答案為：12.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題中含有兩個(gè)自變量以及其它參數(shù)，解題方法有兩種，（1）不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化不等式后利用函數(shù)的單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性：如，再解決新函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍；（2）不妨設(shè)，然后引入?yún)?shù)（，已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式，從而利用換元法變?yōu)殛P(guān)于的關(guān)系式（降元，即二元變一元），再由新函數(shù)的性質(zhì)求得參數(shù)范圍．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知集合，，命題，命題.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)元素和集合的關(guān)系列式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)且是的真子集列式，解不等式組可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，且，∴，解得.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】，得或，由，得，，是的充分不必要條件，∴是的真子集，所以（等號(hào)不能同時(shí)取得），解得，又或，所以.實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)，記函數(shù)的最小正周期為，向量，，，且．（1）求在區(qū)間上的最值；（2）求的值．【答案】（1）最大值是4，最小值是2（2）【解析】【分析】（1）把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最值；（2）由三角函數(shù)周期求出，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出，化簡(jiǎn)待求式得，最后由同角關(guān)系式可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】，∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值4；當(dāng)，即時(shí)，取最小值2．【小問(wèn)2詳解】∵，故，∴，∴，又.∴19.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】分析】（1）由偶函數(shù)定義求得參數(shù)值；（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相應(yīng)的不等式可得范圍．【小問(wèn)1詳解】由偶函數(shù)定義知：，即，∴對(duì)成立，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴，∴，即，解得：或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.（本小題滿分12分）請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.①；②；③.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）選①，，由正弦定理得，即∴∵∴選②，由得，∵，∴，∴，∴選③，由∴∴，∵，∴，∵，∴（2）解法一：由（1）可知，又，由余弦定理得∴即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又∴周長(zhǎng)的取值范圍為解法二：由（1）知，又正弦定理得∴周長(zhǎng)，又，∴周長(zhǎng)，又，∴∴周長(zhǎng)的取值范圍為21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：對(duì)任意的.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，即可求解；（2）不等式轉(zhuǎn)化為證明，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明不等式.【小問(wèn)1詳解】由題可知函數(shù)的定義域?yàn)榱畹没颍ㄉ崛ィ?0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.小問(wèn)2詳解】，要證明，只用證明，令，設(shè)，，即單調(diào)遞增，，，可得函數(shù)有唯一的零點(diǎn)且，滿足，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，因?yàn)?，因?yàn)椋圆蝗〉忍?hào)，即，即恒成立，所以，恒成立，所以，對(duì)成立.22.已知函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）時(shí)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案；（2）即有解，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷