集合的概念及特征（精講）

集合的概念及特征（精講）一．元素與集合的概念1.元素：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示．2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示．3.集合中的元素具有如下三個特性：(1)確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的，不能確定的對象就不能構(gòu)成集合．(2)互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的．(3)無序性：構(gòu)成集合的元素?zé)o先后順序之分．4.元素與集合的關(guān)系知識點(diǎn)關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于Aa∈A“a屬于A”不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于Aa?A“a不屬于A”5.常用數(shù)集及表示符號名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N＋ZQR只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的，例如集合{a，b，c}與集合{c，a，b}是相等集合二．集合的表示方法(1)定義：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法，一般可將集合表示為{a，b，c，…}.(2)使用說明①用列舉法表示集合時，一般不考慮元素的順序.②如果一個集合的元素較多，且能夠按照一定的規(guī)律排列，那么在不致于發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.③無限集有時也可用列舉法表示.(1)定義：一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法，有時也用冒號或分號代替豎線，寫成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.(2)使用說明①有些情況下，描述法中豎線“|”及其左邊元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示為{三角形}.②集合{x|p(x)}中所有在另一集合I中的元素組成的集合，可以表示為{x∈I|p(x)}.集合的分類有限集：集合的元素有限個無限集：集合的元素?zé)o限個一．集合概念的理解判斷一組對象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵在于看是否有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，每個元素是否互異。二．判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法1.直接法：集合中的元素是直接給出的.理法：對于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.三．元素的互異性求參數(shù)1.根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出字母的所有可能值2.根據(jù)集合中的元素的互異性對求得參數(shù)值進(jìn)行檢驗.注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時，要注意分類討論思想的應(yīng)用.四．集合的表示方法1.用列舉法表示集合(1)應(yīng)先弄清集合中的元素是什么，是數(shù)還是點(diǎn)，還是其他元素.(2)若集合中的元素是點(diǎn)時，則應(yīng)將有序?qū)崝?shù)對用小括號括起來表示一個元素.（3）使用列舉法表示集合時的注意事項①元素間用逗號隔開；②元素不能重復(fù)(互異性)；③元素之間不用考慮先后順序(無序性)；④有些集合的元素較多，元素又呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示，如不大于100的正整數(shù)所構(gòu)成的集合可表示成{1,2,3，…，100}；⑤“{}”含有“所有”“整體”的含義，如所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合可以寫為{實(shí)數(shù)}，但如果寫成{實(shí)數(shù)集}或{全體實(shí)數(shù)}就是錯誤的；⑥對于含有有限個元素且元素個數(shù)較少的集合，宜采用列舉法．2.利用描述法表示集合(1)寫清楚該集合代表元素的符號.例如，集合{x|x<1}不能寫成{x<1}.(2)所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi).例如，{x|x＝2k}，k∈Z，這種表示方式就不符合要求，需將k∈Z也寫進(jìn)大括號，即{x|x＝2k，k∈Z}.(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.考點(diǎn)一集合概念的理解【例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.【一隅三反】1．（2023·北京）下列各對象可以組成集合的是（

）A．與非常接近的全體實(shí)數(shù)B．北大附中云南實(shí)驗學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級視力比較好的同學(xué)D．高一年級很有才華的老師【答案】B【解析】對于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯誤；B中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B正確.故選：B.2．（2022秋·貴州銅仁·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組對象中，能組成集合的有___________（填序號）．①所有的好人；②平面上到原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)；③正三角形；④比較小的正整數(shù)；⑤滿足不等式的的取值．【答案】②③⑤【解析】①中“好人”，④中“比較小”不滿足構(gòu)成集合元素的確定性，而②③⑤滿足集合元素的性質(zhì)，故②③⑤正確，故答案為：②③⑤.3．（2023·上海）請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上____________.①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級新生；②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于1的所有點(diǎn)；③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；④不等式的所有正整數(shù)解.【答案】①②④【解析】對于①，“上海市2022年入學(xué)的全體高一年級新生”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合；對于②，“在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)的距離等于1的所有點(diǎn)”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合；對于③，“影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家”，其中影響力比較大的沒有明確的定義，故不能構(gòu)成集合；對于④，“不等式的所有正整數(shù)解”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合.故答案為：①②④.考點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系【例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是有理數(shù)，是無理數(shù)，均為實(shí)數(shù)，①正確，②錯誤；，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.故選：C.【一隅三反】1．（2023春·四川內(nèi)江）已知集合,那么（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知集合，故，故A正確，D錯誤，，故B錯誤，，故C錯誤，故選：A2．（2023春·福建龍巖）給出下列6個關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】為無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以，所以①正確；是無理數(shù)，所以，所以②錯誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯誤.故選:A.3．（2023春·山東濱州·高一校考階段練習(xí)）已知集合A=｛0，1，2｝，則（

）A．0A B．1 C．2=A D．A【答案】A【解析】已知，所以，，，而是任何集合的子集.故選：A考點(diǎn)三元素互異性及應(yīng)用【例31】（2023·北京朝陽）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（

）A．0 B． C．0或 D．0或1【答案】C【解析】設(shè)集合，若，，或，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；所以或.故選：C【例32】（2023·安徽）已知，若，則實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合的元素個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①，∴，，則，不可以，②，∴，，則，可以，或，∴，，則，不可以，③，，，則，不可以，或，∴，，則，不可以，∴，故選：B．【例33】（2023·河南）已知，若，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，且，解得，故選：B【例34】（2023·云南）已知集合的元素只有一個，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B．0 C．或0 D．無解【答案】C【解析】集合有一個元素，即方程有一解，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，有一解，則，解得：，綜上可得：或，故選：C.【一隅三反】1．（2023·福建）若，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時，符合題意；綜上所述：.故選：A.2．（2023春·河南）若，則a2020+b2020的值為（

）A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1【答案】C【解析】∵，根據(jù)集合中元素的性質(zhì)可得：∴，解得a=﹣1，b=0，∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.故選：C.3．（2023春·山東日照）已知集合，且，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【解析】集合，四個選項中，只有，故選：C．4．（2023·廣東）設(shè)集合，若，則的值為（

）．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】由集合中元素的確定性知或．當(dāng)時，或；當(dāng)時，．當(dāng)時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當(dāng)時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．5．（2023·陜西西安）已知集合，其中為常數(shù)，且.若中至多有一個元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】由，若中有零個元素，即方程無解，則，解得；若中有一個元素，即方程只有一個解，當(dāng)時，方程為，解得，成立，當(dāng)時，，解得，成立，綜上所述，若中至多有一個元素，則實(shí)數(shù)，故答案為：.考點(diǎn)四集合的表示方法【例4】（2023·陜西安康）表示下列集合：(1)請用列舉法表示方程的解集；(2)請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；(3)請用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(4)請用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．【答案】(1)(2)(3)，(4)【解析】（1）方程的解集為.（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為.（3）用描述法表示被5除余3的正整數(shù)組成的集合為，.（4）用描述法表示二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合為．【一隅三反】1．（2023北京）把下列集合用適當(dāng)方法表示出來：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）{且}；（2）；（3）；（4）；（5）.【解析】（1）因為集合中的元素都是偶數(shù)，所以{且}．（2）.（3）由得，因此.（4）由，且，得或，因此.（5）由得或，.因此.2．（2023山東）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合．（2）24的正因數(shù)組成的集合．（3）自然數(shù)的平方組成的集合．（4）由0，1，2這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】（1）用描述法表示為{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示為{x|x=n2，n∈N}．（4）用列舉法表示為{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．3．（2023湖北）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?（1）被5除余1的正整數(shù)組成的集合；（2）由直線y＝－x＋4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合；（3）方程(x2－9)x＝0的實(shí)數(shù)解組成的集合；（4）三角形的全體組成的集合.【答案】（1）{x|x=5k+1，k∈N}；（2）{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x是三角形}或{三角形}.【解析】（1）；（2）；（3）或，解集為，（4）是三角形或?qū)懗扇切危挤ㄎ寮舷嗟取纠?1】（2023·河北）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】A.、都是點(diǎn)集，與是不同的點(diǎn)，則、是不同的集合，故錯誤；B.，，根據(jù)集合的無序性，集合，表示同一集合，故正確；C.，集合的元素表示點(diǎn)的集合，，表示直線的縱坐標(biāo)，是數(shù)集，故不是同一集合，故錯誤；D.集合M的元素是兩個數(shù)字2，3，，集合的元素是一個點(diǎn)，故錯誤；故選：B.【例52】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)x的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.當(dāng)時，，得；當(dāng)時，則.故實(shí)數(shù)x的取值集合為.故選：B【一隅三反