2023-2024學(xué)年江蘇省南菁高中、梁豐高中高三上學(xué)期8月自主學(xué)習(xí)檢測數(shù)學(xué)試題（含解析）

⑵若^⑵若^ABC的面積為￥,旦Q=l，求^ABC的周長.已知數(shù)列｛?！埃氖醉?1,且滿足On+i+0”=3X2n.(2)求數(shù)列｛oj的前項和如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知PA1平面ABC,平面PAB1平面PBC.P(1)證明：BC1平面P4B：(2)若PA=AB=6,FC=3,在線段PC上(不含端點)，是否存在點D,使得二面角B-AD-C的余弦值為若存在，確定點/＞的位置；若不存在，說明理由.20.(本小題12.0分)元宵佳節(jié)，是民間最重要的民俗節(jié)日之一，我們梅州多地都會舉行各種各樣的民俗活動，如五華縣河?xùn)|鎮(zhèn)的“迎燈”、豐順縣埔寨鎮(zhèn)的“火龍”、大埔縣百侯鎮(zhèn)的“迎龍珠燈”等系列活動.在某慶?；顒蝇F(xiàn)場，為了解觀眾對該活動的觀感情況(“一般”或“激動”)，現(xiàn)從該活動現(xiàn)場的觀眾中隨機抽取200名，得到下表：--般激動總計總計200(1)填補上面的2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別與對該活動的觀感程度有關(guān)？(2)該活動現(xiàn)場還舉行了有獎促銷活動，凡當(dāng)天消費每滿300元，可抽獎-?次.抽獎方案是：從裝有3個紅球和3個白球(形狀、大小、質(zhì)地完全相同)的抽獎箱里一次性摸出2個球，若摸所以圓錐的周為h所以圓錐的周為h=VI2—r2=2y/~~2，所以圓錐的軸截面的面積是S=?x2rx/i=2/7,故選：B【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得tan（x+g=：,由正切的二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解：因為非即）所以X+^e（y,y）由-^VO得釣,因=-苗可得tan（2x+==5tan俘-2x）=-tan［zr-（^-2x=-tan修+2x）=-言,故選：B【解析】【分析】根據(jù)題意，分為連中4次，額外加3分，剩余3次不中、連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)和有兩次連中兩回，三類情況，結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解.解：根據(jù)題意，該學(xué)生在此次訓(xùn)練中恰好得7分，可分為三類情況：①若連中4次，額外加3分，剩余3次不中，滿足要求，此時將連中4次看作一個整體，與其他三次不中排序，共有C招=4種選擇，故概率為4xG）'（1Y）3=%，②若連中3次，額外加2分，剩余4次，兩次投中，兩次沒投中，且兩次投中不連續(xù)，故兩次不中之間可能為一次中，也可能是三次中，有以下情況：中中，滿足要求，則概率為仁（!）'（1—§2=思，綜上，該生在比賽中恰好得7分的概率為*+亮+著=號.故選：B.88.【答案】C【解析】【分析】令/(x)=sinx-x,比(0,切，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而可得bva；令/i(x)=lnx-籠尹，工>1，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而可得c>Q.解：令f(X)=sinx—x,x€(0,；),則廣3)=cosx—1式0,則f(x)在(0,；)上單調(diào)遞減,所以f(x)V/(0)=0,可知sinx<x對任意的*6(0,：)恒成立，可得sin務(wù)V務(wù)，即b<a；對于Q,C,由4P=/C*=ln蕓一電.粉12110即令/i(x)=Inx-2^-12,x>1,貝ijh!{x)=-—=E)；>o,\/X+1■x(x+l)2x(x+l)2則fi(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增,所以喝)>h(l)=0,a>0,所以c>a.綜上所述：c>a>b.故選：C.9.【答案】ABC【解析】【分析】由空間中線面位置關(guān)系可判斷.解：由m,n是兩條不重合的直線，a,。是兩個不重合的平面，知：在A中，若m//a,m//p,n//a,n〃們則。與。相交或平行，故A錯誤；在B中，若mln,m//a,n1。,則。與。相交或平行，故B錯誤；在C中，若mln,mua,nc/?，則a與相交或平行，故C錯誤；在D中，若m//n,mla,nl們則由線面垂直，線線平行的性質(zhì)可得a〃們故。正確.故選：ABC.10.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)點和圓的位置關(guān)系、圓的切線方程、圓與圓的位置關(guān)系、圓上的點到直線的距離等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.解：依題意，圓M:(x+1)2+(y-2)2=4的圓心M(-1,2),半徑r=2,對于A,點、4(1,2)在圓M上，圓心M到直線x=1距離為1,即過點4(1,2)與圓M相切的直線方程為x=l,A正確；對于B,對于B,圓N:(x+4)2+0-6)2=1的圓心n(-4,6),半徑rr=1,則有|MN|=J[-1一(一4)]2+(2-6)2=5>r+k,即圓M與圓N外離，B不正確.對于C,點(1,1)在圓M外，則過點(1,1)可以作兩條直線與圓M相切，C正確；」-|4x(-1)-3x2+5|對于D,圓心M(-1,2)到直線4x-3y+5=0的距離d=―|2…、2=1，J4+(-3)則圓M上的點到直線4x-3y+5=0的距離的最大值為d+r=3,D正確；故選：ACD11.【答案】ABD【解析】【分析】將點A的坐標(biāo)代入拋物線C的方程，結(jié)合Q>0,求出Q的值，可判斷A選項；將點B的坐標(biāo)代入拋物線C的方程，結(jié)合b<0求出b的值，可判斷8選項；求出以為直徑的圓的方程，可判斷C選項；根據(jù)kAF.k"的關(guān)系可判斷D選項.解：對于4,因為4(矣,1)在拋物線C上，所以弟=1，又a>0,解得q=4,所以，拋物線C的方程為y2=4x,故A正確；對于B,因為B(a,b)(bvO)在拋物線C上，所以b2=a2=16,又b<0,解得b=—4,故B正確；對于C,刀(：,1)，^(4,-4),則以砧為直徑的圓的圓心為(晉,一§,半徑r=\\AB\=(4-i)2+(-4-1)2=登，所以，以刀B為直徑的圓的方程是(x-y)2+(y+1)2=(登)2,即(%-t)2+(y+歲=警，故。錯誤；對于D,因為陽,1)、5(4,-4)>F(l,0),所以^AF=TT7=-3?*8F=，所以&AF=k"，所以A,F,B三點共線,故。正確.故選：ABD.12.【答案】BCD2【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)fM=x-^-sinx的大致圖像判斷ABC,利用對稱性判斷D即可.【解析】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得代+。9=14,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.解：因為+。7+。9=28,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得Qi+%==14，所以59=些羿2=琴=63.故答案為：63.15.【答案】2022【解析】【分析】首先求出函數(shù)的周期，再求出f(l)+/(2)+/(3)+/⑷+尸(5)+/(6),根據(jù)周期性計算可得.解：易知函數(shù)/(x)=l-sin(弘+￡)的最小正周期T=華=6,而7(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+7(6)=(1-1)+(1-|)+[1-(-|)]+[1-(-1)]+[1-(Y)]+(1__：)=6,由周期性知，這樣連續(xù)六項的和均為6,而/(I)+/(2)+/(3)+…+/(2023)共有2023項，2023=6X337+1,所以/(I)+/(2)+/(3)+…+/(2023)=337x6+/(I)=2022+(1-1)=2022.故答案為：202216.【答案】一1：[3-21n2,+oo)【解析】【分析】本題在求解X]+、2的取值范圍時首先應(yīng)確定兩個變量的取值范圍，根據(jù)等量關(guān)系將雙變量問題消元，轉(zhuǎn)換成單變量問題后構(gòu)造函數(shù)，利用自變量取值范圍即可求得結(jié)果.根據(jù)分段函數(shù)以及零點的定義，令/(%)=0即可解得函數(shù)的零點；由f(X1)+f(x2)=2可知工],為在1的左右兩側(cè)，分別代入計算得出》1，工2的關(guān)系式，將X1+X2消元之后構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.解：令/(x)=0,即x>1,14-Inx=0,解得x=不合題意，舍去；或x<1=0,解得x=-1,符合題意；所以，函數(shù)f(x)的零點為一1.由X、比X2，且/(^1)+/(X2)=2可知，當(dāng)xlfx2G[1,+8)時,f(xi)+f(x2)=14-Inxj+14-\nx2>2,不合題意;18.【答案】解：(18.【答案】解：(1)因為On+1+%=3x2",即0^+1=-%+3x2”，+W1W(1)]又因為Q]=1,可得㈤一2〔=—1裝0,所以數(shù)列｛%-2n]表示首項為-1,公比為-1的等比數(shù)列.(2)由(1)知an-2n=-lx(-1)“T=(-l)n,所以an=(-l)n+2n.所以S”=Qi+a?+…+。?1=(—1+21)+(1+22)+■,■+[(—l)n4-2n]=⑵+22+…+2“)+[(-1)+1+…+(-1)”]==2(2W-1)~1~(~1)\當(dāng)n為偶數(shù)時，可得Sn=2(2”一1)一號=2n+1-2:當(dāng)n為奇數(shù)時，可得Sn=2(2n-l)-iyi=2n+1-3；2n+1-Ln為偶數(shù)綜上所述：Sn=2"i-3,n為奇教【解析】【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；(2)先根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得an=(-l)n+2”，再利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運算求解.19.【答案】解：(1)過點A作AELPB于點、E,因為平面PAB1平面PBC,且平面PABn平面PBC=PB,AEc平面PAB,所以AE1平面PBC,又BCc平面PBC,所以AE1BCt又PA1平面ABC,BCu平面PBC,所以PALBC,又因為AEnPA=A,AE,P4u平面PAB,所以BC1平面PAB.p(2)假設(shè)在線段PC±(不含端點)p(2)假設(shè)在線段PC±(不含端點)，存在點D,使得二面角B-AD-C的余弦值為以B為原點，分別以尻、瓦5為x軸，y軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則4(0,6,0),5(0,0,0),C(3,0,0),P(0,6,6),AC=(3,-6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,-6,-6)，~BA=(0,6,0)，設(shè)平面ACD的一個法向量為m=(xfy,z),m?芯=0,m?^4P=0,所以而=(2,1,0)為平面ACD的一個法向量，因為D在線段PC±(不含端點)，所以可設(shè)RD=APC=(3A,-6A,-6A)?0<A<1,所以AD=AP-^-PD=(3A,-6A,6-6A)，設(shè)平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z),(nBA=0tpa(6y=0tIn?^4D=0,〔3k-6Ay+(6-6A)z=0,'取x=2人一2,y=0,z=Af所以n=(2A-2,0,Q為平面ABD的一個法向量，2x(24-2)+lx0+0x4(242)2+/，,A<1,2x(2A-2)VTO解得A=|或；1=2(舍去),所以，存在點D,使得二面角B-AD-C的余弦值為要，此時D是PC上靠近C的三等分點.【解析】【分析】【解析】【分析】(1)過點A作AELPB于點E,由面面垂直性質(zhì)定理可得AE1.平面PBC,由此證明AELBC,再證明PALBC,根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面ACD,平面ABD的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角,由條件列方程確定點D的位置；20.【答案】解：(1)補全的2x2列聯(lián)表如下:零假設(shè)為比：性別與對活動的觀感程度相互獨立.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到y(tǒng)2=200x(30x55—90x25)2=迎＜1V2.706.根據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立，因此我們可以認(rèn)為Ho,成立，即認(rèn)為對該場活動活動的觀感程度與性別無關(guān).(2)設(shè)一次摸球摸出2個紅球的事件為4,摸出1個紅球的事件為8,沒摸出紅球的事件為C,則P(4)=|=j,P(B)=譬驀，P(C)=g=§,由題意，X可取200.150.100,50.0.P(X=200)=|x|=±,P(X=150)=2x|x|=A,P(X=100)=|x|+2x|x|=il,P(X=50)=2x|x|=A,^,P(X=o)=|x|=所以X的分布列為:總計一般30總計一般3055激動90總計80200g^x)>0恒成立g^x)>0恒成立，此時g(x)在(0,+oo)±單調(diào)遞增;g'M>0即2ax2+l>0可得『v多，所以ovxv底，【解析】【分析】(1)寫出零假設(shè)，補全2x2列聯(lián)表，計算尤2的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論;(2)分別求出一次摸球摸出0,1,2個紅球的概率，寫出X的所有可能取值及對應(yīng)取值的概率，寫出X的分布列并計算其數(shù)學(xué)期望.21.【答案】解:(1)f(x)的定義域為(0,+8),尸(x)=Q^x-lnx=?1-lnxg(x)=/(q_1=ax2+Inx—1,g\x)=2ax+?=之匕+^,當(dāng)a>0W,當(dāng)QV0時,E(X)=200x殺+150x親+100x祭+50x備+0x嘉=100.由g'(x)<0即2心24-1<0可得”>孑,所以x>啟，所以當(dāng)a<0時g(x)在單調(diào)遞減,綜上所述：當(dāng)a>0時，g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)aV0時g(x)在在單調(diào)遞減,(2)當(dāng)a>^時，設(shè)牧)=打-客則心=土-略琴-守=O令心)=土疽+1心__1，則f(x)=ix+i>0,所以t(x)=+1心一1在(0,4-00)上單調(diào)遞增；且t(V~e)=￡'e+lnV~e-1=0,所以0vxv"時，t(x)<0即h'M<0,此時/i(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x><7時，t(x)>0即/i'(x)>0,此時九3)單調(diào)遞增，所以九(x)=土*-岑在(0,")上單調(diào)遞減，在(",+8)單調(diào)遞增，所以”(x)min=MC)=土XC-嗜=為一法=所以h(x)=土X-iy>0對于xe(0,+oo)恒成立，506XP200506XP20015001【解析】【分析【解析】【分析】(1)先計算廣3)可得g(x)表達式，再計算g'(x),分別討論a>0和qvO解不等式g'(x)>0和g'(x)V0即可求解；(2)當(dāng)q2§時，設(shè)/i(x)=J-x-—,利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性和最小值，證明h(x)>0即可.22.【答案】解：(1)設(shè)動點P(x,y),則直線04、的斜率分別為&,當(dāng)，于是七土