數(shù)列的遞推與通項(完整版)實用資料

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浙師大附中課堂目標訓(xùn)練《數(shù)學(xué)第一冊》（上）數(shù)列的遞推與通項（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）浙師大附中課堂目標訓(xùn)練《數(shù)學(xué)第一冊》（上）班級學(xué)號姓名目標要點掌握由數(shù)列遞推公式求通項公式的常用方法，并進一步鞏固等差、等比數(shù)列有關(guān)內(nèi)容。達標訓(xùn)練1．若數(shù)列中，，則。2．若數(shù)列中，，則。3．若數(shù)列中，，則的值是。4．若數(shù)列中，，則。5．已知數(shù)列滿足且，又，求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達式。6．已知數(shù)列滿足且，又，求證：是等比數(shù)列；（2）求的表達式。7．已知數(shù)列滿足且，又，（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達式。8．已知數(shù)列滿足且，求和的表達式。9．已知數(shù)列中，表示數(shù)列的前n項和，滿足且，求的通項公式。10．已知數(shù)列滿足且，試探求的通項公式。11*．設(shè)函數(shù)的最小值為，最大值為，又，求和：數(shù)列專題：遞推數(shù)列的通項公式2、當(dāng)A1時，，可設(shè)≠(fnBnC=+1(1(nnaxnyAaxny++++=++例4、在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式。{}na112,431,*nnaaannN+==-+∈解：設(shè)即令又，所以數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以即1(14(nnaxnyaxny++++=++143(3nnaaxnyx+=++-1331(14(310nnxxananyxy+?=-=-???-+=-??-==??111a-={}nan-14nnan--=14nnan-=+由遞推公式求通項公式——幾種基本類型解法介紹南洋模范中學(xué)張珺06/05/20數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的通項公式是數(shù)列的兩種不同表示形式，已知數(shù)列的遞推公式如何求數(shù)列的通項公式，現(xiàn)介紹幾種基本類型的解法：一、常見基本類型介紹：例1設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項：（1）；（2）；（3）；（4）（5）例1中的五小題，分別對應(yīng)了常見的五種類型：（1）“型”；（2）“型”；（3）“型”；（4）“型”（5）“”二、常見類型的常用解法介紹：（1）“型”——累加相消法解：由（1）可知，上述等式累加可得，（2）“型”——累乘相消法解：由（2）可知，；；上述等式累乘可得，（3）“型”——構(gòu)造等比數(shù)列或迭代法解一：（構(gòu)造等比數(shù)列）由（3）可考慮轉(zhuǎn)化為的形式，即與遞推式比較，可得，所以遞推式轉(zhuǎn)化為則可構(gòu)造新數(shù)列，令，有解二：（迭代法）由（3）可知，，所以…………（4）“型”——構(gòu)造等差數(shù)列解：由（4）可知則可構(gòu)造新數(shù)列，令，有（5）“”——構(gòu)造等比數(shù)列解：由(5）的形式，即,再與遞推式比較，可得或因此，遞推式可轉(zhuǎn)化為“”令，則由上述式子累加，可得三、轉(zhuǎn)化為常見類型求解：例2設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項：（1）（2）（3）解：（1）令則，本題用除遞推式兩邊，再進行變量代換，就可轉(zhuǎn)化為“型”，可得（2）遞推式兩邊同除以，得，就可轉(zhuǎn)化為“型”，當(dāng)然，也可以在遞推式兩邊同除以，得，則可轉(zhuǎn)化為“型”，所以得（3）遞推式兩邊同取對數(shù)，得令，則，已轉(zhuǎn)化為“型”，由累乘相消法可得根據(jù)上述的介紹，下面問題你能解決嗎？練習(xí)：設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）由遞推公式求通項公式的幾種方法an+1=an+f（n）型累加法:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+…f（1）+a1例1已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=an+2n（n∈N*）,求an解:an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…＋（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+1=2n-1（n∈N*）2、型累積法:所以例2:已知數(shù)列｛an｝滿足,求解:=3．型（p,q為常數(shù)）方法：（1），再根據(jù)等比數(shù)列的相關(guān)知識求.(2)再用累加法求.(3),先用累加法求再求例3．已知的首項（a為常數(shù)），，求解設(shè)，則為公比為2的等比數(shù)列。4．型（p為常數(shù)）方法：變形得，則可用累加法求出，由此求得.例4．已知滿足，求解為等差數(shù)列。5.型（p,q為常數(shù)）方法：待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列例5．?dāng)?shù)列中，且，求.也談遞推數(shù)列的通項問題涇川一中杜巖（744300）電子郵箱）【摘要】用初等方法討論了常見遞推數(shù)列的通項問題?！娟P(guān)鍵詞】遞推數(shù)列；通項公式；初等方法中圖分類號：O122文獻標識碼：C遞推數(shù)列的通項問題高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點問題，又是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點。本文意在用初等方法分類討論，歸納總結(jié)中學(xué)范圍內(nèi)常見的遞推數(shù)列的通項問題。一、方法探究定義1。如果一個數(shù)列給出了初始條件和遞推公式，就稱這個數(shù)列為遞推數(shù)列。定義2。如果一個遞推數(shù)列的遞推公式是線性的，就稱這個數(shù)列為線性遞推數(shù)列，否則稱為非線性遞推數(shù)列。定義3。如果數(shù)列{an}滿足如下兩個條件：（?。゛i（i=1,2,3,…,k）的值已知;(ⅱ)an+k=,pj,q為常數(shù)。就稱該數(shù)列為一個k階線性遞推數(shù)列。特別地，當(dāng)q=0時，稱數(shù)列{an}為一個k階齊次線性遞推數(shù)列。定義4。若數(shù)列{an}滿足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(n∈N,b≠0,f(n)和g(n)是n的函數(shù))，則稱之為一階線性遞推數(shù)列的推廣形式。命題1若數(shù)列{an}滿足a1=b,an+1=qan+d(bd≠0),則1)q=1時，an=b+(n-1)d；2)d=0時,an=bqn-1；3)d≠0且q≠1時,an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1)。證明這是一階線性遞推數(shù)列，1)和2)是顯然的，只證3)。由已知an+1=qan+d（n≥1）,得an=qan-1+d(n≥2),從而an+1-an=q(an-an-1),由此知{an+1-an}是等比數(shù)列，所以an+1-an=（a2-a1）qn-1=(qb+d-b)qn-1,再把an+1=qan+d代入上式，得an=[bqn+(d-b)qn-1-d]/(q-1).命題2若數(shù)列{an}滿足a1=b,an+1=f(n)an+g(n)(n∈N),b≠0,f(n)和g(n)都是n的函數(shù)，則1）f(n)≡1時，an=b+;2)g(n)≡0時，an=b;3)an+1=fi(n)an+gi(n)(i=1,2)時，an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)].證明這是一階線性遞推數(shù)列的推廣形式。當(dāng)f(n)≡1時,an+1-an=g(n),于是a2-a1=g(1),a3-a2=g(2),…,an-an-1=g(n-1),進而得an-a1=,即an=b+。當(dāng)g(n)≡0時,有=f(n),于是=f(1),=f(2),…,=f(n-1),左右兩邊分別相乘得：=，因此an=b。當(dāng)an+1=f1(n)an+g1(n)及an+1=f2(n)an+g2(n)時，解方程組得：an=[g1(n)-g2(n)]/[f2(n)-f1(n)]。命題3若數(shù)列{an}滿足a1=b,a2=c,an+1=pan+qan-1(n≥2)，且pq≠0,則當(dāng)1)p+q=1時，;2)p+q≠1且p2+4q≠0時，an=，其中、是方程的根（、∈C），;3）p+q≠1且p2+4q=0時，an=(n-1)(p/2)n-2c-(n-2)(p/2)n-1b(n∈證明這是二階齊次線性遞推數(shù)列。當(dāng)p+q=1時，an+1=(1-q)an+qan-1(n≥2),即an+1-an=-q(an-an-1),數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列，因此an+1-an=（a2-a1）(-q)n-1=(c-b)(-q)n-1，由命題2的1)的。當(dāng)p+q≠1時，引進實數(shù)將an+1=pan+qan-1改寫成：，若數(shù)列{an+1+an}為等比數(shù)列，則=q/(p+),即，此方程在復(fù)數(shù)集C中總有二根，，記f()=an+1+an=,當(dāng)p2+4q≠0時，≠，于是有方程組解得:an=。當(dāng)p2+4q=0時，1=2=-，即an+1=an+=an+,,,…………，于是猜想：an=(n∈N），下面用數(shù)學(xué)歸納法證之：①當(dāng)n=1時，顯然成立。②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+）時命題成立，即ak=,那么n=k+1時，ak+1=ak+=.這說明n=k+1時命題也成立。從而an=(n∈N）。命題1、2、3是高中數(shù)學(xué)中常見的遞推數(shù)列，對于以其它形式出現(xiàn)的遞推數(shù)列，我們可以采用化歸法進行轉(zhuǎn)化，進而求解，這里不再贅述。二、應(yīng)用舉例【例1】在數(shù)列{an}中，已知a1=1/3,且前n項的算術(shù)平均數(shù)等于第n項的2n-1倍（n∈N），求{an}的通項公式。分析本題的特點是數(shù)列{an}的遞推公式是間接給出的，需要利用已知條件進行推導(dǎo)，然后再根據(jù)遞推公式求通項公式。解由已知得，即sn=n(2n-1)an,由an=sn-sn-1(n≥2),知an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1,整理得(n≥2)，此時數(shù)列{an}滿足命題2的2),因此，n=1時也成立，所以an=（n∈N）【例2】已知數(shù)列{an}的前n項和為sn,滿足2sn2=2ansn-an(n≥2)且a1=2,試求an的表達式。分析這類題一般思路是利用an=sn-sn-1(n≥2)進行轉(zhuǎn)化，但要注意選擇目標定向。解由2sn2=2ansn-an及an=sn-sn-1(n≥2)得sn-1-sn=2snsn-1(n≥2)即(n≥2)，數(shù)列{}滿足命題1的1），所以=(n≥2)，從而，an=sn-sn-1=-(n≥2)，因此,【例3】已知數(shù)列{an}中a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an(n∈N）.求{an}的通項公式。分析這道題如果采用“計算----歸納----猜想----證明”的思維模式比較麻煩，若從遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)入手比較容