矩陣與數(shù)值分析(完整版)實用資料

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矩陣與數(shù)值分析矩陣與數(shù)值分析（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）學(xué)院專業(yè)班級學(xué)號姓名電子信息與電氣工程學(xué)部生物醫(yī)學(xué)工程劉江濤1：考慮計算給定向量的范數(shù)；輸入向量x=(x1,x2,,xn)T，輸出x,x2,x∞，請編制一個通用程序，并用你編制的程序計算如下向量的范數(shù)：1??11Tx=1,,,,?,y=(1,2,,n)n??23對n=10,100,1000甚至更大的n計算其范數(shù)，你會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)果？你能否修改你的程序使得計算結(jié)果相對精確呢？通用求范數(shù)程序：functionNORM(x)y1=sum(abs(x));y2=(sum(x.^2))^(1/2);y3=max(abs(x));fprintf('1-范數(shù)=%g；2-范數(shù)=%g；inf-范數(shù)=%g\n',y1,y2,y3);例題的運行程序：functionxianglaing(n)x=[];y=[];fori=1:nx(i)=1/i;y(i)=i;enddisp('x的范數(shù)：');NORM(x');disp('')disp('y的范數(shù)：');NORM(y');運行結(jié)果如下表：T根據(jù)上述的兩個表的運行結(jié)果，我們可以得知無論n的值如何變化，對于x∞=1恒成立；y∞=n恒成立，其1-范數(shù)與2-范數(shù)隨著n的增大而增大，但是其變化越來越小，這是因為計算在進(jìn)行數(shù)值計算時有誤差存在，對于表達(dá)式(1)當(dāng)n很大時1卻很n小，會出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象”；修改方案：當(dāng)n很大時我們避免用n做除數(shù)，因為當(dāng)n非常大時1→0成立；所以在求解其范數(shù)時我們從小數(shù)開始相加，無窮個非常n小的數(shù)值相加也可能是個很大的數(shù)，從而可以避免兩個數(shù)相加時出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象；2：考慮y=f(x)=ln(1+x)，其中定義f(0)=1，此時f(x)是連續(xù)函數(shù)，用此公x式計算當(dāng)x∈[-10-15,10-15]時的函數(shù)值，畫出圖像。另一方面，考慮下面算法：d=1+x;ifd=1theny=1elsey=lnd/(d-1)endif用此算法計算x∈[-10-15,10-15]時的函數(shù)值，畫出圖像，比較一下發(fā)生了什么？程序：x=-10^(-15):10^(-20):10^(-15);if(x==0)f=1;elsef=log(1+x)/x;endfigure(1)plot(x,f);d=1+x;ifd==1y=1;elsey=log(d)/(d-1);endfigure(2)Plot(x,y);有圖可知，直接用公式f(x)=ln(1+x)計算x∈[-10-15,10-15]的函數(shù)值時，除了在xx=0出的值為1，其他的值都是無限趨近于1；而利用算法二算出的結(jié)果全為1；出現(xiàn)這這情況的原因是x的取值非常接近于0，在用公式d=1+x求d得過程中出現(xiàn)了大數(shù)吃小數(shù)的情況，所以在用計算機計算時d=1恒成立，從而使y=1恒成立；3：首先編寫一個利用秦九韶算法計算一個多項式在定點的函數(shù)值的通用程序，你的程序包括輸入多項式的系數(shù)以及定點，輸出函數(shù)值，利用你編寫的程序計算f(x)=(x-2)9=x9-18x8+144x7-672x6+2021x5-4032x4+5376x3-4608x2+2304x-512在x=2鄰域附近的值，畫出p(x)在x∈[1.95,20.5]上地圖像。秦九韶算法的通用程序：%A為多項式的以升冪排列的系數(shù)，x為初始值functionp=qinjiushao(A,x)a=A;[~,n]=size(a);n=n-1;S=[];S(n+1)=a(n+1);fork=n:-1:1S(k)=x.*S(k+1)+a(k);endp=S(1);利用上述程序計算p(x)在x=2鄰域附近的值具體見下表：當(dāng)x∈[1.95,20.5]時，p(x)的圖像如下：畫圖程序如下：functionhuatu(A,x)[~,n]=size(x);fori=1:ny(i)=qinjiushao(A,x(i));endplot(x,y);程序運行如下：>>x=1.95:0.01:20.5;>>A=[-5122304-46085376-40322021-672144-181];>>huatu(A,x)11p(x)x4：編制計算機給定矩陣A的LU分解和PLU分解的通用程序，然后利用你編寫的程序完成下面兩個計算任務(wù)：考慮?1?-1?A=???-1??-101???01?∈Rn?n?11?-11??0-1-1自己取定x∈Rn，并計算b=Ax。然后用你編制的不選主元的Gauss消去法求解?。對n從5到30估計計算解的精度。該方程組，記你計算出的解為x（2）對n從5到30計算出其逆矩陣。LU分解的通用程序：functionLU(A)[m,n]=size(A);L=zeros(m,n);U=zeros(m,n);forj=1:nU(1,j)=A(1,j);L(j,j)=1;endforj=2:mL(j,1)=A(j,1)/U(1,1);endfori=2:nforj=i:nsum=0;fork=1:i-1sum=sum+L(i,k)*U(k,j);endU(i,j)=A(i,j)-sum;endforj=i+1:nsum=0;fork=1:i-1sum=sum+L(j,k)*U(k,i);endL(j,i)=(A(j,i)-sum)/U(i,i);endenddisp('L=');disp(L);disp('U=');disp(U);PLU分解的通用程序：functionPLU(A)[~,n]=size(A);Ip=1:n;fork=1:n-1[~,r]=max(abs(A(k:n,k)));r=r+(k-1);ifr>kA([k,r],:)=A([r,k],:);Ip([k,r])=Ip([r,k]);endforp=k+1:nmu=A(p,k)/A(k,k);A(p,k)=mu;A(p,k+1:n)=A(p,k+1:n)-mu*A(k,k+1:n);endendp=eye(n,n);P=zeros(n,n);fori=1:nP(i,1:n)=p(Ip(i),1:n);endL=tril(A,-1)+eye(n);U=triu(A);disp('P=')disp(P);disp('L=')disp(L);disp('U=');disp(U);我選取b=[123n]Tn∈[5,30],n∈N*，則我們可以計算出其精確解2n-1-12n-2-1-1x=[-n-1-n-22222n-1T]2n-1n∈[5,30]n∈N*實現(xiàn)求解的程序如下：functionINV(n)A=ones(n);fori=2:nforj=1:i-1A(i,j)=-1*A(i,j);endforj=i:n-1A(i-1,j)=0;endendfori=1:nb(i)=i;X(i)=-(2^(n-i)-1)/(2^(n-i));endX(n)=(2^n-1)/(2^(n-1));[L,U]=LU(A);x1=inv(U)*inv(L)*b'disp(x1);我們利用上述的程序計算出的結(jié)果如下表：利用我們求出的精確解與用程序求出的近似解求其誤差，再利用matlab編程實現(xiàn)時其誤差為零。（2）對于題目中的A的求逆的通用程序：functionINV(n)A=ones(n);fori=2:nforj=1:i-1A(i,j)=-1*A(i,j);endforj=i:n-1A(i-1,j)=0;endendB=inv(A);disp('A的逆為：');disp(B);n=5時：-0.2500-0.1250-0.0625-0.0625??0.5000??00.5000-0.2500-0.1250-0.1250??-1?A=?000.5000-0.2500-0.2500??0000.5000-0.5000????0.25000.12500.06250.0625?0.5000?n=6時：-0.2500-0.1250-0.0625-0.0313-0.0313??0.5000?0?0.5000-0.2500-0.1250-0.0625-0.0625???0?00.5000-0.2500-0.1250-0.1250A-1=??000.5000-0.2500-0.2500?0??0?0000.5000-0.5000??0.50000.25000.12500.06250.03130.0313????n=7時：-0.2500-0.1250-0.0625-0.0313-0.0156-0.0156??0.5000?0?0.5000-0.2500-0.1250-0.0625-0.0313-0.0313???0?00.5000-0.2500-0.1250-0.0625-0.0625??A-1=?0000.5000-0.2500-0.1250-0.1250??00000.5000-0.2500-0.2500???000000.5000-0.5000???0.50000.25000.12500.06250.03130.01560.0156???n=8時：-0.2500-0.1250-0.0625-0.0313-0.0156-0.0078-0.0078??0.5000?0?0.5000-0.2500-0.1250-0.0625-0.0313-0.0156-0.0156???0?00.5000-0.2500-0.1250-0.0625-0.0313-0.0313??0000.5000-0.2500-0.1250-0.0625-0.0625?A-1=??00000.5000-0.2500-0.1250-0.1250???000000.5000-0.2500-0.2500???0000000.5000-0.5000???0.25000.12500.06250.03130.01560.00780.0078???0.5000?.......在此不再一一列舉，都可以用上述程序算出；5：編制計算對稱正定陣的Cholesky分解的通用程序，并利用你編制的程序計算Ax=b，其中A=(aij)∈Rn?n,aij=1，b可以有你自己取定，對n從10到20驗i+j-1證程序的可靠性。Cholesky分解求L的通用程序：%LT代表L的轉(zhuǎn)置function[L,LT]=Cholesky(A)[n,m]=size(A);L=zeros(n,n);forj=1:msum=0;fork=1:j-1sum=sum+(L(j,k))^2;endL(j,j)=(A(j,j)-sum)^(1/2);fori=j+1:nsum=0;fork=1:j-1sum=sum+L(i,k)*L(j,k);endL(i,j)=(A(i,j)-sum)/L(j,j);endendL=L;LT=L';求解Axb的方程解的程序如下：functioncholesky_qiu_jie(n,b)A=zeros(n);fori=1:nforj=1:nA(i,j)=1/(i+j-1);endend[L,LT]=Cholesky(A);Y=inv(LT)*inv(L)*b;disp(Y');>>n=10;>>b=[1000000000]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+06*Columns1through5Columns6through10-6.3052258749891819.607833253959356-8.7498890229612894.374900125373453-0.923581794866949>>n=11;>>b=[10000000000]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+07*Columns1through5Columns6through10Column110.385801129112326n=12;>>b=[111111111111]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+08*Columns1through5Columns6through10Columns11through12n=13;>>b=[1111111111111]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+10*Columns1through5Columns6through10-0.0955644689000000.338540141400000-0.795937993200000Columns11through13>>n=14;>>b=[11111111111110]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+15*Columns1through5Columns6through10Columns11through14-0.862636505012200>>n=15;>>b=[111111111111101]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+16*Columns1through5Columns6through10Columns11through15>>n=16;>>b=[1111111111111010]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+16*Columns1through5Columns6through10Columns11through15Column16>>n=17;>>b=[11111111111110101]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+17*Columns1through5Columns6through10-0.034029369522343Columns11through15Columns16through17>>n=18;>>b=[111111111111101012]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+16*Columns1through5Columns6through10Columns11through15Columns16through18-3.4602807804032691.887745959501761-0.436632060441746>>n=19;>>b=[1111111111111010120]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+17*Columns1through5Columns6through10Columns11through15Columns16through191.944997967101147-0.384572610629205n=20;b=[11111111111110101200]';>>cholesky_qiu_jie(n,b)1.0e+17*Columns1through5Columns6through10Columns11through15Columns16through203.295476378249488A-1利用cholesky分解求出的解的精確度高于直接，因為當(dāng)n逐漸增大的過程中，越來越接近奇異矩陣，使得計算結(jié)果的誤差增大，而使用cholesky分解可以避免這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，是計算結(jié)果更加精確。6：（1）編制程序House(x)，其作用是對輸入的向量x，輸出單位向量u使得(I-2uuT)x=x2e1。編制Householder變換陣H=I-2uuT∈Rn?n乘以A∈Rn?m的程序HA，注意，你的程序并不顯式的計算出H。考慮矩陣?1-1A=-2-0?232224??2?eπ??-37?75/2??3用你編制的程序計算H使得HA的第一列為αe1，并將HA的結(jié)果顯示出來。編制House(x)，其作用是對輸入的向量x,輸出單位向量U使得(I-2uuT)x=x2e1：House(x)通用程序：functionHouse(x)[n,~]=size(x);e1=zeros(n,1);e1(1)=1;w=x-norm(x)*e1;U=w/sqrt((w'*w));disp('U=');disp(U);編制Householder變換陣H=I-2uuT∈Rn?n乘以A∈Rn?n的程序HA，注意，你的程序并不顯示的計算出H。Householder變換陣H通用程序：functionHouseholder(A)[n,~]=size(A);e1=zeros(n,1);e1(1)=1;x=A(:,1);w=x-norm(x)*e1;U=w/sqrt((w'*w));H=eye(n)-2*(U*U');HA=H*A;disp('HA=');disp(HA);考慮矩陣?1-1A=-2-0?24??32?2eπ??2-37?272??3用你編制的程序計算H使得HA的第一列為αe1的形式，并將HA的結(jié)果顯示：HA的結(jié)果顯示的通用程序：functionHouseholder(A)[n,~]=size(A);e1=zeros(n,1);e1(1)=1;x=A(:,1);w=x-norm(x)*e1;U=w/sqrt((w'*w));H=eye(n)-2*(U*U');HA=H*A;disp('HA=');disp(HA);程序運行結(jié)果：>>A=[1234;-13sqrt(2)sqrt(3);-22exp(1)pi;-sqrt(10)2-37;0275/2];>>Householder(A)HA=4.0000-2.83111.4090-6.53780.00001.38960.8839-1.78050.0000-1.22081.6576-3.88360.0000-3.0925-4.6770-4.107802.00007.00002.50007：用jacobi和Gauss-Scidel迭代求解下面的方程組，輸出每一步的誤差xk-x*；?5x1-x2-3x3=-2??-x1+2x2+4x3=1?-3x+4x+15x=10123?Jacobi迭代通用程序：functionjacobi(A,b,x0,ep)ifnargin==3ep=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendendD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D\(L+U);f=D\b;y=B*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=epfprintf('%d步誤差\n',n)Error=y-x0;disp(Error)x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;enddisp('近似解')disp(y)在命令窗口輸入以下命令就可以輸出每一步的誤差及最優(yōu)近似解：>>A=[5-1-3;-124;-3415];>>b=[-2110]';>>x0=[000]';>>ep=10e-8;>>jacobi(A,b,x0,ep)近似解Gauss-Scidel迭代法通用程序：functionGaussseidel(A,b,x0,ep)ifnargin==3ep=1.0e-6;elseifnargin<3errorreturnendendD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)\U;f=(D-L)\b;y=B*x0+f;n=1;whilenorm(y-x0)>=epfprintf('%d步誤差\n',n)Error=y-x0;disp(Error)x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;enddisp('x的近似最優(yōu)解：')disp(y);在命令窗口輸入以下命令就可以輸出每一步的誤差及最優(yōu)近似解：>>A=[5-1-3;-124;-3415];>>b=[-2110]';>>x0=[000]';>>ep=10e-8;>>Gaussseidel(A,b,x0,ep)x的近似最優(yōu)解：-1.8032785851349118：取不同的初值用Newton迭代法以及弦截法求解x3+2x2+10x-100=0的實根，列表或者畫圖說明收斂性；Newton迭代法通用程序：%使用說明f為符號表達(dá)式，x0為初始值functionNewton(f,x0)symsx;x=x0;x1=x0-eval(f/diff(f));while(norm(x1-x0)>0.000001)x=x1;xk=x1-eval(f/diff(f));x0=x1;x1=xk;disp(xk);enddisp('xk=')disp(xk)弦截法通用程序：%使用說明f為符號表達(dá)式，x0,x1為初始值functionXuanjiefa(f,x0,x1)symsx;x=x0;f1=eval(f);x=x1;f2=eval(f);x2=x1-(f2/(f2-f1))*(x1-x0);while(norm(x2-x1)>0.000001)x=x1;f1=eval(f);x=x2;f2=eval(f);xk=x2-(f2/(f2-f1))*(x2-x1);x1=x2;x2=xk;enddisp('xk=')disp(xk)Newton法：弦截法：從上述兩個表的結(jié)果我們可以對照得出，在不同的初始值的條件下運行程序都具有收斂性，但是不同的初始值有不同的收斂速度；9：用二分法求解方程excosx+2=0在區(qū)間[0,4π]上所有根。functioner_fen_fa(f,a,b)symsx;e=0.0000001;while((b-a)>e)m=(b+a)/2;x=a;f1=eval(f);x=m;f2=eval(f);iff1*f2>=0a=m;elseb=m;endendc=(a+m)/2;disp(c);根據(jù)函數(shù)的特點將其定義域分為4等分分別為[0,π]，[π,2π]，[2π,3π]，[3π,4π]分別運行程序：>>symsx>>f=exp(x)*cos(x)+2;>>a=0;>>b=pi;>>er_fen_fa(f,a,b近似零點：1.8807>>symsx>>f=exp(x)*cos(x)+2;a=pi;>>b=2*pi;>>er_fen_fa(f,a,b)近似零點：4.6941>>symsx>>f=exp(x)*cos(x)+2;>>a=2*pi;>>b=3*pi;>>er_fen_fa(f,a,b)近似零點：7.8548>>symsx>>f=exp(x)*cos(x)+2;>>a=3*pi;>>b=4*pi;>>er_fen_fa(f,a,b)近似零點：10.9955;x2=4.6941;x2=7.8548;x4=10.9955由上述程序可知其全部解為x1=1.880710：考慮函數(shù)f(x)=sin(πx),x∈[0,1]。用等距節(jié)點作f(x)的Newton插值，求出插值多項式以及f(x)的圖像，觀察收斂性。Newton插值求插值多項式的通用程序：functionP=Nweton_xhazhi(X,f)symsx;p=0;[~,n]=size(X);fori=1:n-1F=0;w=1;sum=1;forl=1:i+1;w=w*(x-X(l));endforj=1:i+1x=X(j);F=F+f(j)/(eval(diff(w)));endfort=1:isymsx;sum=sum*(x-X(t));endp=p+F*sum;endP=p+f(1);Disp(‘P=’);用等距節(jié)點作f(x)的Newton插值多項式的通用程序：X=0:0.1:1;f=sin(pi*X);O=Nweton_xhazhi(X,f);Y=simple(O);disp(Y);plot(X,f)P=畫圖程序：X=0:0.1:1;x1=0:0.0001:1;f1=sin(x1*pi);symsxx0=0:0.001:1;f=sin(pi*X);O=Nweton_xhazhi(X,f);x=x0;Y=eval(O);plot(x0,Y,'r');holdonplot(x1,f1);由上圖可知：紅色圖形是利用插值多項式畫出的，藍(lán)色圖像是利用原函數(shù)畫出的，將兩者對比我們可以得出結(jié)論：該插值多項式具有收斂性11：對函數(shù)f(x)=1,x∈[-5,5]，取不同的節(jié)點數(shù)n,用等距節(jié)點作Lagrange1+x2插值，觀察Runge現(xiàn)象。Lagrange插值通用程序：%X為節(jié)點，y為節(jié)點對應(yīng)的函數(shù)值，x0為插值節(jié)點functionLagrange(X,y,x0)symsx;[~,n]=size(X);sum=0;fori=1:nsum=sum+y(i)*L(X,i);endx=x0;p=eval(sum);plot(x0,p,'r-')holdonplot(X,y,'b-');functionl=L(X,k)symsx;sum1=1;sum2=1;[~,n]=size(X);if(k==1)fori=k+1:nsum1=sum1*(x-X(i));sum2=sum2*(X(k)-X(i));l=sum1/sum2;endelsefori=1:k-1sum1=sum1*(x-X(i));sum2=sum2*(X(k)-X(i));endfori=k+1:nsum1=sum1*(x-X(i));sum2=sum2*(X(k)-X(i));endl=sum1/sum2;end取不同的節(jié)點數(shù)n,用等距節(jié)點作Lagrange插值，觀察Runge現(xiàn)象:當(dāng)n=10;X=-5:0.1:5;f=1./(1+X.^2);x0=-5:5:5;Lagrange(X,f,x0)x1=-5:0.0001:5;y1=1./(1+x1.^2);plot(x1,y1)1.41.20.80.60.40.2當(dāng)n=20;X=-5:0.1:5;f=1./(1+X.^2);x0=-5:0.5:5;Lagrange(X,f,x0)x1=-5:0.0001:5;y1=1./(1+x1.^2);plot(x1,y1)當(dāng)n=50;X=-5:0.1:5;f=1./(1+X.^2);x0=-5:0.2:5;Lagrange(X,f,x0)x1=-5:0.0001:5;y1=1./(1+x1.^2);plot(x1,y1)1.41.210.80.60.40.2n=100;X=-5:0.1:5;f=1./(1+X.^2);x0=-5:0.1:5;Lagrange(X,f,x0)x1=-5:0.0001:5;y1=1./(1+x1.^2);plot(x1,y1)-5-4-3-2-1012345由以上幾個圖形我們可以得知，插值節(jié)點越多時，插值多項式的收斂性越好；12：令f(x)=e3xcos(πx)，考慮積分?2π0f(x)dx。區(qū)間分為50，100，200，500，1000等，分別用復(fù)合梯形以及復(fù)合Simpson積分公式計算積分值，將數(shù)值積分的結(jié)果與精確值比較，列表說明誤差的收斂性。復(fù)合梯形公式通用程序：%f為被積函數(shù)，n為積分區(qū)間等分的數(shù)目，a,b分別為積分下上限functiontixing(f,n,a,b)symsx;sum=0;xk=a:(b-a)/n:b;fori=2:n-1x=xk(i);sum=sum+eval(f);symsx;endx=a;f1=eval(f);x=b;f2=eval(f);T=(b-a)/(2*n)*(f1+f2+2*sum);disp(T)復(fù)合sipson公式：functionSimpson(f,n,a,b)symsx;sum=0;sum1=0;xk=a:(b-a)/n:b;fori=1:n-1x=(xk(i)+xk(i+1))/2;sum=sum+eval(f);symsx;endfori=2:n-1x=xk(i);sum1=sum1+eval(f);symsx;endx=a;f1=eval(f);x=b;f2=eval(f);T=(b-a)/(6*n)*(f1+f2+2*sum1+4*sum);disp(T)利用matlab內(nèi)置函數(shù)int()求出該積分式的真是值為：>>symsx>>int(exp(3*x)*cos(pi*x),0,2*pi)ans=3.5232e+07利用符合simpson公式計算如下表：利用復(fù)合梯形公式計算如下表：由上述兩個表格的值我們可以得出，其誤差隨著n的增大近似值與真實值之間的誤差逐漸減少，說明了誤差具有收斂性。13：分別用2點,3點以及5點的Gauss型積分公式計算如下定積分：(1)?1x2-x2-1dx(2)?2πsinxdxx解：利用Gauss型求積公式得出：2點Gauss積分公式求解時，n=1;查找上表得x0,x1,A0,A1，把他們都代入，可得?1x2-x2-1dx≈(0.5773502692)2-(0.5773502692)2+(-0.5773502692)2-(-0.5773502692)2=0.81653點Gauss積分公式求解時，n=2；查找上表可得x0,x1,x2,A0,A1,A2，把他們都代入，可得：?1x2-x2-1dx≈0.5555555556?(0.7745966692)2-(0.7745966692)222+0.5555555556?(-0.7745966692)-(-0.7745966692)=1.05415點Gauss積分公式求解時，n=4;查找上表可得x0,x1,x2,x3,x4,A0,A1,A2,A3,A4，把他們都代入，可得：?1x22-1-x0.53846931012dx≈2?0.2369268851?=1.24952+2?0.4786286705?-0.53846931012?2π02πsinx1sin(π(t+1))sinx2π-02π+0dx，令x=t+=πt+π則?dx=?，于是利用0-1x22xt+1上表計算Gauss積分2點Gauss積分公式求解時，n=1;查找上表得x0,x1,A0,A1，把他們都代入，可得1sin(π(t+1))sinxsin(π(1+0.5773502692))dx==+?0x?-1t+11+0.5773502692sin(π(1-0.5773502692))=1.68121-0.57735026922π3點Gauss積分公式求解時，n=2；查找上表可得x0,x1,x2,A0,A1,A2，把他們都代入，可得：1sin(π(t+1))sinxsin(π(1+0.7745966692))dx==0.5555555556??0x?-1t+11+0.7745966692sin(π(1-0.7745966692))+0.5555555556?=1.39951-0..77459666922π5點Gauss積分公式求解時，n=4;查找上表可得x0,x1,x2,x3,x4,A0,A1,A2,A3,A4，把他們都代入，可得：1sin(π(t+1))sinx51??0xdx=?-1t+1dt=0.2369268859))sin(π(1-0.9061798459))??sin(π(1+0.90617984+?+1+0.90617984591-0.9061798459??2π01))sin(π(1-0.5384693101))??sin(π(1+0.538469310.4786286705?+?1+0.53846931011-0.5384693101??=1.418114：考慮微分方程初值問題：1?dx=(tx-x2)?2?dt(t+1)?x(0)=2?分別用Euler法，改進(jìn)的Euler法，Runge-Kutta法求解該方程。分別去步長為0.1，0.01，0.001，計算到x(1),畫圖說明結(jié)果。Euler法：%f為被積表達(dá)式，h為步長，ab為t的取值范圍，x0為初始值functionEuler(f,h,a,b,x0)symstxN=abs(b-a)/h;x=x0;Y=zeros(1,N+1);T=zeros(1,N+1);Y(1)=x0;forn=0:Nt=a+n*h;T(n+1)=t;if(n<N)un=x+h*eval(f);x=un;Y(n+2)=un;endenddisp(un);plot(T,Y,'*-')N=0.1;x(1)=1.072393608200700改進(jìn)的Euler法：%f為被積表達(dá)式，h為步長，ab為t的取值范圍，x0為初始值functionGai_Jin_Euler(f,h,a,b,x0)symstxN=abs(b-a)/h;x=x0;Y=zeros(1,N+1);T=zeros(1,N+1);Y(1)=x0;forn=0:Nt=a+n*h;T(n+1)=t;f1=eval(f);t=a+(n+1)*h;un1=x+h*f1;x=un1;f2=eval(f);ifn<Nx=x0;un=x+h/2*(f1+f2);Y(n+2)=un;x0=un;endx=un;enddisp(un);plot(T,Y,'*-');Runge-Kutta法：第33卷第3期巖土力學(xué)Vol.33No.32021年3月RockandSoilMechanicsMar.2021收稿日期:2021-09-20文章編號:1000-7598(202103-0906-07旋噴群樁復(fù)合地基承載特性的數(shù)值分析安關(guān)峰,張洪彬,劉添俊(廣州市市政集團(tuán),廣州510060摘要:旋噴樁加固軟土地基在各種地基處理工程中得到了廣泛應(yīng)用。對旋噴樁的研究多數(shù)集中在其施工工藝的改進(jìn)上,或者針對單樁的承載特性進(jìn)行研究,而對旋噴群樁的承載特性則研究不多。根據(jù)工程實際情況,采用基于MIDAS-GTS的三維有限元分析技術(shù),通過改變旋噴群樁的布置方式、樁彈性模量、樁長、樁徑、樁距等設(shè)計參數(shù)及樁-土接觸面等參數(shù)對旋噴群樁復(fù)合地基承載特性的影響進(jìn)行了研究。研究表明:旋噴樁加固軟土地基主要減小了地表至樁底深度范圍內(nèi)土體的豎向沉降,對樁底下方的土體沉降基本無影響;提高旋噴樁樁徑及材料強度會提高復(fù)合地基承載能力;不同旋噴樁布置方式、樁-土之間是否設(shè)置Goodman接觸面單元對地基承載能力基本無影響。關(guān)鍵詞:旋噴樁;復(fù)合地基;承載特性;三維數(shù)值分析中圖分類號:TU473.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:ANumericalanalysisofbearingcharacteristicsofcompositesubgradereinforcedbychemicalchurningpilegroupsANGuan-feng,ZHANGHong-bin,LIUTian-jun(GuangzhouMunicipalEngineeringGroup,Guangzhou510060,ChinaAbstract:Themethodofsoftsoilsubgradereinforcementwithchemicalchurningpileisusedmoreandmoreinprojectsofsubgradetreatment.Atpresent,theresearchesaboutchemicalchurningpileusuallyfocusonimprovementinconstructiontechniquesorbearingcharacteristicsofsinglepile.Butresearchaboutbearingcharacteristicsofchemicalchurningpilegroupsisnotmuch.BasedonMIDAS-GTSthree-dimensionalfiniteelementanalysis,theinfluenceofdesignparametersonbearingcharacteristicsofchemicalchurningpilegroupsisstudied.Thesedesignparametersofchemicalchurningpileincludelayout,elasticmodulus,length,diameterofpiles,anddistancebetweenpiles,theparametersofinterfacebetweenpilesandsoil.Theresultsshowthattheverticalsettlementofsoilwithintherangebetweensurfaceandpilebottomisreducedinsoftsoilsubgradereinforcedbychemicalchurningpiles;butthemethodhaslittleeffectontheverticalsettlementofsoilunderpilebottom.Largerpilediameterandhighermaterialstrengthcanimprovethebearingcapacityofcompositesubgrade.ButdifferentlayoutsofchemicalchurningpilesandwhethertosetupGoodmaninterfaceelementhavelittleinfluenceonbearingcapacityofcompositesubgrade.Keywords:chemicalchurningpile;compositesubgrade;bearingcharacteristics;three-dimensionalnumericalanalysis1引言高壓旋噴注漿法是將帶有特殊噴嘴的注漿管置于土層預(yù)定深度,以高壓噴射流將固化漿液與土體混合、凝固硬化加固地基的方法[1]。若在噴射的同時,噴嘴以一定的速度旋轉(zhuǎn)、提升,則形成噴漿液與土混合的圓柱形樁體,通常稱為旋噴樁[2]。高壓旋噴樁地基加固技術(shù)在20世紀(jì)70年代初發(fā)展起來,之后在國內(nèi)外發(fā)展十分迅速。目前,對旋噴樁的研究多數(shù)集中在工法的改進(jìn)上[3-4],或者針對單樁的承載特性進(jìn)行研究,而對旋噴群樁的承載特性則報道很少。本文根據(jù)工程實際情況,采用基于MIDAS-GTS的三維有限元分析技術(shù)對旋噴群樁復(fù)合地基承載特性進(jìn)行了研究。2有限元計算模型為了便于分析在旋噴群樁的布置方式、樁彈性模量、樁徑及樁距等設(shè)計參數(shù)及樁-土接觸面參數(shù)變化下復(fù)合地基的承載特性,本文建立了用于對比的基準(zhǔn)有限元分析模型,并通過改變基準(zhǔn)模型中的對第3期安關(guān)峰等:旋噴群樁復(fù)合地基承載特性的數(shù)值分析應(yīng)參數(shù)進(jìn)行計算比較得出結(jié)論?；鶞?zhǔn)模型中,旋噴樁樁長為10m,樁徑為500mm,樁距為1m。土層共2層,其中上層的土層1厚度為6m。復(fù)合地基的上部荷載采用均布荷載,數(shù)值為90kPa。土層及旋噴樁樁體均采用M-C本構(gòu)材料模型。模型四周及底部均為對應(yīng)法向方向的平移約束?；鶞?zhǔn)模型的總體單元數(shù)量為98100個,節(jié)點數(shù)量為51956個,所有單元均為六節(jié)點五面體實體單元?；鶞?zhǔn)的有限元整體模型不考慮在樁-土之間設(shè)置Goodman接觸面單元[5-6](在3.6節(jié)中專門闡述了接觸面單元設(shè)置對計算結(jié)果的影響。整體及旋噴樁模型如圖1所示,旋噴樁及土層的相關(guān)參數(shù)如表1所示。(a整體模型(b旋噴樁網(wǎng)格模型圖1整體有限元分析模型及旋噴樁網(wǎng)格模型Fig.1Finiteelementmodelsoffoundationandchemicalchurningpiles表1旋噴樁樁體及土層材料參數(shù)表Table1Physicalparametersofsoilandchemicalchurningpile層號土類名稱彈性模量/MPa泊松比重度/(kN/m3黏聚力/kPa內(nèi)摩擦角/(°1旋噴樁104000.2021.5900382土層1150.3518.020102土層2400.3119.040203旋噴樁復(fù)合地基參數(shù)對地基承載特性的影響3.1旋噴樁布置方式對復(fù)合地基承載特性的影響圖2為旋噴樁矩形布置和梅花形布置示意圖。通過分析可知,在本文設(shè)定的參數(shù)條件下,當(dāng)旋噴樁布置方式為矩形布置時(見圖3,復(fù)合地基的最大豎向沉降為12.5mm,旋噴樁樁體的最大豎向應(yīng)力為634.9kPa;當(dāng)旋噴樁布置方式為梅花形布置時(見圖4,復(fù)合地基的最大豎向沉降為12.4mm,旋噴樁樁體的最大豎向應(yīng)力為637.8kPa(位置均在旋噴樁樁底上方1.5m的樁身位置。從數(shù)值上可以看出,在不同的布置方式下,豎向沉降量及旋噴樁豎向位移的差值與絕對數(shù)值的比值均在0.5%以內(nèi)。由此可以得出結(jié)論,在旋噴樁置換率一定的情況下,復(fù)合地基采用這兩種不同的旋噴樁布置方式時,其對復(fù)合地基的變形及受力特征影響很小,可以忽略不計。(a矩形布置(b梅花形布置圖2旋噴樁布置方式Fig.2Distributionsofchemicalchurningpiles(a地基沉降(b旋噴樁豎向應(yīng)力圖3矩形布置時地基的沉降及旋噴樁的豎向應(yīng)力分布Fig.3Settlementofsubgradeandverticalstressofchemicalchurningpilewithrectangledistribution(a地基沉降(b旋噴樁豎向應(yīng)力圖4梅花形布置時地基沉降及旋噴樁的豎向應(yīng)力分布Fig.4Settlementofsubgradeandverticalstressofchemicalchurningpilewithquincunxdistribution3.2旋噴樁樁長對復(fù)合地基承載特性的影響本文基準(zhǔn)模型中旋噴樁的樁長為10m。為了研沉降/mm-0.8-1.6-2.3-3.1-3.9-4.7-5.4-6.2-7.0-7.8-8.6-9.4-10.1-10.9-11.7-12.5沉降/mm-0.8-1.6-2.3-3.1-3.9-4.6-5.4-6.2-7.0-7.8-8.5-9.3-10.1-10.9-11.6-12.4-174.6-203.5-232.5-261.4-290.4-319.4-348.3-377.3-406.2-435.2-464.1-493.1-522.0-551.0-579.9-608.9-637.8應(yīng)力/kPa907巖土力學(xué)2021年究旋噴樁的樁長對復(fù)合地基承載特性的影響,分別建立了樁長為5~19m(以1m為增量的數(shù)值分析模型,并將計算結(jié)果與基準(zhǔn)模型結(jié)果進(jìn)行比較(見圖5。由圖5可知,在樁長不變的情況下,樁間土在地表的豎向沉降值最大;從地表至下方1m深度內(nèi)的土體豎向沉降有一定量的減少;從地表下方1m至樁底深度之間的土體沉降值基本不變;而從樁底深度往下豎向沉降值則呈線性遞減。在地面荷載一定的情況下,隨著旋噴樁樁長的增加,樁間土體地表處的豎向沉降呈線性減少趨勢。從圖5還可看出,在旋噴樁樁長改變的情況下,樁底下方土體的豎向沉降曲線是基本重合的。這也說明旋噴樁加固復(fù)合地基主要是減小了地表至樁底范圍內(nèi)土體的豎向沉降值,而對下方的土體沉降基本無影響。圖5不同樁長時樁間土豎向沉降隨埋深的變化曲線Fig.5Relationshipsbetweendepthandverticalsettlementofsoilbetweenpileswithdifferentpilelengths由圖6可知,在樁長一定的情況下,旋噴樁樁體的豎向應(yīng)力值在從地表至下方2m深度范圍內(nèi)的增速較大(該段范圍內(nèi)樁間土體豎向沉降比樁體的大,對旋噴樁產(chǎn)生了向下的摩擦力;之后從地表下方2m深度起至旋噴樁樁底上方1m范圍內(nèi)豎向應(yīng)力值繼續(xù)增加,但增速減小(該段范圍內(nèi)土體與樁體的豎向位移逐漸趨于一致,二者共同變形。從圖6可看出,在旋噴樁樁長改變的情況下,所有旋噴樁從地表至樁底上方1m范圍內(nèi)的豎向應(yīng)力增加曲線基本重合于同一條曲線。這說明樁長的不同并未改變旋噴樁樁身豎向應(yīng)力隨深度的分布趨勢。除了臨近樁底的部分以外,不同樁長的旋噴樁樁身豎向應(yīng)力隨深度的增加曲線基本重合于同一條曲線。圖6不同樁長時樁身豎向應(yīng)力隨樁身深度的變化曲線Fig.6Relationshipsbetweenverticalstressofpileanddepthwithdifferentpilelengths3.3旋噴樁彈性模量對復(fù)合地基承載特性的影響本文中基準(zhǔn)模型的彈性模量E=10400MPa。為了研究旋噴樁彈性模量對復(fù)合地基承載特性的影響,建立了彈性模量為0.25E、0.50E、0.75E及1.25E、1.50E的數(shù)值模型,并將計算結(jié)果與基準(zhǔn)模型結(jié)果進(jìn)行比較。由圖7、8可知,在地表均布荷載的作用下,旋噴樁樁身豎向應(yīng)力在地表附近(本文中為地表至地表下方1.5m深度范圍內(nèi)迅速增加,到達(dá)一定深度后增速減小,并在臨近樁底深度之前豎向應(yīng)力由增變減。相應(yīng)地,樁間土體豎向應(yīng)力在地表至下方1.5m范圍內(nèi)呈減小趨勢,再往下則是隨著深度的增加而增加,其中在旋噴樁樁底附近深度的增速較大。由圖7、8可知,旋噴樁彈性模量的變化對樁身豎向應(yīng)力及樁間土豎向應(yīng)力的分布趨勢影響均不大。圖9為旋噴樁彈性模量分別為0.25E、1.00E及1.50E時的復(fù)合地基整體豎向應(yīng)力分布情況。為了研究旋噴樁彈性模量對地基承載特性的影響,選取旋噴樁豎向應(yīng)力最大位置處(本文為地表7.5m處樁身豎向應(yīng)力進(jìn)行研究。圖10為該深度處旋噴樁樁身豎向應(yīng)力值隨彈性模量的變化曲線。由圖可知,隨著旋噴樁彈性模量的增加,同一位置處旋噴樁的豎向應(yīng)力也在增加,但增速呈減小趨勢。這說明提高旋噴樁材料的彈性模量會提高復(fù)合地基的承載能力。但旋噴樁材料強度與地基承載能力并不是呈線性關(guān)系,當(dāng)旋噴樁材料彈性模量達(dá)到一定值后,繼續(xù)增加對提高復(fù)合地基承載能力的貢獻(xiàn)不大。5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m908第3期安關(guān)峰等:旋噴群樁復(fù)合地基承載特性的數(shù)值分析圖7不同彈性模量時樁身豎向應(yīng)力隨深度的變化曲線Fig.7Relationshipsbetweenverticalstressofpileanddepthwithdifferentmoduliofelasticity圖8不同彈性模量時樁間土體豎向應(yīng)力隨深度的變化曲線Fig.8Relationshipsbetweendepthandverticalstressofsoilbetweenpileswithdifferentmoduliofelasticity(a0.25E(b1.00E(c1.50E圖9不同彈性模量時復(fù)合地基的豎向應(yīng)力分布Fig.9Verticalstressesofcompositesubgradewithdifferentmoduliofelasticityofpile圖10埋深7.5m處樁身豎向應(yīng)力值隨彈性模量的變化曲線Fig.10Relationshipsbetweenverticalstressandmodulusofelasticityofchemicalchurningpilewithdepthof7.5m3.4旋噴樁樁徑對復(fù)合地基承載特性的影響本文中基準(zhǔn)模型的樁徑為0.5m。為了研究旋噴樁樁徑對復(fù)合地基承載特性的影響,分別建立了樁徑為0.4、0.6、0.8m的數(shù)值分析模型(樁間距均為1m,并將計算結(jié)果與基準(zhǔn)模型結(jié)果進(jìn)行比較。由圖11可知,在上部荷載一定的情況下,隨著樁徑的增加,樁身內(nèi)部的豎向應(yīng)力隨之降低。這是由于在樁徑較小時,由于復(fù)合地基置換率低,樁-土之間彈性模量的差異導(dǎo)致了旋噴樁承受了上部荷載的絕大部分,因此,樁身應(yīng)力比較高。由于樁徑的增加,旋噴樁復(fù)合地基的整體置換率提高,更多比率的旋噴樁樁體參與承擔(dān)上部荷載,因此,相對而言,樁身應(yīng)力就降低。進(jìn)一步分析可知,在旋噴樁樁距不變的情況下,隨著樁徑的增加,旋噴樁復(fù)合地基的承載能力也隨之提高。由圖12可知,地基在地表處的沉降值比較大。對于某一樁徑時的復(fù)合地基而言,從地表開始至下方較小深度范圍內(nèi)(本文中該范圍為0~-2m,地基沉降值迅速減小。隨著樁徑的增加,從地表開始至下方較小深度范圍內(nèi)的地基沉降值會逐漸減小;而再往下(本算例中為地表下方-2m深度以下的地基沉降值則基本不隨樁徑增加而變化。可見,樁徑的改變主要影響地表至下方較小深度范圍內(nèi)的地基豎向沉降。應(yīng)力/kPa-37.2-72.6-108.1-143.6-179.0-214.5-250.0-285.4-320.9-356.4-391.8-427.3-462.8-498.3-533.7-539.2-604.7應(yīng)力/kPa634.6應(yīng)力/kPa-34.4-72.2-109.9-147.6-185.4-223.1-260.8-298.6-336.3-374.1-411.8-449.5-487.3-525.0-562.7-600.5-638.2樁身標(biāo)高/m樁身豎向應(yīng)力/kPa0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10100200300400土層標(biāo)高/m0.25E0.50E0.75E1.00E1.25E1.50E0-2-4-6-8-10-12-14-16土體豎向應(yīng)力/kPa909巖土力學(xué)2021年圖11不同樁徑時樁身豎向應(yīng)力值隨樁身深度的變化曲線Fig.11Relationshipsbetweenverticalstressanddepthwithdifferentpilediameters圖12不同樁徑時樁間土豎向沉降值隨深度的變化曲線Fig.12Relationshipsbetweendepthandverticalsettlementofsoilbetweenpileswithdifferentpilediameters為了研究隨著旋噴樁樁徑增加對復(fù)合地基承載特性的影響,選取樁間土的地表沉降進(jìn)行研究。圖13為樁間土的地表沉降值隨樁徑的變化曲線。由圖可知,隨著旋噴樁樁徑的增加,樁間土的地表沉降隨之減小,但減速呈降低的趨勢。這說明增加旋噴樁樁徑會減少復(fù)合地基土地表的豎向沉降。但旋噴樁樁徑的增加與地基抵抗豎向沉降的能力并不是呈線性關(guān)系,當(dāng)旋噴樁樁徑達(dá)到一定值后,繼續(xù)增大樁徑對提高地基抵抗豎向沉降能力的貢獻(xiàn)不大。圖13樁間土豎向沉降值隨樁徑的變化曲線Fig.13Relationshipbetweenverticalsettlementanddiameterofchemicalchurningpile3.5旋噴樁樁距對復(fù)合地基承載特性的影響本文中基準(zhǔn)模型的樁距為1m。為了研究旋噴樁樁距對復(fù)合地基承載特性的影響,分別建立了樁徑為0.5m,樁距為0.6、0.8、1.5m的數(shù)值分析模型,并將計算結(jié)果與基準(zhǔn)模型結(jié)果進(jìn)行比較。由圖14可知,在上部荷載一定的情況下,隨著樁距的增加,樁身內(nèi)部的豎向應(yīng)力隨之增加。這是由于在樁距較小時,由于復(fù)合地基置換率比較高,旋噴樁樁體的豎向應(yīng)力比較低。隨著樁距的增加,旋噴樁復(fù)合地基的整體置換率降低,旋噴樁承擔(dān)了更多的上部荷載,因此,相對而言,樁身應(yīng)力提高。當(dāng)樁距增加到一定距離后,樁體本身的豎向應(yīng)力會進(jìn)一步提高,直至達(dá)到抗壓強度而發(fā)生破壞。圖14不同樁距時樁身豎向應(yīng)力值隨深度的變化曲線Fig.14Relationshipsbetweenverticalstressanddepthwithdifferentpiledistances43211-0.4m2-0.5m3-0.6m4-0.8m1-0.4m2-0.5m3-0.6m4-0.8m123443211-1.5m2-1.0m3-0.8m4-0.6m910第3期安關(guān)峰等：旋噴群樁復(fù)合地基承載特性的數(shù)值分析911由圖15可知，在樁距較小情況下，地基在地表處的沉降值比較小。而隨著樁距的增加，地基在地表處的沉降值逐漸增大。特別是當(dāng)樁距增加到一定程度時（如本文算例中樁距為1.5m時），不僅在地表處的樁間土豎向沉降較大，在地表下方一定深度內(nèi)的豎向位移值較其他樁距（樁距為0.6、0.8、1m時）也更大。這說明當(dāng)樁距增大至一定數(shù)值時，旋噴樁同樁間土之間失去了整體變形協(xié)調(diào)的能力，復(fù)合地基的承載能力也大為降低。3.6樁-土界面單元對復(fù)合地基承載特性的影響為了研究在旋噴樁樁體與周邊土體之間設(shè)置Goodman接觸面單元對復(fù)合地基承載特性的影響，本文建立了考慮樁-土接觸的復(fù)合地基數(shù)值分析模型。其中接觸面參數(shù)的取值按照旋噴樁樁體以及周邊土體的特性并結(jié)合以往同類文獻(xiàn)的經(jīng)驗進(jìn)行選定，接觸面單元的法向剛度取值為5×106kN/m3，切向剛度的取值為5×105kN/m3。圖17為整體有限元模型中的接觸面單元網(wǎng)格。43211－1.5m2－1.0m3－0.8m4－0.6m圖17接觸面單元網(wǎng)格Fig.17Interfaceelementmeshes圖18、19分別為考慮樁-土接觸以及未考慮接觸時復(fù)合地基的沉降及豎向應(yīng)力分布。由圖可知，在考慮接觸面單元時，復(fù)合地基的最大豎向沉降為圖15不同樁距時樁身豎向沉降值隨深度的變化曲線Fig.15Relationshipsbetweenverticalsettlementanddepthwithdifferenepiledistances12.6mm，旋噴樁樁體的最大豎向應(yīng)力為632.6kPa；未考慮接觸面單元時，復(fù)合地基的最大豎向沉降為12.5mm，旋噴樁樁體的最大豎向應(yīng)力為634.6kPa。通過計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)樁-土之間設(shè)置與未設(shè)置Goodman接觸面單元時相比地基的受力及變形情況均差別不大。但設(shè)置了接觸面單元的情況下，旋噴樁樁周土體的豎向應(yīng)力受樁體影響的區(qū)域相較未設(shè)接觸面時會相對小一些。沉降/mm0-0.8-1.6-2.4-3.2-3.9-4.7-5.5-6.3-7.1-7.9-8.7-9.4-10.2-11.0-11.8-12.6應(yīng)力/kPa-33.3-70.8-108.2-145.7-183.1-220.6-258.0-295.5-332.9-370.4-407.8-445.3-482.8-520.2-557.7-595.1-632.6為了研究隨著旋噴樁樁距增加對復(fù)合地基承載特性的影響，選取樁間土的地表沉降進(jìn)行研究。圖16為樁間土的地表沉降值隨樁距的變化曲線。由圖可知，隨著旋噴樁樁距的增加，樁間土的地表沉降隨之增加，且增速呈加快的趨勢。這說明增加旋噴樁樁距會加速增加復(fù)合地基的豎向沉降，旋噴樁復(fù)合地基承載能力加速降低。(a地基沉降(b地基豎向應(yīng)力圖16樁間土豎向沉降值隨樁距的變化曲線Fig.16Relationshipbetweenverticalsettlementanddistancebetweenpiles圖18考慮接觸時地基的沉降及豎向應(yīng)力分布（剖切圖）Fig.18Verticalsettlementandstressofsubgradeconsideringinterfaceelement912沉降/mm0-0.8-1.6-2.3-3.1-3.9-4.7-5.4-6.2-7.0-7.8-8.6-9.4-10.1-10.9-11.7-12.5巖應(yīng)力/kPa-34.7-72.2-109.7-147.2-184.7-222.2-259.6-297.1-334.6-372.1-409.6-447.1-484.6-522.1-559.6-597.1-634.6土力學(xué)2021年參考文獻(xiàn)[1]姚賢華,裴松偉,趙順波.高壓旋噴樁復(fù)合地基承載特性的有限元分析[J].華北水利水電學(xué)院學(xué)報,2021,30(1:93－95.YAOXian-hua,PEISong-wei,ZHAOShun-bo.Finiteelementanalysisofload-carryingcapacitywithcompositefoundationofhighpressurerotarygroutingpile[J].JournalofNorthChinaInstituteofWater(a地基沉降(b地基豎向應(yīng)力圖19未考慮接觸時地基的沉降及豎向應(yīng)力分布（剖切圖）Fig.19VerticalsettlementandstressofsubgradewithoutconsideringinterfaceelementConservancyandHydroelectricPower,2021,30(1:93－95.[2]《地基處理手冊》編寫委員會.地基處理手冊(第二版[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社,2000.[3]郝峰.高壓旋噴樁復(fù)合土釘墻Plaxis有限元分析[J].探礦工程(巖土掘進(jìn)工程,2021,36(9:52－55.HAOFeng.Plaxisfiniteelementanalysisofsupportingstructurewithhigh-pressurejetgroutingpileandcompositesoil-nailingwall[J].ExplorationEngineering(Rock&SoilDrilling&Tunneling,2021,36(9:52－55.[4]朱晞,王根會.鐵路橋梁旋噴樁復(fù)合地基的三維彈性有限元分析[J].鐵道學(xué)報,1996,18(6:95－99.ZHUXi,WANGGen-hui.3-DFEManalysisofcompositefoundationstrengthenedbywhirlysprayedcementpileofrailwaybridge[J].JournalofTheChinaRailwaySociety,1996,18(6:95－99.[5]許宏發(fā),吳華杰,郭少平,等.樁土接觸面單元參數(shù)分析[J].探礦工程,2002,5:10－12.XUHong-fa,WUHua-jie,GUOShao-ping,etal.Studyoftheparametersofpilesoilcontactsurfaceelement[J].ExplorationEngineering,2002,5:10－12.[6]錢曉麗,陶龍光,劉波.豎向載荷作用下單樁接觸面性能分析[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報,2007,26(1:59－61.QIANXiao-li,TAOLong-guang,LIUBo.Performanceanalysisofsinglepile-soilinterfaceunderverticalload[J].JournalofLiaoningTechnicalUniversity,2007,26(1:59－61.4結(jié)論（1）當(dāng)旋噴樁復(fù)合地基采用不同的旋噴樁布置方式時，其對復(fù)合地基的變形及受力特征影響很小，可以忽略不計。（2）在地面荷載一定的情況下，隨著旋噴樁樁長的增加，樁間土體地表處的豎向沉降呈線性減小趨勢。旋噴樁加固復(fù)合地基主要是減小了地表至樁底深度范圍內(nèi)土體的豎向沉降值，而對樁底下方的土體沉降基本無影響。除了樁底區(qū)域以外，不同樁長旋噴樁的樁身豎向應(yīng)力隨深度的增加曲線基本重合于同一條曲線。（3）提高旋噴樁材料的彈性模量會提高復(fù)合地基的承載能力，當(dāng)旋噴樁材料彈性模量達(dá)到一定值后，繼續(xù)增加對提高復(fù)合地基承載能力的貢獻(xiàn)不大。（4）隨著旋噴樁樁徑的增加，樁間土的地表沉降隨之減少，但減速呈降低的趨勢。當(dāng)旋噴樁樁徑達(dá)到一定值后，繼續(xù)增大樁徑對提高地基抵抗豎向沉降能力的貢獻(xiàn)不大。（5）隨著樁距的增加，旋噴樁樁身應(yīng)力提高。當(dāng)樁距增加到一定距離后，樁體本身的豎向應(yīng)力會進(jìn)一步提高直至達(dá)到抗壓強度而發(fā)生破壞。增加旋噴樁樁距會加速增大復(fù)合地基的豎向沉降，旋噴樁復(fù)合地基承載能力加速降低。（6）樁-土之間設(shè)置與未設(shè)置Goodman接觸面單元時相比，地基的受力及變形情況均差別不大，但樁周土體豎向應(yīng)力受影響的區(qū)域相較未設(shè)接觸面時會相對小一些。矩陣的表示理論及其在數(shù)值計算中的應(yīng)用【摘要】：矩陣的理論和方法不僅是各數(shù)學(xué)學(xué)科的基本工具，而且在理論物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、最優(yōu)化、信息處理、自動控制、工程技術(shù)和運籌學(xué)等應(yīng)用學(xué)科的理論研究和數(shù)值計算中都有著廣泛的應(yīng)用。近年來，隨著近代量子力學(xué)的不斷發(fā)展，力學(xué)工作者遇到并提出了一系列有關(guān)矩陣的理論和計算方面的疑難問題，這些問題制約著量子力學(xué)的發(fā)展，急需數(shù)學(xué)工作者給以解答。在本文中，我們通過引入復(fù)矩陣的實表示、四元數(shù)矩陣的復(fù)表示、友向量和伴向量的方法，研究并解決了量子力學(xué)等學(xué)科中的有關(guān)矩陣?yán)碚撆c計算中的下列三類系列疑難問題：1．矩陣的合相似問題兩個復(fù)矩陣A，B稱為是合相似的是指存在復(fù)可逆矩陣S滿足S~(-1)A(?)=B。我們通過復(fù)矩陣的實表示、友向量和伴向量方法，研究并解決了合相似意義下矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、合相似意義下矩陣的三角化和矩陣的廣義對角化的問題。不但從理論上給出復(fù)矩陣的一個新的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，而且還給出了相應(yīng)復(fù)矩陣若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計算方法。進(jìn)一步地，我們不但給出求一個復(fù)矩陣A的合若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J的簡單方法，而且還給出一種求相應(yīng)合相似可逆矩陣S(滿足S~(-1)A(?)=J)的算法。2．矩陣方程的解問題矩陣方程解的問題是矩陣?yán)碚撝械囊活愔匾膯栴}。如何給出某個矩