湖南省株洲市炎陵縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

炎陵縣2023年下學(xué)期高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)已知等式化簡(jiǎn)直接求解復(fù)數(shù)【詳解】由，得，，故選：A2.已知向量，，若//，則t＝（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?/，則，解得.故選：D.3.已知圓錐軸截面為正三角形，母線長為4，則該圓錐的體積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件易得圓錐的底面半徑和高，結(jié)合圓錐的體積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閳A錐軸截面是邊長為4正三角形，所以圓錐的底面半徑為2，高，所以圓錐的體積為.故選：A4.已知有樣本數(shù)據(jù)2、4、5、6、8，則該樣本的方差為（）A.5 B.4 C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可得出答案.【詳解】解：平均數(shù)為．該樣本的方差為．故選：B．5.已知兩條不同直線，兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】利用線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)解答.【詳解】A選項(xiàng)中可以異面，故A錯(cuò)誤.，，，所以，在內(nèi)可找到的平行線,,可得到.故B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，很明顯.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，的位置關(guān)系無法確定，相交、平行、異面均有可能.故D錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖是根據(jù)某市1月1日至1月10日的最低氣溫（單位：℃）的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，由圖可知這10天的最低氣溫的第50百分位數(shù)是（）A.2℃ B.1℃ C.0℃ D.℃【答案】C【解析】【分析】先將10個(gè)數(shù)由小到大排列，第50百分位數(shù)指是這個(gè)數(shù)要大于等于這組數(shù)50%的數(shù)，由于5是整數(shù)，故第50百分位數(shù)是第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)和的一半.【詳解】由折線圖可知，這10天的最低氣溫（C）按照從小到大排列為：，，，，0，0，1，2，2，2，因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，所以是整數(shù)，則這10天的最低氣溫的第50百分位數(shù)是（℃）．故選：C7.棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667﹣1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由棣莫弗公式對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)可得答案【詳解】由已知得，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C．8.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．如圖所示，其分子結(jié)構(gòu)是六個(gè)氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個(gè)頂點(diǎn)看作正方體各個(gè)面的中心點(diǎn)．若正八面體的表面積為，則正八面體外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，進(jìn)而由球的體積公式即得體積.【詳解】如圖正八面體，連接和交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，又和為平面?nèi)相交直線，所以平面，所以為正八面體的中心，設(shè)正八面體的外接球的半徑為，因?yàn)檎嗣骟w的表面積為,所以正八面體的棱長為，所以，，，則，.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知中，，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.為鈍角三角形 B.為銳角三角形C.面積為 D.【答案】AC【解析】【分析】由余弦定理求得最大角可判斷A和B；由面積公式可判斷C；由數(shù)量積可判斷D.【詳解】在中，，∴，∴為鈍角三角形，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC．10.下列命題錯(cuò)誤的有（）A.若、都是單位向量，則B.若，且，則C.若非零向量與是共線向量，則、、、四點(diǎn)共線D.向量的模與向量的模相等【答案】ABC【解析】【分析】直接利用單位向量，向量的相等，向量的共線，向量的模的相關(guān)的定義的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于A：若，都是單位向量，則，因?yàn)椋姆较虿灰欢ㄏ嗤?，故，不一定相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，與任何向量都平行，故不能得到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：非零向量與而是共線向量，即，不能得到、、、四點(diǎn)共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：向量與向量互為相反向量，故向量與向量的模相等，故D正確：故選：ABC．11.如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間和事件和，其中，，，，下列運(yùn)算結(jié)果，正確的有（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用互斥事件的概念和古典概型的概率的求法直接判斷即可【詳解】對(duì)于A：∵，∴．故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：∵，∴；故D錯(cuò)誤；故選：ABC．12.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短期；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表．則（）A.丁險(xiǎn)種參保人數(shù)超過五成 B.41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的五成C.18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少 D.人均參保費(fèi)用不超過5000元【答案】ACD【解析】分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由參保險(xiǎn)種比例圖可知，丁險(xiǎn)種參保人數(shù)比例，故A正確由參保人數(shù)比例圖可知，41歲以上參保人數(shù)超過總參保人數(shù)的不到五成，B錯(cuò)誤由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是這類人所占比例為，周歲以上參保人數(shù)最少比例為，周歲以上人群人均參保費(fèi)用,所以18－29周歲人群參保的總費(fèi)用最少，故C正確．由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，人均參保費(fèi)用不超過5000元,故D正確故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知與的夾角為，則__________【答案】21【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算定律進(jìn)行求解即可.【詳解】解：由題意得：故答案為：2114.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解集為______．【答案】【解析】【分析】直接一元二次方程的求根公式求解【詳解】解：由求根公式可得所以方程的解集為．故答案為：15.某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查．已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取_______名學(xué)生．【答案】60【解析】【分析】采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查的.【詳解】∵該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4:5:5:6，∴應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取學(xué)生人數(shù)為：.故答案為60.16.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn)，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨(dú)立，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算及相互獨(dú)立性推測(cè)即可.【詳解】由題意，，所以，所以是共同的唯一的樣本點(diǎn)，又兩兩不獨(dú)立，即，，，可見不可以為或，所以為或，即.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①，，；②，，；③，，這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.問題：在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知___________，解三角形.【答案】答案見解析【解析】【分析】選擇條件①：利用正弦定理求出，即可得出，再利用正弦定理即可求出；選擇條件②：利用正弦定理求出，即可求出和；選擇條件③：利用正弦定理求出，即可求出和.【詳解】選擇條件①：因?yàn)椋?，，由正弦定理得，即，所以，則或（舍去），所以，因?yàn)?，由正弦定理可得，則.選擇條件②：因?yàn)?，，，由正弦定理得，即，所以，解得或，符合題意，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則；選擇條件③：因，，，由正弦定理得，即，則，所以，所以，18.已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求的最大值及最小值.【答案】（1）.（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（3）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得，由三角函數(shù)的周期性及其求法可得周期.（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間.（3）根據(jù)三角函數(shù)的取值范圍求出最值以及自變量的取值.【小問1詳解】，∴的最小正周期為.【小問2詳解】由，得，由，得，∴的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為.【小問3詳解】由，則，，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值為；當(dāng)，即時(shí)，取最小值為.19.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350（單位：）之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示：（1）求在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間的戶數(shù)；（2）求直方圖中x的值；（3）求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).【答案】（1）30戶（2）0.0044（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的各矩形面積和為求解即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)即可.【小問1詳解】解：，所以在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間的戶數(shù)為30戶【小問2詳解】解：所以直方圖中x的值為0.0044.【小問3詳解】解：各區(qū)間的中點(diǎn)值分別為：75?125?175?225?275?325，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.20.甲?乙兩隊(duì)舉行圍棋擂臺(tái)賽，規(guī)則如下：兩隊(duì)各出3人，排定1，2，3號(hào).第一局，雙方1號(hào)隊(duì)員出場(chǎng)比賽，負(fù)的一方淘汰，該隊(duì)下一號(hào)隊(duì)員上場(chǎng)比賽.當(dāng)某隊(duì)3名隊(duì)員都被淘汰完，比賽結(jié)束，未淘汰完的一方獲勝.如圖表格中，第m行?第n列的數(shù)據(jù)是甲隊(duì)第m號(hào)隊(duì)員能戰(zhàn)勝乙隊(duì)第n號(hào)隊(duì)員的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲隊(duì)2號(hào)隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰的概率；（2）比較第三局比賽，甲隊(duì)隊(duì)員和乙隊(duì)隊(duì)員哪個(gè)獲勝的概率更大一些？【答案】（1）；（2）甲隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率更大一些.【解析】【分析】（1）甲隊(duì)2號(hào)隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰這個(gè)事件的發(fā)生應(yīng)是甲隊(duì)1號(hào)輸給乙隊(duì)1號(hào)，然后甲隊(duì)2號(hào)上場(chǎng)，三場(chǎng)全勝，由獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得；（2）第三局比賽甲勝可分為3個(gè)互斥事件：甲隊(duì)1號(hào)勝乙隊(duì)3號(hào)，甲隊(duì)2號(hào)勝乙隊(duì)2號(hào)，甲隊(duì)3號(hào)勝乙隊(duì)1號(hào)，分別計(jì)算概率后相加可得．然后由對(duì)立事件概率得出乙隊(duì)勝的概率，比較后要得結(jié)論．【詳解】解：（1）甲隊(duì)2號(hào)隊(duì)員把乙隊(duì)3名隊(duì)員都淘汰的概率為（2）第3局比賽甲隊(duì)隊(duì)員獲勝可分為3個(gè)互斥事件（i）甲隊(duì)1號(hào)勝乙隊(duì)3號(hào)，概率為；（ii）甲隊(duì)2號(hào)勝乙隊(duì)2號(hào)，概率為；(iii)甲隊(duì)3號(hào)勝乙隊(duì)1號(hào)，概率為故第3局甲隊(duì)隊(duì)員勝的概率為.則第3局乙隊(duì)隊(duì)員勝的概率為因?yàn)?，故甲?duì)隊(duì)員獲勝的概率更大一些．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．解題關(guān)鍵是把事件“第3局比賽甲隊(duì)隊(duì)員獲勝”分斥成3個(gè)互斥事件，然后分別求得概率后易得出結(jié)論．21.已知直四棱柱的所有棱長均為2，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由直棱柱的性質(zhì)，線面平行的判定即可證面.（Ⅱ）取AC中點(diǎn)O，連，，由線面垂直的判定知面，則即為二面角的平面角，再由余弦定理求即可.【詳解】（Ⅰ）由直四棱柱，得，面，面，∴面.（Ⅱ）取AC中點(diǎn)O，連，，則，，又，∴面，由二面角定義，即為二面角的平面角，由，，即.22.如圖，已知四棱錐，且，，，，的面積等于，E是PD是中點(diǎn).（Ⅰ）求四棱錐體積的最大值；（Ⅱ）若，.（i）求證：；（ii）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得到的距離，再由面面時(shí)，四棱錐體積有最大值，即可求得四棱錐體積的最大值；（Ⅱ）（i）記點(diǎn)在上的射影為，由，可得，可得四邊形為矩形，得，結(jié)合，得面，從而得；（ii）取中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，得，得到直線與平面所成角即為直線與平面所成角，再證明得面，作