三角函數(shù)、解三角形(高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí))

三角函數(shù)、解三角形（高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)）[備考方向要明了]1.考查形式為選擇題或填空題．2.三角函數(shù)的定義與三角恒等變換等相結(jié)合，考查三角函數(shù)求值問(wèn)題，如2011年新課標(biāo)全國(guó)T7，江西T14等．3.三角函數(shù)的定義與向量等知識(shí)相結(jié)合，考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用，如2012年山東T16等.1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.怎么考考什么[歸納·知識(shí)整合]1．角的有關(guān)概念角的特點(diǎn)角的分類(lèi)從運(yùn)動(dòng)的角度看角可分為

、

和從終邊位置來(lái)看可分為

和軸線角α與β角的終邊相同β＝(或β＝α＋k·2π，k∈Z)正角負(fù)角零角象限角α＋k·360°(k∈Z)[探究]

1.終邊相同的角相等嗎？它們的大小有什么關(guān)系？提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍，相等的角終邊一定相同．2．銳角是第一象限角，第一象限角是銳角嗎？小于90°的角是銳角嗎？提示：銳角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是銳角，如390°，－300°都是第一象限角．小于90°的角不一定是銳角，如0°，－30°都不是銳角．2．弧度的概念與公式在半徑為r的圓中分類(lèi)定義(公式)1弧度的角把長(zhǎng)度等于

長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示角α的弧度數(shù)公式|α|＝(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝

rad

②1rad＝弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝

扇形的面積公式S＝

＝

半徑|α|r3．任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么

叫做α的正弦，記作sinα

叫做α的余弦，記作cos

α

叫做α的正切，記作tanαyx三角函數(shù)正弦余弦正切各象限符號(hào)ⅠⅡⅢⅣ口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦正正正正負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)正負(fù)正負(fù)三角函數(shù)正弦余弦正切三角函數(shù)線有向線段

為正弦線有向線段為余弦線有向線段為正切線MPOMAT

[探究]

3.三角函數(shù)線的長(zhǎng)度及方向各有什么意義？

提示：三角函數(shù)線的長(zhǎng)度表示三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．[自測(cè)·牛刀小試]答案：C2．(教材習(xí)題改編)若角θ同時(shí)滿足sinθ＜0且tanθ＜0，則角θ的終邊一定落在 (

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限解析：由sinθ＜0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的非正半軸重合．由tanθ＜0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，可知θ的終邊只能位于第四象限．答案：D3．已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 (

)A．1 B．4C．1或4 D．2或4答案：C象限角及終邊相同的角三角函數(shù)的定義利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：①角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；②縱坐標(biāo)y；③該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同)．2．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cos

α，

tanα的值．弧度制下扇形弧長(zhǎng)與面積公式的應(yīng)用弧度制的應(yīng)用(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷．(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．3．已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10，(1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S.(1)第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角，第一類(lèi)是象限角，第二類(lèi)、第三類(lèi)是區(qū)間角．(2)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(3)要熟記0°～360°間特殊角的弧度表示．(4)要注意三角函數(shù)線是有向線段.

創(chuàng)新交匯——三角函數(shù)的定義與向量的交匯問(wèn)題三角函數(shù)的概念是考查三角函數(shù)的重要工具，在高考命題中很少單獨(dú)考查，常結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)、三角恒等變換和向量等知識(shí)綜合考查，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大．[答案]

(2－sin2,1－cos2)答案：A

答案：C“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（十七）”3．已知一扇形的圓心角為α(α＞0)，所在圓的半徑為R.若

扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該

扇形有最大面積？[備考方向要明了]1.以選擇題或填空題的形式考查利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式解決條件求值問(wèn)題，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如2012年遼寧T6等．2.作為一種運(yùn)用與三角恒等變換相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，主要起到化簡(jiǎn)三角函數(shù)關(guān)系式的作用.怎

么

考考

什

么[歸納·知識(shí)整合]sin2α＋cos2α[探究]

1.如何理解基本關(guān)系中“同角”的含義？2．誘導(dǎo)公式銳角

[探究]

2.有人說(shuō)sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你認(rèn)為正確嗎？

提示：不正確．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.3．誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”中的“符號(hào)”是否與α的大小有關(guān)？[自測(cè)·牛刀小試]答案：D答案：A答案：C同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用1．已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cos

α.解：∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β.②由①÷②得，9cos2α＝4cos2β.③由①＋③得，sin2α＋9cos2α＝4.又sin2α＋cos2α＝1，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用答案：(1)B誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用(1)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．(3)注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.1．解答本題時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)以下兩種失誤(1)忽視題目中已知條件α的范圍，求得sinα的兩個(gè)值而致誤；(2)只注意到α的范圍，但判斷錯(cuò)sinα的符號(hào)而導(dǎo)致tanα的值錯(cuò)誤．2．由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求sinα或cos

α?xí)r，要注意以下兩點(diǎn)(1)題目中若沒(méi)有限定角α的范圍，則sinα或cos

α的符號(hào)應(yīng)有兩種情況，不可漏掉．(2)若已給出α的范圍，則要準(zhǔn)確判斷在給定范圍內(nèi)sinα或cos

α的符號(hào)，不合題意的一定要舍去．“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（十八）”答案：B答案：A答案：B4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050)°＋tan945°.解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°5．若sinθ，cosθ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，求cos2θ的值．[備考方向要明了]考

什

么1.以選擇題或填空題的形式考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及對(duì)稱性．如2012年福建T8等．2.以選擇題或填空題的形式考查三角函數(shù)的值域或最值問(wèn)題．如2012年山東T8等．3.與三角恒等變換相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中．如2012年北京T15等.怎

么

考[歸納·知識(shí)整合]正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cos

xy＝tanx圖象函數(shù)y＝sinxy＝cos

xy＝tanx定義域值域單調(diào)性遞增區(qū)間：遞減區(qū)間：遞增區(qū)間：

遞減區(qū)間：遞增區(qū)間：R[－1,1]R[2kπ－π，2kπ]

(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)R[－1,1]2kπ(k∈Z)2kπ＋π(k∈Z)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)(kπ，0)，k∈Zx＝kπ，k∈Z2ππ2π[探究]

1.正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？2．當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)時(shí)，φ的取值是什么？對(duì)于函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)呢？[自測(cè)·牛刀小試]答案：B答案：B答案：C答案：

4π三角函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)的單調(diào)性——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————答案：C三角函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性[答案]

(1)C

(2)A

(3)C本例(1)中函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心是什么？(1)利用sinx、cos

x的有界性；(2)形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫(xiě)出函數(shù)的值域；(3)換元法：把sinx或cos

x看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問(wèn)題．(1)三角函數(shù)的圖象從形上完全反映了三角函數(shù)的性質(zhì)，求三角函數(shù)的定義域、值域時(shí)應(yīng)注意利用三角函數(shù)的圖象．(2)閉區(qū)間上最值或值域問(wèn)題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問(wèn)題，要討論參數(shù)對(duì)最值的影響．(3)利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注意x系數(shù)的正負(fù)．(4)利用換元法求三角函數(shù)最值時(shí)要注意三角函數(shù)的有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯(cuò)誤.創(chuàng)新交匯——與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的交匯問(wèn)題

1．高考對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查不但有客觀題，還有主觀題，客觀題常以選擇題的形式出現(xiàn)，往往結(jié)合集合、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；解答題主要與三角恒等變換、不等式等知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題．

2．解決此類(lèi)交匯問(wèn)題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)：

(1)熟記三角函數(shù)的性質(zhì)，主要為定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等及有關(guān)結(jié)論．

(2)要善于利用函數(shù)圖象的形象性和直觀性分析解決問(wèn)題．[答案]

C答案：B答案：A“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（十九）”[備考方向要明了]考

什

么怎么考

[歸納·知識(shí)整合]1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念ωx＋φ2．用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)y＝Asin(ωx＋φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示：002π3．函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟法一法二[探究]

2.在圖象變換時(shí)運(yùn)用“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”兩種途徑，向左或向右平移的單位個(gè)數(shù)為什么不一樣？[自測(cè)·牛刀小試]答案：C答案：A答案：C5．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ為常

數(shù)，A>0，ω>0)在閉區(qū)間[－π，0]

上的圖象如圖所示，則ω＝________.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換若將本例(3)中“y＝sinx”改為“y＝2cos2x”，則如何變換？求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式圖(1)圖(2)—————————————————答案：D函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用答題模板——由三角函數(shù)圖象確定解析式

[準(zhǔn)確規(guī)范答題][答題模板速成]第一步觀察圖象根據(jù)圖象確定五點(diǎn)作圖中的第一個(gè)平衡點(diǎn)、第二個(gè)平衡點(diǎn)的坐標(biāo)或圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)?第二步明確方向?qū)ⅰ唉豿＋φ”作為一個(gè)整體，找到對(duì)應(yīng)的值(通常利用周期求ω，利用圖象的某一個(gè)點(diǎn)(通常選取平衡點(diǎn))確定φ)?第三步給出證明

列方程組求解(求φ時(shí)，往往要利用φ的范圍)

第四步寫(xiě)解析式

寫(xiě)出所求的函數(shù)解析式

?第五步反思回顧

“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（二十）”答案：C答案：C(2)列出下表描點(diǎn)畫(huà)出圖象如圖．(1)求其解析式；(2)若將y＝Asin(ωx＋φ)的圖象向左平移個(gè)單位后得y＝f(x)的圖象，求f(x)的對(duì)稱軸方程．[備考方向要明了]考

什

么1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．2.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．3.能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

怎么考

1.主要考查利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，如2012年江蘇T11，廣東T16等．2.考查形式既有選擇題、填空題，也有解答題，且常與三角函數(shù)的性質(zhì)、向量、解三角形的知識(shí)相結(jié)合命題，如2012年湖北T18，安徽T21等．[歸納·知識(shí)整合]sinαcos

β±cos

αsin

βcos

αcos

β?sinαsin

·

β[探究]

1.兩角和與差的正切公式對(duì)任意角都適用嗎？若出現(xiàn)不適用的情況如何化簡(jiǎn)？

2.二倍角余弦公式的常用變形是什么？它有何重要應(yīng)用？2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α[自測(cè)·牛刀小試]答案：B答案：D答案：A三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)的求值問(wèn)題—————————————————————————————————————————三角函數(shù)的求角問(wèn)題若將“A，B均為鈍角”改為“A，B均為銳角”，如何求解？(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”．(2)變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類(lèi)的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等．(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等．[變式訓(xùn)練]“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（二十一）”[備考方向要明了]1.以選擇題或填空題的形式單獨(dú)考查，如2012年江蘇T11.2.在解答題中，與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等綜合，突出考查三角恒等變換的工具性作用，如2012年湖北T18，重慶T19等.能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶).怎

么

考考

什

么[歸納·知識(shí)整合][探究]如何用tanα表示sin2α與cos2α？[自測(cè)·牛刀小試]答案：C答案：B答案：B三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)原則一是統(tǒng)一角，二是統(tǒng)一函數(shù)名，能求值的求值，必要時(shí)切化弦，更易通分、約分.2.三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的要求(1)能求出值的應(yīng)求出值；(2)盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；(3)盡量使項(xiàng)數(shù)最少；(4)盡量使分母不含三角函數(shù)；(5)盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù).3.三角函數(shù)化簡(jiǎn)的方法化簡(jiǎn)的方法主要有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪.三角函數(shù)求值—————————————————————————————————————————(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；(3)將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．(1)求f(x)的零點(diǎn)；(2)求f(x)的最大值和最小值．創(chuàng)新交匯——三角恒等變換與函數(shù)性質(zhì)的交匯問(wèn)題1．三角恒等變換作為高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要與三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合命題，有時(shí)也與向量等其他知識(shí)交匯命題．2．解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一要重視三角變化中的諸多公式，熟悉它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；二要熟悉三角變換中各方面的技巧，特別是切化弦、降冪和升冪、角的變換等技巧．1．本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題方式：本題突破以往依據(jù)函數(shù)圖象確定三角函數(shù)解析式的傳統(tǒng)，而是將抽象函數(shù)與函數(shù)的周期性等相結(jié)合，考查函數(shù)解析式的求法．(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新：本題考查了函數(shù)周期性及分類(lèi)討論思想在求抽象函數(shù)及分段函數(shù)解析式中的應(yīng)用，考查了考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理能力．[名師點(diǎn)評(píng)](3)具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和運(yùn)算能力．[變式訓(xùn)練]“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（二十二）”2．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，設(shè)tanα＝x，tanβ＝y(tǒng)，記y＝f(x)．(1)求f(x)的解析式；(2)若角α是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域．解：(1)∵由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos

α＋cos(α＋β)sin

α＝3sin(α＋β)·cos

α－3cos(α＋β)sin

α，∴sin(α＋β)cos

α＝2cos(α＋β)·sin

α，3．已知sinθ和cos

θ是關(guān)于x的方程x2－2xsinα＋sin2β＝0的兩個(gè)根．求證：2cos2α＝cos2β.證明：因?yàn)閟inθ，cos

θ是方程x2－2xsinα＋sin2

β＝0的兩根，所以sinθ＋cos

θ＝2sinα，sinθ·cos

θ＝sin2β.因?yàn)?sinθ＋cos

θ)2＝1＋2sinθcos

θ，所以(2sinα)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β，所以2(1－cos2α)＝1＋1－cos2β，所以2cos2α＝cos2β.[備考方向要明了]1.以選擇題或填空題的形式考查正弦定理、余弦定理在求三角形邊或角中的應(yīng)用，如

2012年廣東T6，湖南T8等．2.與平面向量、三角恒等變換等相結(jié)合出現(xiàn)在解答題中，如2012年江蘇T15等.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.怎

么

考考

什

么[歸納·知識(shí)整合]1．正弦定理和余弦定理a2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC定理正弦定理余弦定理解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊．②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角.①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角[探究]

1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么條件？“A＞B”是“cos

A＜cos

B”的什么條件？提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件，“A＞B”是“cos

A＜cos

B”的充要條件．

2．在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin

Absin

A＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解

[探究]2.如何利用余弦定理判定三角形的形狀？(以角A為例)

提示：∵cos

A與b2＋c2－a2同號(hào)，∴當(dāng)b2＋c2－a2＞0時(shí)，角A為銳角，若可判定其他兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時(shí)，角A為直角，三角形為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＜0時(shí)，角A為鈍角，三角形為鈍角三角形．[自測(cè)·牛刀小試]答案：A答案：D答案：B

5．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c.若b＝2asinB，則角A的大小為_(kāi)_______．答案：30°或150°利用正、余弦定理解三角形[例1]

(2012·浙江高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsin

A＝acos

B.(1)求角B的大??；

(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．正、余弦定理的選用原則解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．在解題時(shí)，還要根據(jù)所給的條件，利用正弦定理或余弦定理合理地實(shí)施邊和角的相互轉(zhuǎn)化．利用正、余弦定理判斷三角形的形狀[例2]

在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．[自主解答]∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.—————————————————1.三角形形狀的判斷思路判斷三角形的形狀，就是利用正、余弦定理等進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，尋求邊與邊或角與角之間的數(shù)量關(guān)系，從而作出正確判斷.(1)邊與邊的關(guān)系主要看是否有等邊，是否符合勾股定理等；(2)角與角的關(guān)系主要是看是否有等角，有無(wú)直角或鈍角等.2.判定三角形形狀的兩種常用途徑①通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；②利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題[例3]

(2012·山東高考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sinB(tan

A＋tanC)＝tanAtan

C.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面積S.答題模板——利用正、余弦定理解三角形[快速規(guī)范審題]

[準(zhǔn)確規(guī)范答題]

易忽視角B－C的范圍，直接由sin(B－C)＝1，求得結(jié)論．[答題模板速成]解決解三角形問(wèn)題一般可用以下幾步解答：第一步邊角互化利用正弦定理或余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化(本題為邊化角)?第二步三角變換三角變換、化簡(jiǎn)、消元，從而向已知角(或邊)轉(zhuǎn)化第三步由值求角代入求值第四步反思回顧查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)，如本題中公式應(yīng)用是否正確??“演練知能檢測(cè)”見(jiàn)“限時(shí)集訓(xùn)（二十三）”答案：A答案：D答案：C[備考方向要明了]1.考查正、余弦定理在解決與角度、方向、距離及測(cè)量等問(wèn)題有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．2.考查方式既有選擇題、填空題，也有解答題，屬中、低檔題.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.怎

么

考考

什

么[歸納·知識(shí)整合]1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等．2．實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱仰角與俯角方位角術(shù)語(yǔ)意義在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．方位角的范圍是(0°，360°)圖形表示

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度例：(1)北偏東m°：(2)南偏西n°：

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示坡角

坡度坡面與水平面的夾角坡面的垂直高度h和水平寬度l的比[探究]

1.仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示：三者的參照不同．仰角與俯角是相對(duì)水平線而言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的．2．如何用方位角、方向角確定一點(diǎn)的位置？提示：利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測(cè)點(diǎn)的距離即可唯一確定一點(diǎn)的位置．[自測(cè)·牛刀小試]1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α與β的關(guān)系為 (

)A．α>β

B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°解析：根據(jù)仰角和俯角的定義可知α＝β.答案：B2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的 (

)A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°解析：由條件及圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.答案：D答案：A3.如圖所示，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是(

)A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b解析：選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類(lèi)似．4．(教材習(xí)題改編)海上有A，B，C三個(gè)小島，測(cè)得A，B兩島相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，則B，C間的距離是________海里．5．(教材習(xí)題改編)如圖，某城市的電視發(fā)射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC為35m，在地面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A，C間的距離為91m，從A觀測(cè)電視發(fā)射塔CD的視角(∠CAD)為45°，則這座電視發(fā)射塔的高度CD為_(kāi)_______m.答案：169測(cè)量距離問(wèn)題若將本例中A、B兩點(diǎn)放到河的兩岸，一測(cè)量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，求A、B兩點(diǎn)間的距離．1．如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求該河段的寬度．測(cè)量高度問(wèn)題—————————————————處理高度問(wèn)題的注意事項(xiàng)

(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個(gè)關(guān)鍵．

(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．

(3)高度問(wèn)題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問(wèn)題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合．2．如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測(cè)得山頂C的仰角為60°，在山頂C測(cè)得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB＝20m，求山高CD.測(cè)量角度問(wèn)題3．如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cos

θ的值．(1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．(1)畫(huà)出示意圖后要注意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過(guò)程．(2)解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量.創(chuàng)新交匯——數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)在實(shí)際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識(shí)為核心，以測(cè)量、航海、筑路、天文等為代表的實(shí)際應(yīng)用題．求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，提煉題目信息，畫(huà)出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)求解．(1)求該船的行駛速度(單位：海里/時(shí))；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由．1.對(duì)于問(wèn)題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長(zhǎng)，然后除以行駛時(shí)間即可求得速度；對(duì)于問(wèn)題(2)，延長(zhǎng)BC交直線AE于點(diǎn)Q，然后在△ABQ中，由正弦定理求得AQ的長(zhǎng)、判斷點(diǎn)Q的位置，最后在△QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷．2.解此類(lèi)問(wèn)題，首先根據(jù)題意合理畫(huà)出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運(yùn)用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識(shí)結(jié)合有助于問(wèn)題的解決．

[變式訓(xùn)練]某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速