【數(shù)學(xué)課件】第1課時(shí)(平面與平面垂直的判定) 2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

8.6.3平面與平面垂直第一課時(shí)(平面與平面垂直的判定)一、探究新知

在定義直線與平面垂直時(shí)，我們利用了直線與直線的垂直.所以，直線與直線垂直是研究直線、平面垂直問(wèn)題的基礎(chǔ).

像研究直線與平面垂直一樣，我們首先應(yīng)給出平面與平面垂直的定義.那么，該如何定義呢?請(qǐng)回顧一下直線與平面垂直、直線與直線垂直的定義過(guò)程.

在平面幾何中，我們先定義了角的概念，利用角刻畫(huà)兩條相交直線的位置關(guān)系，進(jìn)而研究直線與直線互相垂直這種特殊情況.類(lèi)似地，我們需要先引進(jìn)二面角的概念，用以刻畫(huà)兩個(gè)相交平面的位置關(guān)系，進(jìn)而研究?jī)蓚€(gè)平面互相垂直.二、二面角③棱記作l,這個(gè)二面角記作二面角α-l-β或P-l-Q.平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．1.半平面半平面半平面2.二面角(1)概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.(2)圖形：αβAB(3)記法：①棱為AB,面為α、β的二面角記作二面角α-AB-β.②也可在α、β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q.PQl二、二面角

如右圖,在日常生活中,我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大一些”，是指哪個(gè)角大一些?受此啟發(fā),你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫(huà)二面角的大小呢?

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的大小α的取值范圍是0°≤α≤180°.

∠AOB的大小與點(diǎn)O在l上的位置有關(guān)嗎?為什么?3.二面角的平面角4.二面角的取值范圍αβlABO三、平面與平面垂直的概念

教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角?分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).

在明確了兩個(gè)平面互相垂直的定義的基礎(chǔ)上，我們研究?jī)蓚€(gè)平面垂直的判定和性質(zhì).先研究平面與平面垂直的判定.

教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交,它們所成的二面角是直二面角，我們常說(shuō)墻面直立于地面上.

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與β垂直，記作α⊥β.

畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成垂直.平面與平面垂直的概念：βαβα

如右圖，建筑工人在砌墻時(shí),常用鉛錘來(lái)檢測(cè)所砌的墻面與地面是否垂直.如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面,工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面,否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面.這種方法說(shuō)明了什么道理?

類(lèi)似結(jié)論也可以在長(zhǎng)方體中發(fā)現(xiàn).如右圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,平面ADD'A'經(jīng)過(guò)平面ABCD的一條垂線AA'，此時(shí)，平面ADD'A'垂直于平面ABCD.若墻面過(guò)地面的垂線,則墻面與地面垂直.DBCAD'C'B'A'四、平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定定理

如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.βαll⊥α，l

β

α⊥β符號(hào)表示：四、平面與平面垂直的判定(線面垂直

面面垂直)例1已知：如右圖,正方體ABCD-A'B'C'D'.

求證：平面A'BD⊥平面ACC'A'.五、典型例題ABCDA'B'C'D'證明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方體，∴AA'⊥平面ABCD.∴BD⊥AA'.

又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'

平面ACC'A'∴BD⊥平面ACC'A'，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.又BD

平面ABCD又BD

平面A'BD五、典型例題例2

已知：如右圖,AB是⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn).

求證：平面PAC⊥平面PBC.ABPCO證明：∴平面PAC⊥平面PBC.∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA=90°，即BC⊥AC.又PA∩AC=A，PA

平面PAC，AC

平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又BC

平面PBC，六、高考集錦如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形,PA⊥平面ABCD,E為CD的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；(Ⅲ)棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．七、課堂小結(jié)1.二面角

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.2.二面角的平面角3.平面與平面垂直的判定方法一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直

面面垂直)①定義：二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)