江蘇省無錫市惠山區(qū)七校2024屆數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

江蘇省無錫市惠山區(qū)七校2024屆數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知：m＝+1，n＝﹣1，則＝（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．2．把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的CD邊重合，按照如圖所示的方式疊放在一起，延長LG交AF于點(diǎn)P，則∠APG＝（）A．141° B．144° C．147° D．150°3．如圖，已知點(diǎn)是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個(gè)定點(diǎn)，軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)不變，點(diǎn)隨之運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是（）A． B． C．2 D．4．已知，則的值是（）A． B． C． D．5．如圖，在△中，,兩點(diǎn)分別在邊,上，∥.若，則為（）A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形中：：若，則（）A． B． C． D．7．反比例函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，則k的值可能是（）A．3 B．5 C．6 D．88．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．9．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．10．如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且，垂足為，，，則__________．12．如圖，一次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若，且的面積為2，則k的值為________13．如果點(diǎn)A（2，﹣4）與點(diǎn)B（6，﹣4）在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么該拋物線的對稱軸為直線_____．14．用反證法證明命題“若⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，且d＞r，則點(diǎn)P在⊙O的外部”，首先應(yīng)假設(shè)P在__________．15．若關(guān)于的方程和的解完全相同，則的值為________．16．如圖，面積為6的矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，則__________．17．如圖，已知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于_____（結(jié)果保留根號）．18．如圖，已知△ABC，AB=6，AC=5，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊AC上一點(diǎn)，∠ADE=∠C，∠BAC的平分線分別交DE、BC于點(diǎn)F、G，那么的值為__________．三、解答題(共66分)19．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.（1）我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“方點(diǎn)”.試求拋物線的“方點(diǎn)”的坐標(biāo)；（2）如圖，若將該拋物線向左平移1個(gè)單位長度，新拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在左側(cè)），與軸相交于點(diǎn)，連接.若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一點(diǎn)，求的面積的最大值；（3）第（2）問中平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.20．（6分）甲口袋中裝有3個(gè)小球，分別標(biāo)有號碼1，2，3；乙口袋中裝有2個(gè)小球，分別標(biāo)有號碼1，2；這些球除數(shù)字外完全相同．從甲、乙兩口袋中分別隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，則取出的兩個(gè)小球上的號碼恰好相同的概率是多少？21．（6分）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，已知．（1）求證：．（2）若，求的長．22．（8分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC．上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合)，且連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長至點(diǎn)G，使，連接DE，DF，GE，GF(1)求證:四邊形EDFG是正方形;(2)直接寫出當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最小?最小值是多少?23．（8分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BC＝3CD，分別過點(diǎn)B，D作AD，AB的平行線，并交于點(diǎn)E，且ED交AC于點(diǎn)F，AD＝3DF．（1）求證：△CFD∽△CAB；（2）求證：四邊形ABED為菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四邊形ABED的面積．24．（8分）如圖，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC．25．（10分）如圖，已知一次函數(shù)y＝x﹣2與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A、B兩點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積．26．（10分）如圖，為了測量上坡上一棵樹的高度，小明在點(diǎn)利用測角儀測得樹頂?shù)难鼋菫?，然后他沿著正對樹的方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)測得樹頂和樹底的仰角分別是和．設(shè)，且垂足為．求樹的高度(結(jié)果精確到，)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】先根據(jù)題意得出和的值，再把式子化成含與的形式，最后代入求值即可.【題目詳解】由題得：、∴故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式求值和完全平方公式，運(yùn)用整體思想是關(guān)鍵.2、B【解題分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式分別求得正六邊形和正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得∠APG的度數(shù)．【題目詳解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，(5﹣2)×180°÷5＝108°，∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2＝720°﹣360°﹣216°＝144°，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟悉多邊形內(nèi)角和定理：(n﹣2)?180(n≥3)且n為整數(shù))．3、D【分析】根據(jù)題意利用相似三角形可以證明線段就是點(diǎn)運(yùn)動的路徑（或軌跡），又利用∽求出線段的長度，即點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長．【題目詳解】解：由題意可知，，點(diǎn)在直線上，軸于點(diǎn)，則為頂角30度直角三角形，.如下圖所示，設(shè)動點(diǎn)在點(diǎn)（起點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)的位置為，動點(diǎn)在點(diǎn)（終點(diǎn)）時(shí)，點(diǎn)的位置為，連接，∵，∴又∵，∴（此處也可用30°角的）∴∽，且相似比為，∴現(xiàn)在來證明線段就是點(diǎn)運(yùn)動的路徑（或軌跡）.如圖所示，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動至上的任一點(diǎn)時(shí)，設(shè)其對應(yīng)的點(diǎn)為，連接，，∵，∴又∵，∴∴∽∴又∵∽∴∴∴點(diǎn)在線段上，即線段就是點(diǎn)運(yùn)動的路徑（或軌跡）.綜上所述，點(diǎn)運(yùn)動的路徑（或軌跡）是線段，其長度為.故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，難度很大．本題的要點(diǎn)有兩個(gè)：首先，確定點(diǎn)B的運(yùn)動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關(guān)系求出點(diǎn)B運(yùn)動路徑的長度，可以大幅簡化計(jì)算，避免陷入坐標(biāo)關(guān)系的復(fù)雜運(yùn)算之中.4、A【解題分析】先把二次根式化簡變形，然后把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算，即可求出答案.【題目詳解】解：∵，∴===；故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和平方差公式進(jìn)行化簡.5、C【分析】先證明相似，然后再根據(jù)相似的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】∵∥∴∵∴=故答案為：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，即相似三角形的面積之比為相似比的平方.6、A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，再計(jì)算出AE：CD=1：3，接著證明△AEF∽△CDF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【題目詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∵，

∴，

∴，

∵AE∥CD，

∴，

∴，

∴．

故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．7、B【分析】根據(jù)點(diǎn)（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，點(diǎn)（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方可得出k的取值范圍，即可得答案.【題目詳解】∵點(diǎn)（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，∴k>3，∵點(diǎn)（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方，∴<2，即k<6，∴3<k<6，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟記k=xy是解題關(guān)鍵.8、B【解題分析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，可以直接寫出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】∵二次函數(shù)y=﹣(x+2)2+6，∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，6)，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是．9、C【分析】最簡二次根式須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是被開方數(shù)中不含分母，二是被開方數(shù)中不含能開的盡方的因數(shù)或因式，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即得答案．【題目詳解】解：A、，故不是最簡二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；B、中含有分母，故不是最簡二次根式，本選項(xiàng)不符合題意；C、是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D、，故不是最簡二次根式，本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了最簡二次根式的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟知概念是關(guān)鍵．10、A【分析】根據(jù)菱形面積的計(jì)算公式求得AC，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求得答案.【題目詳解】∵四邊形ABCD是菱形，OB=4，∴∵，∴，∴；∵AH⊥BC，∴.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，根據(jù)菱形的面積公式：菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、2【分析】先連接OC，在Rt△ODC中，根據(jù)勾股定理得出OC的長，即可求得答案．【題目詳解】連接OC，如圖，

∵CD=4，OD=3，，

在Rt△ODC中，

∴，∵，∴．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】此題考查了圓的認(rèn)識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．12、【解題分析】過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)AAS可證明△AOB≌△CDB，從而證得S△AOC=S△OCD，最后再利用k的幾何意義即可得到答案.【題目詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖所示，∵在△AOB與△CDB中，，∴△AOB≌△CDB（AAS），∴S△AOB=S△CDB，∴S△AOC=S△OCD，∵S△AOC=2，∴S△OCD=2，∴，∴k=±4，又∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，k>0，∴k=4.【題目點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握判定定理及k的幾何意義是解題的關(guān)鍵.13、x=4【解題分析】根據(jù)函數(shù)值相等的點(diǎn)到拋物線對稱軸的距離相等，可由點(diǎn)A（1，-4）和點(diǎn)B（6，-4）都在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上，得到其對稱軸為x==1．故答案為x=4.14、⊙O上或⊙O內(nèi)【分析】直接利用反證法的基本步驟得出答案．【題目詳解】解：用反證法證明命題“若⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，且d＞r，則點(diǎn)P在⊙O的外部”，

首先應(yīng)假設(shè)：若⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，且d＞r，則點(diǎn)P在⊙O上或⊙O內(nèi)．

故答案為：在⊙O上或⊙O內(nèi)．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了反證法，正確掌握反證法的解題方法是解題關(guān)鍵．15、1【分析】先分解因式，根據(jù)兩方程的解相同即可得出答案．【題目詳解】解：，，∵關(guān)于x的方程和的解完全相同，∴a=1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，能正確用因式分解法解方程是解此題的關(guān)鍵．16、-1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得|k|=1，再根據(jù)函數(shù)所在的象限確定k的值．【題目詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過面積為1的矩形OABC的頂點(diǎn)B，

∴|k|=1，k=±1，

∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，

∴k=-1．

故答案為：-1．【題目點(diǎn)撥】主要考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|．17、【分析】如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AE交AE于H，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求出AB的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得△ADE是等邊三角形，可得出AE的長，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠EAF=∠BAD=45°，設(shè)AH＝HF＝x，利用∠EFH的正確可用x表示出EH的長，根據(jù)AE=EH+AH列方程可求出x的值，根據(jù)三角形面積公式即可得答案．【題目詳解】如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AE交AE于H，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于M，∵△ABC是面積為的等邊三角形，CM⊥AB，∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，∴CM==，∴×AB×＝，解得：AB＝2，（負(fù)值舍去）∵△ABC∽△ADE，△ABC是等邊三角形，∴△ADE是等邊三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，∵∠BAD=45°，∴∠EAF＝∠BAD＝45°，∵FH⊥AE，∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝x，則EH＝xtan30°＝x．∵AB=2AD，AD=AE，∴AE＝AB＝1，∴x+x＝1，解得x＝．∴S△AEF＝×1×＝．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出△ADE是等邊三角形、熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．18、【分析】由題中所給條件證明△ADF△ACG，可求出的值.【題目詳解】解：在△ADF和△ACG中，AB=6，AC=5，D是邊AB的中點(diǎn)AG是∠BAC的平分線，∴∠DAF=∠CAG∠ADE＝∠C∴△ADF△ACG∴.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中，需熟練掌握.三、解答題(共66分)19、（1）拋物線的方點(diǎn)坐標(biāo)是，；（2）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為；（3）存在，或【分析】(1)由定義得出x=y，直接代入求解即可(2)作輔助線PD平行于y軸，先求出拋物線與直線的解析式，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)坐標(biāo)求出PD的長，進(jìn)而求出面積的二次函數(shù)，再利用配方法得出最大值(3)通過拋物線與直線的解析式可求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，得出△OBC為等腰直角三角形，過點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)M，作交y軸于點(diǎn)N，得出M，N的坐標(biāo)，得出直線BN、MC的解析式然后解方程組即可.【題目詳解】解：（1）由題意得：∴解得，∴拋物線的方點(diǎn)坐標(biāo)是，.（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn).易得平移后拋物線的表達(dá)式為，直線的解析式為.設(shè)，則.∴∴∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為.(3)如圖所示，過點(diǎn)C作交x軸于點(diǎn)M，作交y軸于點(diǎn)N由已知條件得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(3,0)，C的坐標(biāo)為C(0,3)，∴△COB是等腰直角三角形，∴可得出M、N的坐標(biāo)分別為：M(-3,0)，N(0,-3)直線CM的解析式為：y=x+3直線BN的解析式為：y=x-3由此可得出：或解方程組得出：或∴或【題目點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合題目，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出拋物線與直線的解析式.20、兩個(gè)小球的號碼相同的概率為.【解題分析】【試題分析】利用樹狀圖求等可能事件的概率，樹狀圖見解析.【試題解析】畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結(jié)果，這兩個(gè)小球的號碼相同的有2情況，

∴這兩個(gè)小球的號碼相同的概率為：．21、（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定定理即可求出答案；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【題目詳解】解：（1）證明：在中，，∴.又∵在中，，∴，∴（2）∵，∴，∴，∵∴∴【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定．22、（1）詳見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4【解題分析】（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．【題目詳解】(1)證明:連接CD，如圖1所示.∵為等腰直角三角形，，D是AB的中點(diǎn)，∴在和中，∴，∴,∵，∴，∴為等腰直角三角形.∵O為EF的中點(diǎn)，，∴，且，∴四邊形EDFG是正方形;(2)解:過點(diǎn)D作于E′，如圖2所示.∵為等腰直角三角形，，∴，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，∴(點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號).∴∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出4≤S四邊形EDFG＜1．23、（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形ABED的面積為1．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和公共角即可得出結(jié)論；（2）先證明四邊形ABED是平行四邊形，再證出AD＝AB，即可得出四邊形ABED為菱形；（3）連接AE交BD于O，由菱形的性質(zhì)得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性質(zhì)得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面積公式即可得出結(jié)果．【題目詳解】（1）證明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）證明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四邊形ABED為菱形；（3）解：連接AE交BD于O，如圖所示：∵四邊形ABED為菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝