北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （利用三角函數(shù)測(cè)高）直角三角形的邊角關(guān)系教育課件

1.6

利用三角函數(shù)測(cè)高

北師大版

九年級(jí)

下冊(cè)

教學(xué)目標(biāo)1、掌握坡度、坡比的概念，并靈活運(yùn)用坡度、坡比的概念求出物體的高度；2、能夠設(shè)計(jì)活動(dòng)方案、自制測(cè)傾器和運(yùn)用測(cè)傾器進(jìn)行實(shí)地測(cè)量以及撰寫(xiě)活動(dòng)報(bào)告的過(guò)程；3、能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)重點(diǎn):利用已測(cè)量的數(shù)據(jù)綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．問(wèn)題1：在現(xiàn)實(shí)生活中需要測(cè)量像旗桿、高樓、塔等較高且頂部不可到達(dá)的物體的高度，根據(jù)我們所學(xué)的知識(shí)，同學(xué)們有哪些測(cè)量方案?問(wèn)題2：這些測(cè)量的方法都用到了什么知識(shí)？問(wèn)題3：如何利用直角三角形的邊角關(guān)系，測(cè)量底部不可以直接

到達(dá)的物體的高度呢？今天讓我們一起去探究學(xué)習(xí)如何利用三角函數(shù)測(cè)高，學(xué)完本節(jié)內(nèi)容相信大家就能輕松解決上面的問(wèn)題了．0303060609090PQ度盤鉛錘支桿問(wèn)題2：如何測(cè)量?jī)A斜角？測(cè)量?jī)A斜角可以用測(cè)傾器，

----簡(jiǎn)單的側(cè)傾器由度盤、鉛錘和支桿組成.問(wèn)題1：如何測(cè)量長(zhǎng)度？測(cè)量長(zhǎng)度可以用皮尺或卷尺，活動(dòng)一：測(cè)量?jī)A斜角30°0°60°90°90°60°30°30°0°60°90°90°60°30°水平線使用測(cè)傾器測(cè)量?jī)A斜角的步驟如下:1.把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛錘線和度盤的00刻度線重合,這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置.2.轉(zhuǎn)動(dòng)度盤,使度盤的直徑對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時(shí)鉛錘線所指的度數(shù).M活動(dòng)一：測(cè)量?jī)A斜角根據(jù)剛才測(cè)量數(shù)據(jù),你能求出目標(biāo)M的仰角或俯角嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.123430°0°60°90°90°60°30°水平線M同角的余角相等新知講解

合作學(xué)習(xí)活動(dòng)二:測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度.所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無(wú)障礙地直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距離．圖1-16α如圖1-16，要測(cè)量物體MN的高度,可按下列步驟進(jìn)行:1．在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α.圖1-16α2．量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l.3．量出測(cè)傾器的高度AC=a(即頂線PQ成水平位置時(shí)，它與地面的距離).根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.MN=ME+EN=l·tanα+aα圖1-16提煉概念

ACMNEα1.在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α；

2.量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l；3.量出測(cè)傾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a典例精講

例1、如圖，某中學(xué)在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗．經(jīng)測(cè)量，得到大門的高度是5m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測(cè)得主樓頂部的仰角是30°，而當(dāng)時(shí)測(cè)傾器離地面1.4m,求學(xué)校主樓的高度(精確到0.01m).CABED30°M解如圖，作EM垂直CD于M點(diǎn),∠DEM=30°,根據(jù)題意，可知CM=BE=1.4mBC=EM=30m,在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).∴學(xué)校主樓的高度約為18.72m.總結(jié)：與仰角(或俯角)有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的解決方法：首先弄清哪個(gè)角是仰角(或俯角)，再選擇或構(gòu)造恰當(dāng)?shù)闹苯侨切危瑢⒀鼋腔蚋┙侵糜谶@個(gè)三角形中，選擇正確的三角函數(shù)，并借助計(jì)算器求出要求的量． 活動(dòng)三:測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度．所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距離．如圖1-17，要測(cè)量物體MN的高度，可按下列步驟進(jìn)行:圖1-171．在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MCE=α.2．在測(cè)點(diǎn)A與物體之間的B處安置測(cè)傾器(A，B與N在一條直線上，且A，B之間的距離可以直接測(cè)得)，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MDE=β.圖1-17αβ(1)測(cè)傾器的使用(2)誤差的解決辦法---用平均值(3)到目前為止，你有哪些測(cè)量物體高度的方法？

ACMENACMENDB3．量出測(cè)傾器的高度AC=BD=a,以及測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離AB=b.根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.αβba(1)到目前為止，你有哪些測(cè)量物體高度的方法?議一議一、測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度，如圖ACMEN二、測(cè)量底部不可以直接到達(dá)的物體的高度，如圖ACMENDB(2）如果一個(gè)物體的高度已知或容易測(cè)量，那么如何測(cè)量某測(cè)點(diǎn)到該物體的水平距離?NMAα歸納概念

總結(jié)：從同一點(diǎn)看不同的位置，有兩個(gè)視角，不同位置之間有距離，作垂線將兩個(gè)視角都放在直角三角形中，利用不同位置之間的距離列方程來(lái)解決問(wèn)題．課堂練習(xí)

C2.如圖，為測(cè)量一棵與地面垂直的樹(shù)OA的高度，在距離樹(shù)的底端30米的B處，測(cè)得樹(shù)頂A的仰角∠ABO為α，則樹(shù)OA的高度為(

)A.

B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米C3．如圖，航模小組用無(wú)人機(jī)來(lái)測(cè)量建筑物BC的高度，無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得建筑物頂部B的仰角為45°，測(cè)得底部C的俯角為60°，若此時(shí)無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為30m，則該建筑物的高度BC為_(kāi)____m．（結(jié)果保留根號(hào)）

4．如圖，小麗的房間內(nèi)有一張長(zhǎng)200m，高50cm的床靠墻擺放，在上方安裝空調(diào)，空調(diào)下沿與EF墻垂直，出風(fēng)口F離墻20cm，空調(diào)開(kāi)啟后，擋風(fēng)板FG與EF夾角成136°，風(fēng)沿FG方向吹出，為了讓空調(diào)風(fēng)不直接吹到床上，空調(diào)安裝的高度(BC的長(zhǎng))至少為多少？(精確到個(gè)位)(參考數(shù)據(jù)：cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72)【分析】連接AF,作FH⊥AD構(gòu)造直角三角形運(yùn)用三角函數(shù)解出FH,再將床高加上即可求出EC的值．【詳解】當(dāng)A、F在一條直線時(shí),就正好不會(huì)吹到床上,連接AF,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=AH·tan46°=180×1.04=187.2∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案為237．5.如圖，某班學(xué)生利用周末到白塔山去參觀“晏陽(yáng)初博物館”．下面是兩位同學(xué)的一段對(duì)話：甲：我站在N處看塔頂，仰角為60°.乙：我站在M處看塔頂，仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m.乙：我們和塔在一條直線上，且我們相距20m.請(qǐng)你根據(jù)兩位同學(xué)的對(duì)話，計(jì)算白塔的高度．(結(jié)果精確到1m)．

由題意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20m，AM＝BN＝DP＝1.5m．在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，∴∠ACB＝60°－30°＝30°.∴∠ACB＝∠CAB.∴BC＝AB＝20m．在Rt△CBD中，BC＝20m，∠CBD＝60°，sin∠CBD＝∴CD＝BC·sin∠CBD＝20sin60°＝20×

(m)．∴CP＝CD＋DP＝10＋1.5≈19(m)．答：白塔的高度約為19m.解：

課堂總結(jié)利用三角函數(shù)測(cè)高測(cè)傾器的認(rèn)識(shí)及使用測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度（一次測(cè)量仰角）測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度（兩次測(cè)量仰角）利用解三角形的知識(shí)，求出物體的高度北師大版九年級(jí)下冊(cè)利用三角函數(shù)測(cè)高

bABCa┌c1.直角三角形的邊角關(guān)系：

（1）直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？（2）直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？

（3）直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？

a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.

回顧知識(shí)鉛直線水平線視線視線仰角俯角從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.2.仰角、俯角：回顧知識(shí)某探險(xiǎn)者某天到達(dá)如圖所示的點(diǎn)A處時(shí)，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地——海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離.

他能想出一個(gè)可行的辦法嗎？．．AB怎么解答新課講解活動(dòng)課題：利用直角三角形的邊角關(guān)系測(cè)量物體的高度．活動(dòng)方式：分組活動(dòng)、全班交流研討．活動(dòng)工具：測(cè)傾器（或經(jīng)緯儀、測(cè)角儀等）、皮尺等測(cè)量工具．新課講解測(cè)量?jī)A斜角一0303060609090PQ度盤鉛錘支桿問(wèn)題1：如何測(cè)量?jī)A斜角？測(cè)量?jī)A斜角可以用測(cè)傾器.簡(jiǎn)單的側(cè)傾器組成：度盤、鉛錘和支桿.新課講解測(cè)量?jī)A斜角一問(wèn)題2：如何使用測(cè)傾器？步驟1：把支架豎直插入地面，使支架的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置.0303060609090PQ水平線新課講解測(cè)量?jī)A斜角一問(wèn)題2：如何使用測(cè)傾器？步驟2：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，使度盤的直徑對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)M，記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù).0303060609090M30°新課講解測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度一

所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無(wú)障礙地直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距離．新課講解如圖,要測(cè)量物體MN的高度,需測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？CAENMaLα步驟如下:1.在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α.2.量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=L.3.量出測(cè)傾器的高度AC=a測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度一在RT△MCE中，ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanαMN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+a根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.新課講解測(cè)量物體MN的高度的步驟：（1）在測(cè)點(diǎn)A安置測(cè)傾器，測(cè)得M的仰角∠MCE=α；（2）量出測(cè)點(diǎn)A到物體底部N的水平距離AN=l；（3）量出測(cè)傾器的高度AC=a.（4）MN=ME+EN=l·tanα+a；測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度一ACMNEαal新課講解解：如圖，作EM垂直CD于M點(diǎn)。根據(jù)題意，可知：EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30m,CM=BE=1.4m在Rt△DEM中，DM=EM·tan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).

【例1】如圖，某中學(xué)在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗．經(jīng)測(cè)量，得到大門的高度是５m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測(cè)得主樓頂部的仰角是30°，而當(dāng)時(shí)側(cè)傾器離地面1.4m，求學(xué)校主樓的高度(精確到0.01m).M新課講解測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度一

所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被測(cè)物體的底部之間的距離．新課講解如圖,要測(cè)量物體MN的高度,需測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？步驟如下:1.在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MCE=α

.2.在測(cè)點(diǎn)A與物體之間的B處安置測(cè)傾器（A，B與N在一條直線上，且A，B之間的距離可以直接測(cè)得），測(cè)得此時(shí)M的仰角∠MDE=β.3.量出測(cè)傾器的高度AC=BD=a，以及測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離AB=b．測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度一根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.abαECADBβNM新課講解

測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度一abαECADBβNM新課講解課題在平面上測(cè)量地王大廈的高AB測(cè)量示意圖測(cè)得數(shù)據(jù)(測(cè)傾器高度為1m)測(cè)量項(xiàng)目∠α∠βCD的長(zhǎng)第一次30°16'45°35'60.11m第二次29°44'44°25’'59.89m平均值【例2】下表是小亮所填實(shí)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)求大樓的高.CEDFAGBαβ30°45°60m新課講解

新課講解利用三角函數(shù)測(cè)高測(cè)傾器的認(rèn)識(shí)及使用測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度（一次測(cè)量仰角）測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度（兩次測(cè)量仰角）利用解三角形的知識(shí)，求出物體的高度新課講解 1.如圖，在高20米的建筑物CD的頂部C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，測(cè)得塔底B的俯角為30°，則塔高AB=

米； 2.如圖，小明想測(cè)量電線桿AB的高度，發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，測(cè)得BC=10米，CD=4米，CD與地面成30°角，且此時(shí)測(cè)得1米桿的影長(zhǎng)為2米，則電線桿的高度為

米.80

課堂練習(xí)

D課堂練習(xí) 4.如圖所示，在離上海東方明珠塔1000m的A處，用儀器測(cè)得塔頂?shù)难鼋恰螧AC為25°(在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫作仰角，在水平線下方的叫作俯角)，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高BD.（結(jié)果精確到1m.）

課堂練習(xí)

5.如圖，小明想測(cè)量塔AB的高度.他在D處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至C處.