證明三角形重心判定定義

證明三角形重心判定定義1、重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對邊中點(diǎn)的距離的2倍。2、重心和三角形3個頂點(diǎn)組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。3、重心到三角形3個頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3.推論：由性質(zhì)1可知GA+GB+GC=0向量BO與向量BF共線，故可設(shè)BO=xBF,根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AB+BO=a+xBF=a+x(AF-AB)=a+x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.向量CO與向量CD共線，故可設(shè)CO=yCD,根據(jù)三角形加法法則：向量AO=AC+CO=b+yCD=b+y(AD-AC)=b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.則1-x=y/2，x/2=1-y，解得x=2/3,y=2/3.證明三角形重心判定定理中線定理，又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關(guān)系。三角形一條中線兩側(cè)所對邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。在△ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?以BC的中點(diǎn)I為原點(diǎn)，直線BC為x軸，射線IC方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(-a，0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)。過A點(diǎn)做AD⊥x軸交x軸于點(diǎn)D，AE⊥y軸交y軸于點(diǎn)E，則D(m，0)，E(0，n)。由勾股定理可得AO?=m?+n?,中線定理的證明中線定理的證明AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)又∵AO?=m?+n?,∴AB?+AC?=2a?+2AO?又∵B(-a，0)，C(a，0),∴a=BC∴a?=BC?∴2a?=2·BC?=BC?∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。證明三角形重心判定性質(zhì)1、三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個三角形面積相等。2、三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心。證明：過E作EH∥BF交AC于H?！逜