2024屆高考數(shù)學(xué)立體幾何專項(xiàng)練-（1）空間幾何體的結(jié)構(gòu)含答案

2024屆高考數(shù)學(xué)立體幾何專項(xiàng)練——（1）空間幾何體的結(jié)構(gòu)1.下列說法正確的是()A.圓錐的底面是圓面，側(cè)面是曲面B.用一張扇形的紙片可以卷成一個圓錐C.一個物體上、下兩個面是相等的圓面，那么它一定是一個圓柱D.圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交也可能不相交2.下列幾何體是棱臺的是()A. B.C. D.3.如圖，已知圓柱的底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從點(diǎn)A出發(fā)，從側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則小蟲爬行路線的最短長度是().A.2 B. C.3 D.4.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以2倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.若胡夫金字塔的高為h，則該金字塔的側(cè)棱長為()A. B. C. D.5.如圖，在正四棱臺中，棱，的夾角為，，則棱，的夾角為()A. B. C. D.6.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A. B. C. D.7.若圓臺的上、下底面面積分別為4，16，則圓臺的中截面的面積為().A.10 B.8 C.9 D.8.一個圓錐的軸載面是邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中有一個內(nèi)接圓柱(下底面在圓錐底面上，上底面的圓周在圓錐側(cè)面上)，則當(dāng)該圓柱的側(cè)面積取得最大值時，該圓柱的高為().A.1 B.2 C.3 D.9.如圖，某圓柱的一個軸截面是邊長為2的正方形ABCD，點(diǎn)E在下底面圓周上，且，點(diǎn)F在母線AB上，點(diǎn)G是線段AC的靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則的最小值為()A. B.3 C.4 D.10.（多選）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱為攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值近似為，側(cè)棱長近似為米，則下列結(jié)論正確的是().A.正四棱錐的底面邊長近似為3米B.正四棱錐的高近似為米C.正四棱錐的側(cè)面積近似為平方米D.正四棱錐的體積近似為立方米11.（多選）下列關(guān)于圓柱的說法中正確的是().A.圓柱的所有母線長都相等B.用平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是與底面全等的圓面C.用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個圓面D.一個矩形以其對邊中點(diǎn)的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體是圓柱12.（多選）已知正方體的棱長為2，M是的中點(diǎn)，過點(diǎn)B的平面α滿足平面α，則()A.平面α截正方體所得截面的形狀是平行四邊形B.平面α截正方體所得截面的面積等于C.點(diǎn)C到平面α的距離為D.若P是線段上的動點(diǎn)，則直線AP與平面α所成角的正弦值的取值范圍是13.關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法的序號為___________.①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.14.下列說法正確的是_________.(填序號)①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；②以等腰三角形的底邊上的高線所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；③半圓面繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球；④用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.15.如圖，P是所在平面外一點(diǎn)，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于點(diǎn)A'，B'，C'.若，則________________.16.已知球O為正四面體ABCD的內(nèi)切球，E為棱BD的中點(diǎn)，，則平面ACE截球O所得截面圓的面積為____________.17.已知圓錐的軸截面PAB是邊長為a的正三角形，AB為圓錐的底面直徑，球O與圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為，球O的體積為，則___________；若M，N是圓錐底面圓上的兩點(diǎn)，且，則平面PMN截球O所得截面的面積為_________________.

答案以及解析1.答案：A解析：A是圓錐的性質(zhì)，故正確；對于B，動手操作一下，發(fā)現(xiàn)一張扇形的紙片只能卷成一個無底面的圓錐，故B錯誤；對于C，根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知，若兩個相等的圓面不平行，那么這個物體不是圓柱，故C錯誤；對于D，圓臺是由圓錐截得的，故其任意兩條母線延長后一定交于一點(diǎn)，故D錯誤.2.答案：D解析：A,C都不是由棱錐截成的,不符合棱臺的定義,故選項(xiàng)A,C不滿足題意；B中的截面不平行于底面,不符合棱臺的定義,故選項(xiàng)B不滿足題意；D符合棱臺的定義,故選D.3.答案：B解析：展開圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，由圖可知，小蟲爬行路線的最短長度.4.答案：D解析：如圖，設(shè)該金字塔的底面邊長為a，則，得，該金字塔的側(cè)棱長.故選D.5.答案：D解析：如圖，分別延長，，，交于點(diǎn)P，連接AC.在正四棱臺中，棱，的夾角為，，所以是邊長為2的等邊三角形，所以.又，所以，所以，所以棱，的夾角為，故選D.6.答案：C解析：設(shè)正四棱錐的底面邊長為a，高為h，側(cè)面三角形底邊上的高為，則以h為邊長的正方形的面積為，該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積為.故，且.故，化簡整理得，解得或（舍），所以該四棱錐側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為.故選C.7.答案：C解析：設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為、，圓臺中截面的半徑為，則，，解得，，所以，所以.8.答案：D解析：由題意可得，，故圓錐的高，，設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，故，所以.所以圓柱側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，S取得最大值，最大值為.故選D.9.答案：A解析：如圖，將繞AB旋轉(zhuǎn)到的位置，并且點(diǎn)P在CB的延長線上，連接PG，交AB于點(diǎn)F，此時最小.由已知可知軸截面ABCD是邊長為2的正方形，所以.在中，由余弦定理得，.故選A.10.答案：BD解析：如圖，在正四棱錐中，O為正方形ABCD的中心，則平面ABCD，則為側(cè)棱與底面所成的角，且.設(shè)底面邊長為2a，則，.在中，，所以米，則正四棱雉的底面邊長為6米，高為米，的高為(米)，所以側(cè)面積(平方米)，體積(立方米)，故選BD.11.答案：ABD解析：對于A，圓柱的所有母線長都等于圓柱的高，且都相等，所以A正確；對于B，用平行于圓柱底面的平面截圓柱，由圓柱的性質(zhì)可知，截面是與底面全等的圓面，所以B正確；對于C，用一個不平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是橢圓面或橢圓面的一部分，所以C錯誤；對于D，一個矩形以其對邊中點(diǎn)的連線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)180°所形成的幾何體是圓柱，所以D正確.故選ABD.12.答案：BCD解析：如圖(1)，連接AC，BD，易得平面MAC，所以取的中點(diǎn)的中點(diǎn)E，連接EF，DE，BF，易知，故B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.取的中點(diǎn)N，連接CN，因?yàn)闉檎襟w，所以易得CM在平面內(nèi)的射影為CN，而，所以又，所以平面BDEF，因此平面α截正方體所得截面就是四邊形BDEF，易知其是等腰梯形，故A錯誤.

因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以，所以梯形BDEF的高為面積為故B正確.

連接記AC與BD的交點(diǎn)為與EF交于點(diǎn)H，在矩形中，連接OH，與MC交于點(diǎn)G，則CG即點(diǎn)C到平面α的距離.在中，則由得故C正確.

由于平面α，所以直線AP與平面α所成角的正弦值等于直線AP與CM所成角的余弦值，由圖（2）可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，直線AP與CM所成的角最小，其余弦值為；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時，AP與CM所成的角最大，記與CM交于點(diǎn)Q，由于可得所以由余弦定理可得故直線AP與CM所成角的余弦值的取值范圍為故直線AP與平面α所成角的正弦值的取值范圍為故D正確.

13.答案：①③④⑤解析：①正確，因?yàn)橛辛鶄€面，屬于六面體的范圍；②錯誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，所以不正確；③正確，如果把幾何體放倒，會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱；④⑤都正確，如圖所示.14.答案：②③④解析：①以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；②③④正確.15.答案：解析：平面平面ABC，，，，.由等角定理得，，，.又，，，.16.答案：解析：因?yàn)榍騉為正四面體ABCD的內(nèi)切球，，所以正四面體的體積為.設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑長為r，則，故內(nèi)切球半徑.因?yàn)槠矫鍭CE截球O所得截面經(jīng)過球心，所以平面截球O所得截面圓半徑與球的半徑相等，故截面圓面積.17.答案：；解析：如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，連接PD，由題意知PD為圓錐的高，且，易知球O的半徑，所以，，所以；設(shè)MN的中點(diǎn)為C，連接PC，DM，則，易知，，所以，所以.過O點(diǎn)作，垂足為E，易知，則，又，則.設(shè)平面PMN截球O所得截面圓的半徑為r，則，所以截面的面積為.2024屆高考數(shù)學(xué)立體幾何專項(xiàng)練——（2）空間幾何體的表面積和體積1.在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，，則該棱錐的體積為()A.1 B. C.2 D.32.如圖，已知直四棱柱的底面ABCD為直角梯形，，，且，，P，O，E分別為，AD，PC的中點(diǎn)，為正三角形，則三棱錐的體積為()A.4 B.3 C.2 D.13.在底面為正三角形的三棱柱中，，，該三棱柱的體積的最大值為()A.3 B. C.6 D.4.如果一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個側(cè)面的面積分別為2，4，4，那么該三棱錐外接球的表面積是()A. B. C. D.5.已知四棱錐的體積是，底面ABCD是正方形，是等邊三角形，平面平面ABCD，則四棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.6.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則()A. B. C. D.7.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且該圓錐內(nèi)切球的表面積為，則該圓錐的體積為()A. B. C. D.8.已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為，則O到平面ABC的距離為()A. B. C.1 D.9.已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的體積為36π，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A. B. C. D.10.（多選）已知一個圓柱和一個圓雉的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是().A.圓柱的側(cè)面積為 B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等 D.圓錐的表面積最小11.（多選）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱為攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值近似為，側(cè)棱長近似為米，則下列結(jié)論正確的是().A.正四棱錐的底面邊長近似為3米 B.正四棱錐的高近似為米C.正四棱錐的側(cè)面積近似為平方米 D.正四棱錐的體積近似為立方米12.（多選）已知甲烷的化學(xué)式為，其結(jié)構(gòu)式可看成一個正四面體，其中四個氫原子位于正四面體的四個頂點(diǎn)處，而碳原子恰好在這個正四面體的中心，碳原子與每個氫原子之間均有化學(xué)鍵相連，若我們把每個原子看成一個質(zhì)點(diǎn)，兩個氫原子之間的距離為1，則()A.碳原子與氫原子之間的距離為B.正四面體外接球的體積為C.正四面體的體積為D.任意兩個碳?xì)浠瘜W(xué)鍵的夾角的余弦值為13.若三棱錐中PA，PB，PC兩兩互相垂直，，，則其體積的最大值為___________.14.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為___________.15.如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的表面積為_______________.16.如圖，球O的半徑為R，有一圓柱內(nèi)接于球O，且，分別為該圓柱上、下底面的圓心.已知當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，它的體積，則球O的表面積為___________.17.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為________.

答案以及解析1.答案：A解析：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，，所以，，所以，又，所以，所以，又，，平面ABC，所以平面ABC，所以，故選A.2.答案：C解析：因?yàn)镻，O分別為，AD的中點(diǎn)，所以由直棱柱的性質(zhì)知平面ABCD，又為正三角形，，所以，連接CO，在直角梯形ABCD中，易知，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以，故選C.3.答案：D解析：設(shè)三棱柱的高為h，當(dāng)三棱柱為直三棱柱時，其體積最大，則h的最大值為3，所以該三棱柱的體積的最大值.故選D.4.答案：C解析：由題意可知三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a，b，c，則，解得，，，，設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R，則，所以.故選C.5.答案：A解析：由已知可得，則，設(shè)球心為O，O到平面ABCD的距離為x，球O的半徑為R，則由，得，解得，所以，.故選A.6.答案：C解析：解法一：因?yàn)榧?、乙兩個圓錐的母線長相等，所以結(jié)合可知，甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2:1.不妨設(shè)兩個圓錐的母線長為，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，則由題意知，兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個周長為6π的圓，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故選C.解法二：設(shè)兩圓錐的母線長為l，甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為，，高分別為，，側(cè)面展開圖的圓心角分別為，，則由，得.由題意知，所以，，所以，，得，.由勾股定理得，，，所以.故選C.7.答案：C解析：設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r，則，所以.又圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，則圓錐的體積.故選C.8.答案：C解析：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，因?yàn)槠涿娣e為，所以，解得.故的外接圓半徑.設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉的表面積為，所以，得.所以O(shè)到平面ABC的距離.故選C.9.答案：C解析：通解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，所以正四棱錐的體積，所以，令，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以該正四棱錐的體積的取值范圍是.故選C.光速解：如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，又，所以該正四棱錐的體積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以正四棱錐的體積的最大值為，排除A,B,D，故選C.優(yōu)美解：如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為，依題意，得，解得，所以正四棱錐的底邊長，高.在中，作，垂足為E，則可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四校維的體積，設(shè)，易得，則，則，令，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，所以.所以該正四棱維的體積的取值范圍是，故選C.10.答案：CD解析：對于A，圓柱的底面直徑和高都與一個球的直徑2R相等，圓柱的側(cè)面積，故A錯誤；對于B，圓錐的底面直徑和高都與一個球的直徑2R相等，圓雉的側(cè)面積，故B錯誤；對于C，由A知圓柱的側(cè)面積為，球的表面積，圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；對于D，圓柱的表面積，圓錐的表面積，球的表面積，圓錐的表面積最小，故D正確.故選CD.11.答案：BD解析：如圖，在正四棱錐中，O為正方形ABCD的中心，則平面ABCD，則為側(cè)棱與底面所成的角，且.設(shè)底面邊長為2a，則，.在中，，所以米，則正四棱雉的底面邊長為6米，高為米，的高為(米)，所以側(cè)面積(平方米)，體積(立方米)，故選BD.12.答案：ACD解析：如圖所示，正四面體ABCD中，點(diǎn)