北師大版八年級數(shù)學上冊 （一次函數(shù)與正比例函數(shù)）一次函數(shù) 課件

第四章

一次函數(shù)一次函數(shù)與正比例函數(shù)

1課堂講解一次函數(shù)正比例函數(shù)一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系確定實際問題中一次函數(shù)關(guān)系式2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升回顧與思考什么叫函數(shù)?在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應(yīng)地就確定一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.函數(shù)有圖象、表格、關(guān)系式三種表達方式.1知識點一次函數(shù)知1－導(dǎo)某彈簧的自然長度為3

cm.在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增加1

kg,彈賛長度y增加0.5

cm.(1)計算所掛物體的質(zhì)量分別為1kg，2

kg，3kg，4kg，5kg時彈簧的長度，并填入下表：(2)你能寫出y與x之間的關(guān)系式嗎？x/kg012345y/cm33.544.555.5y=3+0.5x.做一做某輛汽車油箱中原有汽油60L，汽車每行駛50km耗油6L.（1）完成下表：(2)你能寫出耗油量y（L)與汽車行駛路程x(km)之間的關(guān)系式嗎？(3)你能寫出油箱剩余油量z

(L)與汽車行駛路程x(km)之間的關(guān)系式嗎？知1－導(dǎo)汽車行駛路程x/km050100150200300耗油量y/L61218243036一次函數(shù)：若兩個變量x，y間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成

y=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù).知1－講

例1〈原創(chuàng)易錯題〉已知函數(shù)y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2

－(m＋n－8)．(1)當m，n為何值時，函數(shù)是一次函數(shù)？(2)如果函數(shù)是一次函數(shù)，計算當x＝1時的函數(shù)值．導(dǎo)引：(1)由一次函數(shù)的定義，結(jié)合原函數(shù)式的特征知：

①二次項的系數(shù)必為0，即n2－4＝0；

②(2n－4)xm－2必為一次項，即m－2＝1，

2n－4≠0；

(2)寫出關(guān)系式，運用代入法求函數(shù)值．知1－講解：(1)由題意，得：n2－4＝0，2n－4≠0，m－2＝1，

即n＝±2，n≠2，m＝3.所以m＝3，n＝－2.因此，當m＝3，n＝－2時，函數(shù)是一次函數(shù)．(2)由(1)得此一次函數(shù)關(guān)系式為y＝－8x＋7.當x＝1時，y＝－8×1＋7＝－1.知1－講（來自《點撥》）總

結(jié)知1－講（來自《點撥》）根據(jù)一次函數(shù)定義求待定字母的值時，要注意：(1)函數(shù)關(guān)系式是自變量的一次式，若含有一次以上

的項，則其系數(shù)必為0；(2)注意隱含條件：一次項的系數(shù)不為0.1下列函數(shù)①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函數(shù)的個數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y關(guān)于x的一次函數(shù)，則m的值是(

)A．－3B．3C．±3D．±2知1－練（來自《典中點》）2BA2知識點正比例函數(shù)知2－講定義：一般地，形如y＝kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù)．也就是一次函數(shù)中當b=0時，稱y＝kx是x的正比例函數(shù).即正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).知識點知2－講

例2

已知函數(shù)y＝(k－2)x|k|－1(k為常數(shù))是正比例函數(shù)，則k＝________．導(dǎo)引：根據(jù)正比例函數(shù)的定義，此函數(shù)關(guān)系式應(yīng)滿足：(1)自變量x的指數(shù)為1，即|k|－1＝1，所以k＝±2；(2)比例系數(shù)k－2≠0，即k≠2.綜上，k＝－2.－2（來自《點撥》）總

結(jié)知2－講（來自《點撥》）由正比例函數(shù)的定義知正比例函數(shù)的自變量的指為1；應(yīng)用定義求值時，不要忽視比例系數(shù)不為0這一條件．

1(中考·上海)下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是正比例函數(shù)的為(

)A．y＝x2

B．y＝C．y＝D．y＝已知函數(shù)y＝2x2a＋b＋2b是正比例函數(shù)，則a＝________，b＝________.知2－練（來自《典中點》）2C0知3－講3知識點一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系1.一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．當b＝0時，y＝kx＋b即為y

＝kx，所以說正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．2.正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)．

知3－講知識點例3寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？

(1)汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛路程y(km)與行駛時間x(h)之間的關(guān)系；

(2)圓的面積y（cm2)與它的半徑x(cm)之間的關(guān)

系；

(3)某水池有水15m3,現(xiàn)打開進水管進水，進水

速度為5m3/h,xh后這個水池內(nèi)有水ym3.（來自教材）知3－講知識點解：(1)由路程=速度×時間，得y=60x，y是x的一次函數(shù)，也是x

的正比例函數(shù)；

(2)由圓的面積公式，得y=πx2,y不是x的正比例函數(shù)，也不是x的一次函數(shù)；(3)這個水池每時增加5

m3水，xh增加5xm3水，因

而y=15+5x,y是x的一次函數(shù)，但不是x的正比

例函數(shù).（來自教材）知3－講知識點例4已知函數(shù)y＝(m－1)x＋1－3m.(1)當m為何值時，y是x的一次函數(shù)？(2)當m為何值時，y是x的正比例函數(shù)？解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義可得：m－1≠0，所以

m≠1，即當m≠1時，y是x的一次函數(shù)．

(2)根據(jù)正比例函數(shù)的定義可得：m－1≠0且

1－3m＝0，所以m＝，即當m＝時，

y是x的正比例函數(shù)．（來自《點撥》）下列說法中正確的是(

)A．一次函數(shù)是正比例函數(shù)B．正比例函數(shù)不是一次函數(shù)C．不是正比例函數(shù)就不是一次函數(shù)D．不是一次函數(shù)就不是正比例函數(shù)若函數(shù)y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函數(shù)，則滿足________；若該函數(shù)是正比例函數(shù)，則滿足________________；若m＝1，n＝－2，則函數(shù)關(guān)系式是______________．知3－練（來自《典中點》）12Dm≠－2m≠－2且n＝4y＝9x－64知識點確定實際問題中一次函數(shù)關(guān)系式知4－講例5我國自2011年9月1日起，個人工資、薪金所得稅征收辦法規(guī)定：月收入不超過3

500元的部分不收稅；月收入超過3500元但不超過5000元的部分征收3%的所得稅……如某人月收入3860元，他應(yīng)繳納個人工資、薪金所得稅為（3860-3

500)×3%

=10.8(元）.(1)當月收入超過3500元而又不超過5000元時，寫出應(yīng)繳納個人工資、薪金所得稅y(元）與月收入x(元）之間的關(guān)系式；(2)某人月收入為4160元，他應(yīng)繳納個人工資、薪金所得稅多少元？知識點知4－講(3)如果某人本月繳納個人工資、薪金所得稅19.2元，那

么此人本月工資、薪金收入是多少元？解：（1）當月收入超過3500元而不超過5000元時，y=(x

-3500)×3%,即y=0.03x-105;（2）當x=4160時，y=0.03×4160-105=19.8(元)；（3）因為（5000-3500)×3%=45(元），19.2<45,

所以此人本月工資、薪金收入不超過5000元.

設(shè)此人本月工資、薪金收入是x元，

則19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工資、薪金收入是4140元.（來自教材）例6

某移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使

用者先繳50元月租費，然后每通話1min，再付話費0.4元；“神州行”使用者不繳月租費，每通話1min，

付話費0.6元(均指市內(nèi)通話)．若一個月內(nèi)通話時間為xmin，兩種通訊業(yè)務(wù)的費用分別為y1元與y2元．(1)分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)一個月內(nèi)通話時間為多少分鐘時，兩種通訊業(yè)務(wù)的費

用相同？(3)若某人一個月的話費為200元，則選擇哪種通訊業(yè)務(wù)比

較合算？

知4－講

導(dǎo)引：這是一道實際生活中的應(yīng)用題，解題時務(wù)必對這兩種不同的

通訊業(yè)務(wù)仔細分析、比較，方可得出正確結(jié)論．解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)；y2＝0.6x(x≥0)．(2)令y1＝y(tǒng)2，則50＋0.4x＝0.6x，解得x＝250.所以一個月內(nèi)通

話時間為250min時，兩種通訊業(yè)務(wù)的費用相同．(3)當y1＝200時，有200＝50＋0.4x，解得x＝375.當y2＝200時，有200＝0.6x，解得x＝333.因為375＞333，

所以若某人一個月的話費為200元，則選擇“全球通”通訊

業(yè)務(wù)比較合算．（來自《點撥》）知4－講總

結(jié)知4－講（來自《點撥》）確定實際問題中的一次函數(shù)關(guān)系式時，要注意自變量的取值范圍

.(中考·廣安)某油箱容量為60L的汽車，加滿汽油后行駛了100km時，油箱中的汽油大約消耗了，如果加滿汽油后汽車行駛的路程為xkm，油箱中剩油量為yL，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量取值范圍分別是(

)A．y＝0.12x，x>0B．y＝60－0.12x，x>0C．y＝0.12x，0≤x≤500D．y＝60－0.12x，0≤x≤500知4－練（來自《典中點》）1D已知等腰三角形的周長為20cm，底邊長為ycm，腰長為xcm，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為(

)A．y＝20－2x(0<x<10)B．y＝10－x(0<x<10)C．y＝20－2x(5<x<10)D．y＝10－x(5<x<10)知4－練（來自《典中點》）2C一次函數(shù)和正比例函數(shù)：一般地，形如y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)．特別地，當b＝0時，y＝kx(k為常數(shù)，k≠0)，y叫做x的正比例函數(shù)．說明：(1)正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，一次函數(shù)包括正比例

函數(shù)；(2)判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，必須將其化成最簡形

式．1.必做:完成教材P82，習題T1-T52.補充:請完成《典中點》剩余部分習題北師大版數(shù)學八年級上冊第四章

一次函數(shù)4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)

1.掌握一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念.（重點）2.能根據(jù)條件求出一次函數(shù)的關(guān)系式．（難點）學習目標如果設(shè)蛤蟆的數(shù)量為x，y分別表示蛤蟆嘴的數(shù)量，眼睛的數(shù)量，腿的數(shù)量，撲通聲，你能列出相應(yīng)的函數(shù)解析式嗎？y=xy=2xy=4xy=kx導(dǎo)入新課情境引入在現(xiàn)實生活當中有許多問題都可以歸結(jié)為函數(shù)問題,大家能不能舉一些例子?講授新課一次函數(shù)與正比例函數(shù)知識點1

(2)你能寫出y與x之間的關(guān)系嗎？y=3+0.5x

情景一：某彈簧的自然長度為3cm，在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量x每增加1千克，彈簧長度y增加0.5cm.(1)計算所掛物體的質(zhì)量分別為1kg,

2kg,

3kg,

4kg，5kg時的長度，并填入下表：x/kg012345y/cm33.544.555.5情景二：某輛汽車油箱中原有油60L,汽車每行駛50km耗油6L.(1)完成下表：汽車行使路程x/km050100150200300油箱剩余油量y/L605448423630(2)你能寫出y與x的關(guān)系嗎?y=60－0.12x上面的兩個函數(shù)關(guān)系式:(1)y=3+0.5x(2)y=60－0.12x

若兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=kx+b(k,b為常數(shù)，k不等于0）的形式，則稱

y是x的一次函數(shù).（x為自變量，y為因變量.）當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù).大家討論一下,這兩個函數(shù)關(guān)系式有什么關(guān)系?下列關(guān)系式中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？(1)y＝－x－4;(2)y＝5x2－6；(3)y＝2πx;(6)y＝8x2＋x(1－8x)解：(1)是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)；(2)不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；(3)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；(4)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；(5)不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；(6)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)．練一練方法總結(jié)1.判斷一個函數(shù)是一次函數(shù)的條件：自變量是一次整式，一次項系數(shù)不為零；2.判斷一個函數(shù)是正比例函數(shù)的條件：自變量是一次整式，一次項系數(shù)不為零，常數(shù)項為零．典例精析例1：寫出下列各題中y與x之間的關(guān)系式，并判斷：y是否為x的一次函數(shù)？是否為正比例函數(shù)？（1）汽車以60km/h的速度勻速行駛,行駛路程為y(km)與行駛時間x(h)之間的關(guān)系;解：由路程=速度×時間，得y=60x,y是x的一次函數(shù),也是x的正比例函數(shù).解：由圓的面積公式，得y=πx2,

y不是x的正比例函數(shù)，也不是x的一次函數(shù).（2）圓的面積y(cm2)與它的半徑x(cm)之間的關(guān)系.解：這個水池每時增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,

y是x的一次函數(shù)，但不是x的正比例函數(shù).（3）某水池有水15m3，現(xiàn)打開進水管進水，進水速度為5m3/h，x

h后這個水池有水y

m3.例2：已知函數(shù)y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.(1)若它是一次函數(shù)，求m的值；(2)若它是正比例函數(shù)，求m的值．解：(1)因為y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數(shù)，所以m2－24＝1且m－5≠0，所以m＝±5且m≠5，所以m＝－5.所以，當m＝－5時，函數(shù)y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數(shù)．(2)若它是正比例函數(shù)，求m的值．解：(2)因為y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函數(shù)，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1，則這樣的m不存在，所以函數(shù)y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能為正比例函數(shù)．【方法總結(jié)】函數(shù)是一次函數(shù)，則k≠0，且自變量的次數(shù)為1.當b＝0時，一次函數(shù)為正比例函數(shù)．變式訓(xùn)練(1)若是正比例函數(shù)，則m=

；(2)若是正比例函數(shù)，則m=

；-2-1

m-2≠0，

|m|-1=1，∴m=-2.

m-1≠0，

m2-1=0，∴m=-1.

如圖，△ABC是邊長為x的等邊三角形.（1）求BC邊上的高h與x之間的函數(shù)解析式.h是x的一次函數(shù)嗎？如果是，請指出相應(yīng)的k與b的值.解:

(1)∵BC邊上的高AD也是BC邊上的中線，∴BD=.在Rt△ABD中，由勾股定理，得即∴h是x的一次函數(shù)，且能力提升

（2）當h=時，求x的值.

（3）求△ABC的面積S與x的函數(shù)解析式.S是x的一次函數(shù)嗎？解:

（2）當h=時，有.

解得x=2.

（3）∵

即∴S不是x的一次函數(shù).1.判斷:(1)y=2.2x，y是x的一次函數(shù)，也是x的正比例函數(shù).（）(2)y=80x+100，