2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第二冊 　 第一章　3-2　第1課時　等比數(shù)列前n項和的推導(dǎo)及初步應(yīng)用 課件（27張）

激趣誘思2020年5月5日18時,長征5號B運載火箭在海南文昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射新一代載人飛船試驗艙.王明在手機上寫下這條消息后將此消息傳給兩個人,這兩個人又在10分鐘后將此消息分別傳給未知此消息的另外兩個人,如此進行下去,40分鐘后,這條消息可傳遍多少人(如圖所示)?知識梳理一、等比數(shù)列的前n項和公式對首項為a1,公比為q(q≠0)的等比數(shù)列{an},它的前n項和Sn=微判斷

(3)等比數(shù)列前n項和不可能為0.(

)√××微練習(xí)(1)在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,若a1=3,q=4,則S5=

.

(2)在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,若a1=,a6=16,則S6=

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二、錯位相減法1.推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和的方法叫錯位相減法該方法使用時注意兩和式中項的

對應(yīng)以公比的冪次一致為標(biāo)準(zhǔn)2.該方法一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項積的前n項和,即若{bn}是公差d≠0的等差數(shù)列,{cn}是公比q≠1的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn·cn}的前n項和Sn時,也可以用這種方法.微思考如果Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,其中{an}是公差為d的等差數(shù)列,q≠1.兩邊同乘以q,再兩式相減會怎樣?提示

Sn=a1+a2q+a3q2+…+anqn-1,①qSn=a1q+a2q2+…+an-1qn-1+anqn,②①-②得,(1-q)Sn=a1+(a2-a1)q+(a3-a2)q2+…+(an-an-1)qn-1-anqn=a1+d(q+q2+…+qn-1)-anqn.同樣能轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.微練習(xí)下列數(shù)列中,可以用錯位相減法求和的是(

)答案

C解析

C項中的數(shù)列是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積構(gòu)成的,故可用錯位相減法求和.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一等比數(shù)列前n項和公式的直接運用例1求下列等比數(shù)列前8項的和:反思感悟求等比數(shù)列前n項和,要確定首項、公比或首項、末項、公比,應(yīng)特別注意q=1是否成立.變式訓(xùn)練1(1)求數(shù)列{(-1)n+2}的前100項的和;探究二等比數(shù)列基本量的計算例2已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=

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答案

63解析

∵a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,且{an}是遞增數(shù)列,變式訓(xùn)練2在等比數(shù)列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和公比q.解

由題意,若q=1,則S3=3a1=6,符合題意.此時,q=1,a3=a1=2.若q≠1,則由等比數(shù)列的前n項和公式,解得q=-2(q=1舍去).此時,a3=a1q2=2×(-2)2=8.綜上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8.探究三利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和反思感悟錯位相減法求和的解題策略1.如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成,此時可把式子Sn=a1+a2+…+an兩邊同乘公比q,得到qSn=a1q+a2q+…+anq,兩式錯位相減整理即可求出Sn.2.錯位相減法求和是一種非常重要的求和方法,這種方法的計算過程較為復(fù)雜,對計算能力要求較高,應(yīng)加強訓(xùn)練.要注意通過訓(xùn)練,掌握在錯位相減過程中的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié),避免出錯.變式訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}是首項、公比都為5的等比數(shù)列,bn=anlog25an(n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.素養(yǎng)形成思想方法——分類討論法求等比數(shù)列的前n項和典例求數(shù)列1,2a,4a2,8a3,…的前n項和Sn.解

(1)當(dāng)a=0時,易得數(shù)列的前n項和Sn=1.(2)當(dāng)a≠0時,數(shù)列是公比為2a的等比數(shù)列.反思感悟等比數(shù)列與等差數(shù)列相比,具有更多的特殊性,例如,等比數(shù)列中的任何一項均不能為零,等比數(shù)列的求和公式中,要分q=1和q≠1兩種情況分別求解,因此當(dāng)?shù)缺葦?shù)列中的項含有字母時,要注意分類討論.當(dāng)堂檢測答案

C2.等比數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),若a1=81,a5=16,則它的前5項的和是(

)A.179 B.211 C.243 D.275答案

B3.某廠去年產(chǎn)值為a,計劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%,從今年起5年內(nèi),該廠的總產(chǎn)值為

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答案

11a(1.15-1)解析

去年產(chǎn)值為a,今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)