2021-2022學(xué)年度高一數(shù)學(xué)期中考試卷

2021-2022學(xué)年度高一數(shù)學(xué)期中考試卷

高一數(shù)學(xué)期中考試基礎(chǔ)卷

一、單選題

1.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)"曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九

而一，所得開立方除之，即立圓徑.其意思是相當(dāng)于給出了一個已知球的體積V,

求這個

□

球的直徑d的近似公式，即d*若取3w?,利用我們已經(jīng)學(xué)過的球的體積公式，試

判斷下列所算球的直徑近似公式中，最精確的一個是（）

VHV9師回

A.da

B.da

C.d?

D.d之2.在ABC中,OABAC-<,則ABC一定是（）

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等邊三角形3.ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知3a=,

2b=,

cosQAC+=,則c=

正正式"

AB.5CD4.已知三棱錐ABCD-的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，且AB_L平面

BCD,

AB=4ACAD==,CD=,則球0的表面積為（）

戊3

A.207T

B.18ir

C.36ir

D.24n5.如圖，平行六面體1111ABCDABCD?中，11ABADAA===,

1160AABAADBADz=z=z=°,則1BD等于()

A.1B

CD6.已知(2,l),(,4)abx=-=,且ab_L,貝川ab+=()

/

A.1

B.3

C

D.57.若圓錐的內(nèi)切球(球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切)的半徑為1,當(dāng)

該圓錐體積取最小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為()

A.2：1

B.4：1

C.8：1

D.8：38.如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是AB上的點(diǎn)且滿足3AMMB=,N是AC上

的點(diǎn)且滿足ANNC=,CM與BN交于P點(diǎn)，設(shè),ABaACb==,貝UAP=()

A.1124

ab+B.3155ab+C.1142ab+D.33105

ab+9.若復(fù)數(shù)z滿足()liliz+=+,則z的虛部為()

A

.B.C.D.2-10.1,0人080人==與OB的夾角為120,OC與0A的夾角為

30,若

(O.O)OCOA0B入Mu=+>>,則An

=()

ABC.1

2D.2

g#

11.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2,動點(diǎn)M從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿正六邊形的

邊逆時針運(yùn)動到頂點(diǎn)F,若FDAM?的最大值和最小值分別是m,n,則mn+=

()

A.9

B.10

C.11

D.1212.已知在OAB中，2OAOB==,

O

AB=P位于線段AB上，當(dāng)?PAPO取得最小值時?，向量PA與PO的夾角的余弦值為

()

A.

B

C.D

二、填空題

13.表面積為4n的球的體積為.

14.為了測量河對岸兩點(diǎn),CD間的距離，現(xiàn)在沿岸相距2km的兩點(diǎn),AB處分別測

得105,60,45,60BADBACABDABC4=°Z=°z=°z=°,假設(shè),,,ABCD四點(diǎn)在同一

平面內(nèi)，則,CD間的距離為—0km.

15.在ABC中，D、E、F分別是邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，AD、BE、CF交于點(diǎn)

G,

則：△1122EFCABC=-；△1122

BEABBC=-+；△ADBEFC+=；△OGAGBGC++=.上述結(jié)論中，正確的序號是

16.若兩個非零向量a,b滿足abab+==,則向量b與ab-的夾角是.

三、解答題

17.如圖，已知正方形ABCD的邊長等于單位長度1,ABa=,BCb=,ACc=,試

著寫出向量.

(1)abc++；(2)abc-+,并求出它的模.

18.如圖，已知ABC△中，D為BC的中點(diǎn)，12

AEEC=,ADBE,交于點(diǎn)F,設(shè)ACa=,ADb=.

(1)用,ab分別表示向量AB,EB；

(2)若AFtAD=,求實(shí)數(shù)t的值.

19.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)22(sinsin)sinsinsinBC

ABC=.

(1)求A；

(22bc+=,求sinC.

20.在^coscos2BbCac

=-+,△sinsinsinAbcBCac+=-+,△2SBC=,三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面的

橫線上，并加以解答

在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且,若sinsinAC=,求角C

21.在ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，已知Icos2abec=-

.(1)求B.

且有AAA

42)[若ABC的周長為2b./已知呷單加2sin,sin44axxI[I[I)=++II

I\JvJ,irsin,y(n4bxmxIHll=-IvV.⑴若0m=,試研究函數(shù)

0ir3ir,84fxabxIH1=?￡IIILJ\

J在區(qū)間上的單調(diào)性；(2)若tan2x=，月，/ab,試求m的值.

答案第1頁，共15頁參考答案：

1.B

【解析】

【分析】利用球的體積公式可得36dVn=

i/?v

,即有dxV的系數(shù)與2最接近的一個即可.

【詳解】

設(shè)球的半徑為R,由球的體積公式3

3436dVRTm==,而3n7，

呵

△d*211.9091及，161.77897,△2111

與2最為接近，故選：B.

2.C

【解析】

【分析】

由向量數(shù)量積的定義式可得cos0A<,即可判斷.

【詳解】△cosOABACABACA,=Y,△cos0A<,又△A為三角形內(nèi)角，AA是

鈍角，即ABC是鈍角三角形.故選：C.

3.A

【解析】

【分析】

求出cosB,利用余弦定理，解方程即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閏os(

)AC十=所以cosB二又因?yàn)?a=,2b=,

所以2222cosbcacaB=+-,

即249c=+-,

6

即250c-+=,

G

解得c=

/

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，余弦定理，屬于較易題.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)

AB，平面BCD,得至l」ABBC_L,ABBD±,再由AB=4ACAD==,

CD=,得到BCBD_L,則三棱錐ABCD-截取于一個長方體，然后由長方體的外接

球即為三棱錐的外接球求解.

【詳解】

因?yàn)锳B，平面BCD,

所以ABBC，，ABBD±,

△2BCBD=,

次-(2回

在BCD△中，

CD=

72

△222CDBCBD=+,

△BCBD_L

如圖所示：

三棱錐ABCD-的外接球即為長方體AGFH-BCED的外接球,

設(shè)球。的半徑為R,則2R=

J(2回+2?+2V+靖+BD：君

解得R=

小

所以球0的表面積為20n,

故選：A.

5.B

【解析】

【分析】

先用向量線性表示出1BD,然后求出1BD,便可解得答案.

【詳解】

解：由題意得：

設(shè)ABa=,ADb=,lAAc=,則11BDADABbca=-=+-,

()2222211|2222BDabcabcabacbc=-++=++—■+?=,則1||2BD=.

故選：B

6.D

【解析】

【分析】

利用向量的垂直，求出x,然后求解向量的模.

【詳解】

解：(2,l)a=-,(,4)bx=,且ab_L,可得240x-=,解得2x=,

所以(4,3)ab+=,則2||435ab+=+.

故選：D.

7.A

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形相似得出圓錐的底面半徑和高的關(guān)系，根據(jù)體積公式和基本不等式得出

答案.

【詳解】

設(shè)圓錐的高為h,底面半徑為r,

則當(dāng)球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切時，軸截面如圖，

由?AOEACF可得：1

Jh--2h

r=,即r=.??圓錐的體積22148[(2)4]33(2)323

hVrhhhhTCTm：TC===-++--.當(dāng)且僅當(dāng)22h-=,即4h=時取等號.

???該圓錐體積的最小值為

83

7T.內(nèi)切球體積為43n.該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比2:1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿

足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、"定"(不等式的另一邊必須為

定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)三點(diǎn)共線有,R入咋，使3(1)4APACABAA-=+

、(1)2APACABp尸+-,由平面向量基本定理列方程組求參數(shù)，即可確定答案.

【詳解】

334

AMMBAMAB==>=,12ANNCANAC==>=,由C,P,M共線，存在RM,使

3⑴⑴4ApACAMAPACABAAAA-=+-n=+

△,由N,P,B共線，存在Rpe,使得(l)(l)2APANABAPACABuunn=+-n=

+-△，

由4△23(1)14

入入1411=111」=」112,55入|1==,故3155APab=+.故選：B.

9.D

【解析】

【分析】

先利用復(fù)數(shù)的模長和除法運(yùn)算化簡得到z=

@叵

,再根據(jù)虛部的定義，即得解【詳解】

由(

)li|li|z+=+

&忘戊戊

得Z==,△Z

的虛部為故選：D

10.D

【解析】

【分析】

將OC沿OA與OB方向進(jìn)行分解，易得,ODOA入=OEOBR=,再在DOC△中，Isin

0D

COD

CD=Z,代入相關(guān)值即可得到答案.【詳解】

將0C沿0A與0B方向進(jìn)行分解，延長OA、0B至D、E,以0D、0E為鄰邊、

0C為對角線畫出平行四邊形，如圖，

由平行四邊形法則有OCOAOBODOE入四=+=+,且,0入叱，所以0口0人入=,

OEOB|i=,X30DOCZ=,900CD=z,在DOC△中，1121

sin2

OD

CODCD===z.,

即2OAOBAAR

|i==.故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合得到IsinOD

COD

CD=z,考查了學(xué)生的計算能力.

11.D【解析】【分析】連接AC,根據(jù)正六邊形的特征可得FDAC=,從而可得

cos,FDAMACAMACAMACAM-=?=,再根據(jù)當(dāng)M在BC上運(yùn)動時，AM與cos,AC

AM均逐漸增大，當(dāng)M從D移動到F時-，AM與cos,ACAM均逐漸減小，即

/

可求得m,n,從而得出答案.【詳解】解：連接AC,在正六邊形ABCDEF中，

FDAC=,△cos,FDAMACAMACAMACAM?=,=,

△正六邊形ABCDEF的邊長為2,△23AC=

因?yàn)楫?dāng)M在BC上運(yùn)動時，AM與cos,ACAM均逐漸增大，當(dāng)M從D移動到F

時，

/

AM與cos,ACAM均逐漸減小，

由

所以當(dāng)M在CD上運(yùn)動時，cos,AMACAM取得最大值，為當(dāng)M移動到點(diǎn)F時，

cos,AMACAM取得最小值，為0.

△12m==

，00n==,△12mn+=.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

12.C

【解析】由已知得60ABir

乙=,再由向量數(shù)量積的定義表示PAPO-,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最

值，再由向量夾角公式可得選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)樵贠AB中，2OAOB==

,AB=6OABTTZ=

G

,所以PA,0PA?=?()225+|cos|36PAAOPAPAAOPAPATC=+-=-=2

33344PAI1->-IIV,當(dāng)且僅當(dāng)3PA=OAP4

中，4P0=+

近

所以向量PA與

“包塞叵

P0734+-=故選：C.

【點(diǎn)^青】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知向量建立關(guān)于向量的模PA的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)確定

取得最

值時，PA的值.

13.43

IT【解析】

先求出半徑，再利用公式可求體積.

【詳解】

2344441,33

SRRVRTnniTC===>===,故答案為：

43

IT.14.2

【解析】

【分析】根據(jù)角度關(guān)系可得30BDA4=。以及三角形ABC為等邊三角形，然后根

據(jù)正弦定理可得AD,以及余弦定理可得CD長度

【詳解】

由題可知：105,60,45,60BADBACABDABC4=°Z=°Z=°Z=°

所以3O,45BDADACZ=°Z=,三角形ABC為等邊三角形，

又

2AB=,所以2AC=,由sinsinABADBDAABD

W

=4乙，所以人口=由2222sinCDADACADACDAC=+-z,所以2CD=

故答案為：2

15.△△△

【解析】

【分析】

對^結(jié)合中位線性質(zhì)以及向量的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算即可判斷；對^△結(jié)合圖形中

的線段的關(guān)系以及向量加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)即可判斷；對^結(jié)合重心的性質(zhì)以及向量

加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)即可判斷.

【詳解】

因?yàn)?EF分別為CA、AB的中點(diǎn)，所以EFBCII，且1=2

EFBC,所以0

1111=2222EFBCBAACBAAC故小錯誤;

0

111222BABEBCABBC=+=-+,故△正確；ADBEACCDBCCE+=+++

1122

CACBCBCA=-+-+1122

CACB=-(J

12CACB=-+FC=

故^正確；

因?yàn)锳BC三邊的中線交于點(diǎn)G,故G是ABC的重心，所以2GFGC=,所以20GA

GBGCGFGC++=+=,故4正確；

故答案為：△△△.

16.56

7T【解析】

【分析】

依題意可得22aba=-,再求出ab-,Qabb-,最后根據(jù)夾角公式計算可得；

【詳解】解：因?yàn)閮蓚€非零向量a,b滿足abab+==,所以22aba+=,即

2222aabba++=,所以22aba=-,()222

23ababaabba-=-=-+=,Q2232babbaab設(shè)向量b與ab-的夾角為0,

則02332cos3babababab0-

因?yàn)榭贠fixe,所以56

1T0=

故答案為：

56n【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，屬于中檔題.

17.(1)2c；(2)2AB,2.

【解析】

【分析】

(1)EtlQabcABBCAC++=++gp^^;

(2)由+()abcABACCBTM+即得解.

【詳解】

(1)()22abcABBCACACACACc++=++=+==；

(2)+Q+2abcABBCACABACCBABABAB-+=-+=+==.

△||2||2abcAB-+==.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量的加法法則，考查向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平.

18.(1)2ABba=-,423

EBab-+=；(2)12t=.【解析】

(1)根據(jù)向量線性運(yùn)算，結(jié)合線段關(guān)系，即可用,ab分別表示向量AB,EB；

(2)用,ab分別表示向量FB,EB,由平面向量共線基本定理，即可求得t的值.

【詳解】

(1)由題意，D為BC的中點(diǎn)，12AEEC=,可得13

AEAC=,ACa=,ADb=.△2ABACAD+=,

△2ABba=",

△-EBABAE=123

baa=-423

ab=-+(2)△ADAtbFt==,

△-FBABAF=

()2atb=-+-

△423

EBab-+=,FB,EB共線，由平面向量共線基本定理可知滿足12423

t-=-,解得12

t=.【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，平面向量共線基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)3ATT=

;(2

^6+yJ2

)sinC=【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理化簡已知邊角關(guān)系式可得：222bcabc+-=,從而可整理出cos

A,根據(jù)()0,Ane可求得結(jié)果；(2

72

sin2sinABC+=,利用OsinsinBAC=+、兩角和差正弦公式可得關(guān)于sin