2021-2022學(xué)年上海交大南洋中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2021-2022學(xué)年上海交大南洋中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試卷

含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的

xM-1或?yàn)橹?

〃力=，

1.設(shè)IT<X<1,g(x)是二次函數(shù)，若/L㈤]的值域是[038),則

g(x)的值域是

()

A.(-co,-l]U[l,-K)o)B.(-ro-l]U[0,-K?)

C.[0版)D.[1,?⑹

參考答案：

C

略

K5

—<a<-n

36,則cosa的值是()

3-4-4-3招話-33-動

A.10B.10C.5D.5

參考答案：

A

【分析】

(X1

COS

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求16J的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的余弦函數(shù)

公式，即可得出結(jié)果.

n、女］(n、￡?(￡、.宗

_+Q-—|=cos—+acos—+sm—4-asin—

K6)6］16J616J6

—231一上空

L5J25210

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化

簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

3.根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以斷定方程。*-2*-5=0的一個根所在的區(qū)間是（）

X01234

ex12.727.3920.0954.60

2x4-55791113

A.。［)B<2)

C.(2,3)D,(3,4)

參考答案:

C

sina-2cosa

一5,那么tana

4.已知3sina+5cosa的值為（）

2323

A>—2B、2C、16D、-16

參考答案:

D

略

5.半徑為五的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積是（）

B.州

A.2局c/

參考答案：

C

略

6.

己次03+sin2/74-2Z>(2^/2+sin(^+—)+-”-----對于

4g-⑶

/恒成立，則曲J取值范圍是()

2

A.Z>4B.Z>3c.l>2D.l>-2

參考答案：

B

7.函數(shù)y=-x?+x-1圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.無法確定

參考答案：

A

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷求解即可.

【解答】解：函數(shù)y=-x'+x-1,開口向下，又△=1-4X(-1)(-1)=-3<0.

拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

8.設(shè)全集。={1,2,3,4},集合S={1,2},T={2,3},則(分“，等于()

A.{2}B.{3}C.{4}D.{2,3,4}

參考答案：

B

【分析】

根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義可計(jì)算出集合(G5)117.

【詳解】由題意可得分={34},因此，(分)“,={3}

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

<1

9.在xG[O,2%]上滿足cosx2的x的取值范圍是()

xn5irn2x51r

AJO,3]B,f3,3]C.[3,3]D.[3,乃I

參考答案：

B

【分析】

1x5JC

cosr=—x=一,——

先求2時，33,再判斷不等式的解集

1x5x,1x5n]

cosv——X.=—,—cosx,?_xe—,—I

【詳解】2時，解得33,則2,那么L33」，故選B

10.圓心坐標(biāo)為(1,一1)，半徑長為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(X-1)2+(J+1)2=2B(x+l)2+(y-l)2=2

22

c.任一球+廿+以=4D(x+l)+(y-l)=4

參考答案：

C

【分析】

根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式寫.

【詳解】圓心為(L-1),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(工-1)2+(產(chǎn)+1)2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11,已知元素(XJ)在映射」下的象是(x+2乂2x-y),則3D在/下的原象

是.

參考答案：

(U)

12.已知角)的終邊經(jīng)過點(diǎn)工(一么，4a),其中。<0,貝ijsina的值等于。

參考答案：

_4

~5；

13.對于函數(shù)+2%在使得/(x)3M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值

河噸=-1叫做/⑶=7+2*的下確界,則對于&NR,且ab不全為0,S+a的下確

界是____________________

參考答案：

J

2

14.已知數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和Sa=二一I那么數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為

參考答案：

10.?=1

[2n-l,n>2

15.若基函數(shù)y=(m2-2m-2)x"'…在(0,+~)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是

參考答案：

3

考點(diǎn)：幕函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域.

專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：根據(jù)給出的函數(shù)為嘉函數(shù)，由黑函數(shù)概念知產(chǎn)-m-1=1,再根據(jù)函數(shù)在（0,+8）

上為減函數(shù)，得到幕指數(shù)應(yīng)該小于0,求得的m值應(yīng)滿足以上兩條.

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)丫=（m2-2m-2）x』一既是塞函數(shù)又是（0,+~）的減函數(shù)，

（蚌3或正-1

2

,m-2m-2=1\>_1

所以I-4m-2<0,?2工,解得：m=3.

故答案為:m-3.

點(diǎn)評：本題考查了幕函數(shù)的概念及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是掌握幕函數(shù)的定義，此題極易

把系數(shù)理解為不等于0而出錯，屬基礎(chǔ)題

xy2工2

16.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x「3xy+4y2-z=0,則當(dāng)；"取得最大值時，7+3-9的最大

值為.

參考答案：

1

【考點(diǎn)】7F：基本不等式.

【分析】由正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x?-3xy+4y2-z=0,可得z=x2-3xy+4y于是

]

叁丁與一2三2-3

z=xZ-3xy4-4y%yx0,利用基本不等式即可得到最大值，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y>0時取

222--1）2+1

等號，此時Z=2y2.于是x+y-z=Zyy2y=y\再利用二次函數(shù)的單調(diào)

性即可得出.

【解答】解：由正實(shí)數(shù)x,y,N滿足4-3xy+4y之-z=0,?,.z=x2-3xy+4y匚

]<]_

衛(wèi)丁理一2三包-32A叵互-3

z=x-3xy+4y=yxYyx=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y>0時取等號，此時

z=2y2.

212-__i）2i2工2

Ax+y-z=Zyy2y=+g,當(dāng)且僅當(dāng)y=l時取等號，即x+y-z的最

大值是1.

故答案為L

4sina-2cosa

17.已知tana=3,則5cosa+3sina的值__.

參考答案：

7

【考點(diǎn)】GK：弦切互化.

【分析】把分子分母同時除以cosa,把弦轉(zhuǎn)化成切，進(jìn)而把tana的值代入即可求得答

案.

4sina-2cosa4tana-24-3-2_5

【解答】解：5cosCl+3sinCl=5+3tanCl=5+3X3=7

_5

故答案為：T

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.如圖,已知正方體ABCD-AiBCiC，E為8口的中點(diǎn).

(1)求證：直線AC_L平面SBQDi；

(2)求證:OEII平面AC8.

參考答案:

(1)證明：在正方體用6-44CIA中，平面他團(tuán),

平面二起，4A.................................2分

在正方形4SO中，JCLBD,...................4分

又及，仁平面用皿4,43匚平面旦皿「曲|1耳8=耳

二直線4C_L平面

網(wǎng)友科

.........7分

Cl

(2)證明：設(shè)*0的=5連結(jié)

在正方體ABCD-44WA中,“空叫"所以四邊形4即2是平行四邊形.

則有

早刊皿

........9分

---分別為為取V?的中點(diǎn)，二區(qū)啖

---四邊形40ns是平行四邊形.

-ZW口組......................11分

又用u平面麓gy平面

二DE//平面加4............14分

19.定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足：對任意xGD,存在常數(shù)M>0,使得If(x)

|WM成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f

1-q,2X

(x)=4-x+p?2-x+l,g(x)=1+q*2X.

(I)當(dāng)P=1時，求函數(shù)f(x)在(-8,o)上的值域，并判斷函數(shù)f(x)在(-8,

0)上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

q€(0,返］

(II)若2」，函數(shù)g(x)在［0,1］上的上界是H(q),求H(q)的取值范

圍；

(111)若函數(shù)f(x)在［0,+8)上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用.

11

【分析】(I)當(dāng)a=l時，f(x)=1+(2)x+(4)x,可判斷f(x)在(-8,o)上

的單調(diào)性，由單調(diào)性可得求得f(x)在(-8,0)上的值域，由值域可判斷函數(shù)f(x)

在(-8,0)上是否為有界函數(shù).

2

(IDg(x)=l+q-2x-1,易判斷g(x)在［0,1］上的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得g

(x)的值域，進(jìn)而求得：g(x)的值域，由上界定義可求得H(q)的范圍；

(III)由題意知，|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立，即-3Wf(x)W3恒成立，設(shè)t=

(5)x,te(0,1］,則轉(zhuǎn)化為3Wl+pt+t?W3恒成立，分離參數(shù)p后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值

即可解決；

11

【解答】解：(I)當(dāng)a=l時，f(x)=1+(~2)x+(7)x,

因?yàn)閒(x)在(-8,0)上遞減，

所以f(x)>f(0)=3,即f(x)在(-8,0)的值域?yàn)?3,+8),

故不存在常數(shù)M>0,使|f(x)|WM成立.

所以函數(shù)f(x)在(-8,0)上不是有界函數(shù).

2

(II)g(x)=l+q*2X-1,Vq>0,xE［0,1］,；.g(x)在［0,1］上遞減，

1-2q<g(x)<^—

.'.g(1)Wg(x)Wg(0),即l+2q1+q,

&1-q1-2q

Vq6(0,2］,A1+q|2|l+2q|,

1-q

.Mg(x)W1+q,

l-q1-q

H(q)1+qI，即H(q)的取值范圍為［1+q,+<?).

(Ill)由題意知，|f(x)|W3在［0,+8)上恒成立，

設(shè)t=(2),te(0,1］,由-3Wf(x)W3,得-3Wl+pt+t?W3,

4_2

_(t+T)WpW^-t在(o,i］上恒成立,

12

設(shè)h(t)=-t-t,m(t)=t-t,則h(t)在(0,1］上遞增；m(t)在(0,1］上遞

減，

所以h(t)在(0,1］上的最大值為h(1)=-5；m(t)在(0,1］上的最小值為m(1)

=1,

所以實(shí)數(shù)P的取值范圍為［-5,1］.

20.(本小題滿分9分)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，求：

(1)兩數(shù)之和為5的概率；

(2)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率；

(3)以第一次向上點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)X,第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)(x,y)在圓

x?+y2=15的內(nèi)部的概率.

參考答案:

解:將一顆骰子先后拋擲2次，此問題中含有36個等可能基本事件

(1)記''兩數(shù)之和為5”為事件A,則事件A中含有4個基本事件，

A__\

所以P(A)=36-9；答：兩數(shù)之和為5的概率為

9.。。。。。。。。。。。。。36)

(2)記“兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)”為事件B,則事件B與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對立事件，

所以P(B)=364；答：兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率

3

4.。。。。。。。。。。6

分組頻數(shù)孵

[10,20)180.15

[20,30)300.25

[30,40)420.35

[40,50)240.2

[50,60)60.05

(3)基本事件總數(shù)為36,點(diǎn)(x,y)在圓x?+y2=15的內(nèi)部記為事件C,則C包含8個事

_8__22

件，所以P(C)=36-5.答：點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=15的內(nèi)部的概率§。。。。。9分

略

21.(13分)已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+l,x6R,aWR.

(1)討論函數(shù)的奇偶性；

(2)若函數(shù)f(x)的最小時為g(a),令m=g(a),求m的取值范圍.

參考答案：

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)的圖象.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷；

(2)若函數(shù)f(x)的最小時為g(a),令m=g(a),求m的取值范圍.

解答:(1)若a=0,則f(x)=x2+|x|+L

f(-x)=(-x)2+|-x|+l=x2+|x-a|+l=f(x),此時f(x)為偶函數(shù),

若aWO,(0)=l+|a|W0,/.f(x)不是奇函數(shù)，

Vf(1)=2+|1-a|,f(-1)=2+|a+l|,

Af(-1)Wf(1),則函數(shù)不是偶函數(shù)；

即a#0時，f(x)為非奇非偶函數(shù).

13

(2)當(dāng)xWa時，f(x)=(x-2)2+a+4.

1

a<2,函數(shù)f(x)在(-8,a］上單調(diào)遞減.

從而函數(shù)f(x)在(-8,a］上的最小值為g(a)=f(a)=a?+l；此時m>aa+L

1131

a22時，函數(shù)f(x)在(-8,a］上的最小值為g(a)=f(