2021-2022學(xué)年八年級第二學(xué)期期末考試卷（解析）

2021-2022學(xué)年八年級第二學(xué)期期末考試卷（解析）

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

一、選擇題：本題共12個小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（2022?河南?南陽市宛城區(qū)金華中學(xué)八年級期中）下列各組數(shù)中，能夠作為直角三角形的

三邊長的一組是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.3,4,5

【答案】D

【解析】

【分析】

由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

【詳解】

A、P+2V32,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、22+32/P,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、42+52/62,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?山西運(yùn)城?八年級期中）設(shè)分別表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平秤兩次,

情況如圖所示，那么下列式子成立的是（）

A.?=2x?B.C.?V2x.D.?>3x?

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)▲、?、■分別表示三種不同物體的質(zhì)量分別為x,y,z,根據(jù)題意列出不等式，判斷即可.

【詳解】

解：▲、?、?分別表示三種不同物體的質(zhì)量分別為x,y,z,

根據(jù)題意得：z+x>2x,即z>x；x+y=3y,即x=2y,

.".z>2y,

即?>2x?，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.（2022.河南鶴壁?一模）則圖,將小ABC繞點(diǎn)河,0）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'5'C',點(diǎn)A的坐標(biāo)

為（利〃），則點(diǎn)4的坐標(biāo)為（）

A.B.（-m+2,-n）

C.—D.（—m+4,—n）

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)W坐標(biāo)為（x,y）,根據(jù)點(diǎn)A（m,n）和點(diǎn)A關(guān)于B（1,0）中心對稱，得到關(guān)于x、y的

方程x+w=2,y+〃=0,解方程即可.

【詳解】

解：設(shè)A'坐標(biāo)為（x,y）

由題意得：4（/〃，〃）和4點(diǎn)關(guān)于3（1,0）中心對稱，

.".x+m=2,y+n=0

解得：x=—m+2,y~-n

叩點(diǎn)A，坐標(biāo)為C—m+2,—n）

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)關(guān)于另一點(diǎn)成中心對稱的問題，根據(jù)中心對稱的概念，得到

成中心對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

'2%+3>1

4.（2022?廣東惠州?一模）不等式組x-1，的整數(shù)解的個數(shù)是（）.

---<1

2

A.0個B.2個C.4個D.5個

【答案】C

【解析】

【分析】

求出不等式組的解集，根據(jù)解集即可確定不等式組的整數(shù)解的個數(shù).

【詳解】

解第一個不等式得：X>-1；

解第二個不等式得：x<3；

不等式組的解集為：-14x<3,

所以不等式組的整數(shù)解為：-1,0,1,2,共4個整數(shù)解.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求不等式組的整數(shù)解，求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?山東聊城?二模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（-加）3M2=_療B.（2加）’=8/廬

「632r.（2a丫b2a

C.a-i-a=aD.—+—=—

[b）2ab

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)同底數(shù)基的乘法、積的乘方、同底數(shù)基的除法和分式的計(jì)算規(guī)則來計(jì)算即可；

【詳解】

解：A、=-m5,故本選項(xiàng)錯誤；

B、（2曲2y本選項(xiàng)正確；

6j33

C、ara=a9本選項(xiàng)錯誤；

D、（生[+2="，本選項(xiàng)錯誤；

I〃J2ab}

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查同底數(shù)嘉的乘法、同底數(shù)基的除法、積的乘方和分式的計(jì)算；熟練掌握運(yùn)算的計(jì)算

法則是解決本題的關(guān)鍵.

6.（2022?河北邯鄲?一模）在化簡學(xué)；?+時，兩位同學(xué)分別給出如下方法：

tn"-42-m

佳佳的方法是：音音的方法是：

2m12m1

2I

m2-42-m療一42-m

2nl12mm+2

=--------------1--------------

m2-4+2()%+2)(“一2)+

2mm-22nim+2

(加+2)(機(jī)-2)+2)(加一2)(他+2)(加一2)(/n-2)(/n+2)

2m-m+2=2m-m-2

(ZH+2)(/H-2)=m-2

1

m-2

則對于兩人的方法，正確的是（）A.兩人方法均正確B.佳佳正確，音音錯誤

C.佳佳錯誤，音音正確D.兩人方法均錯誤

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則即可求出答案.

【詳解】

5..2tn12m1

解：.——+------------------,

m-42-mm-4in-2

佳佳的方法錯誤，

...2m?1

m2-42-m

2mm+2

-------------------------,

（〃/+2）（勿-2）（2-m）（m+2）

2/77m+2

（7774-2）（/77-2）（勿?2）（m+2）'

2/77-m-2

-（277+2）（/77-2）*

m-2

+—，

1

=----，

m+2

音音的方法錯誤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算法則，注意符號的變化.

7.（2022?河北石家莊?一模）有一道題：“甲隊(duì)修路150m與乙隊(duì)修路100m所用天數(shù)相同，

若■■■■，求甲隊(duì)每天修路多少米？”根據(jù)圖中的解題過程，被遮住的條件是（）

1

解：設(shè)甲隊(duì)每天修路.咪,

100

依題意得：—

X2A-30

A.甲隊(duì)每天修路比乙隊(duì)2倍還多30mB.甲隊(duì)每天修路比乙隊(duì)2倍還少30m

C.乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還多30mD.乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還少30m

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)圖中的方程，可以寫出被遮住的條件，本題得以解決.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，—=-^-

x2X-30

故被遮住的條件是乙隊(duì)每天修路比甲隊(duì)2倍還少30m,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出被遮住的條件.

8.（2022?河南周口?八年級期末）在AABC中，已知/BAC=90。，AB/AC,若用無刻度的直

尺和圓規(guī)在8c上找一點(diǎn)。，使AACZ）是等腰三角形，則下列作法中，正確的有（）

①②③

A.②③B.①②C.①③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)作圖痕跡可知，圖①作的是NBAC的平分線，圖②作的是CA=CD,圖③作的是4c的

垂直平分線，然后逐一判斷即可解答.

【詳解】

解：圖①：由題意得：AO平分NBAC,

，ZBAD=ZCAD=-ZBAC=45°,

2

'：ZBAC=90°,AB+AC,

：.ZB^ZC^45°,

：.ZC^ZCAD,

...△AC。不是等腰三角形，故①錯誤；

圖②：由題意得：

CA=CD,

...△AC。是等腰三角形，故②正確；

圖③：由題意得：

點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，

：.DA=DC,

...△ACC是等腰三角形，故③正確，

所以，上列作法中，正確的有：②③，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本作圖一解平分線、線段垂直平分線，等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角

形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?山東淄博?一模）關(guān)于x的分式方程/二=1,下列說法正確的是（）

A.方程的解是》=S一6B.當(dāng)機(jī)<6時，方程的解是負(fù)數(shù)

C.當(dāng)朋>6時，方程的解是正數(shù)D.以上說法均不正確

【答案】C

【解析】

【分析】

先去分母求得分式方程的解，然后將分式方程的解代入最簡公分母進(jìn)行討論即可.

【詳解】

去分母得：x+6=m,

解得：x=m-6,

?.?當(dāng)x+6=0,即x=-6時，方程產(chǎn)生增根，

當(dāng)xr-6時，方程的解是x=〃i—6,故A錯誤;

當(dāng)m<6時，x=m-6<0,

?.?當(dāng)x=-6時，方程產(chǎn)生增根，

m-6^-6,即機(jī)wO,

當(dāng)〃?V6且加HO時，方程的解是負(fù)數(shù)，故B錯誤;

當(dāng)相>6時，x=m-6>0,

?.?當(dāng)x=-6時，方程產(chǎn)生增根，

m-6^-6,即/nwO,

當(dāng)機(jī)>6時，方程的解是正數(shù)，故C正確；D錯誤；

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是解分式方程，根據(jù)最簡公分母是否為0進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.

10.（2022.浙江彳酎州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）二模）已知必。8

的頂點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，現(xiàn)按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交04于點(diǎn)M,交0C于點(diǎn)N.

②分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧在40C內(nèi)相交于點(diǎn)￡

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本作圖得到NAOF=NCOE,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO〃OC,接著證明

ZAOF=NAFO得到OA=4八設(shè)AF交y軸于“，設(shè)AG,4）,則4,=T,AO=A尸=T+3,

利用勾股定理得到一+42=（T+3>,然后解方程求出f即可得到A點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解：由作法得0E平分4OC,

則NAO/=NCOf.

???四邊形AOCZ）為平行四邊形，

:.AD//OC,

：.ZAFO=NCOF,

：.ZAOF=ZAFO,

：.OA=AF,

：.HF=3,0/7=4,

設(shè)AC,4）,

:?AH=-t,AO=AF=-t+3,

在Rt^OAH中，

r+42=（-￡+3）2,

7

解得/=

o

，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是

6

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）；也考查了平行四邊

形的性質(zhì).利用勾股定理列出關(guān)于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的方程是解決問題的關(guān)鍵.

11.（2022?重慶市育才中學(xué)二模）已知多項(xiàng)式4=/+2y+帆和B=/-2X+〃（m,〃為常

數(shù)），以下結(jié)論中正確的是（）

①當(dāng)x=2且帆+”=1時，無論y取何值，都有A+8N0；

②當(dāng)加=〃=0時，AxB所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；

③當(dāng)x=y時，一定有A28；

④若加+"=2且4+8=0,則*=?；

⑤若m=",A-B=-lS.x,y為整數(shù)，貝"x+y|=l.

A.B.①②⑤C.①④⑤D.③④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】

主要是運(yùn)用整式的運(yùn)算法則及因式分解等知識對各項(xiàng)進(jìn)行一一判斷即可.

【詳解】

①當(dāng)x=2且6+〃=1時，A+B=4+2y+m+y2-4+n=/+2y+l=(y+l)-,

?..無論y取何值，總有(y+l)2》0,

無論)，取何值，都有A+B20,

故①正確；

②當(dāng)，?1=〃=0時，AxB=(x2+2y)(y2-2x)=x2y2-2x3+2/-4xy,

，AxB所得的結(jié)果中不含一次項(xiàng)；

故②正確；

③當(dāng)x=y時，A-B=x2+2y+m-^y2-2x+n^=x2+2x+m-x2+2x-n=4x+m-n,

其結(jié)果與0無法比較大小，

故③錯誤；

④若〃?+〃=2且A+B=O,則A+8=爐+2y+w?+y2-2x+“=*2+V+2y-2x+2=0,

變形得：(x-iy+(y+l)2=0,

；.戶1,y=-l,

.".x=-y,

故④錯誤；

⑤若優(yōu)=",A-B=-15.x,y為整數(shù)，

則A-8=12+2y+m-(^y2-2x+n}=x2+2y-y2+2x=-1

x2-y2+2x+2y+l=0

變形得：(x+l)2-(y-l)2=-l,

因式分解得：(x+y)(x-y+2)=-1,

y為整數(shù)，則必有k+y|=l.

故⑤正確；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是整式運(yùn)算及因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用乘法公式進(jìn)

行計(jì)算及因式分解.

12.(2022?山東泰安?八年級期末)如圖，在QABC。中「是8邊上一點(diǎn)，且AP和分別

平分ND4B和NC54,若4）=5,AP=8,則AAPB的周長是（）

A.18B.24C.23D.14

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行四邊形性質(zhì)得出AB〃CD,推出ND4B+NC8A=180。，再證出AD=OP

=5,BC=PC=5,得出。C=10=A8,然后證/APB=90。，最后由勾股定理求出3尸=6,

即可求出答案.

【詳解】

解：?.?四邊形A8C。是平行四邊形，

J.AD/7CB,AB〃CD,

：.ZDAB+ZCBA=\S00,

又..工/1和BP分別平分/D4B和NCBA,

：.ZPABA-ZPBA=^(NDAB+/CBA)=90°,

在AAPB中，/APB=180。-(/弘B+/P8A)=90°；

YAP平分ND4B,

：.ZDAP=ZPAB,

"."AB^CD,

J.APAB^ZDPA,

：.ZDAP=ZDPA,

...△AOP是等腰三角形，

：.AD=DP=5,

同理：PC=CB=5,

即AB=DC=DP+PC=-10,

在RSAPB中，AB=10,AP=S,

BP=dAB?-A產(chǎn)=V102-82=6，

...CzAPB=6+8+10=24,故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和

定理，勾股定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，根據(jù)題目中的已知條件求出。P、CP的長度是解題

的關(guān)鍵.

X~，n>3

13.（2022?云南?麗江市教育科學(xué)研究所二模）若關(guān)于x的不等式組2一無解，且

x+3>2（x+1）

關(guān)于y的分式方程一tn方+1=vA—1的解是正數(shù)，則滿足條件的整數(shù)加的值之和是（）

y—zz—y

A.-12B.-11C.-10D.-9

【答案】A

【解析】

【分析】

解關(guān)于X的不等式組｛--2------3無解；解得"侖-5,且關(guān)于y的分式方程一H^l+1=：^V——1的

c7i\LL

x+3>2（x+l）y~~y

解是正數(shù)；解得加<3,所以根的取值范圍是：-5VmV3,寫出則滿足條件的整數(shù)加的值之和

即可求解；

【詳解】

解：??,關(guān)于x的不等式組2"無解;

x+3>2（x+l）

由①得：應(yīng)6+加

由②得「VI

因?yàn)樵坏仁浇M無解

6+/w>l

解得:ni>-5

且關(guān)于y的分式方程:YY+\i=V>—I的解是正數(shù);

y-zz-y

解方程黃+占首

用3沏

得.尸廳

因?yàn)榻馐钦龜?shù);

3-m八

所以k>0

2

解得m＜3

的取值范圍是：-5W〃?V3

則滿足條件的整數(shù)機(jī)的值可以是：-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,

所以有(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+(0)+1+2=-12

故答案為：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元一次不等式組，分式方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)不等式組無解,

和分式方程的解是正數(shù)得出?的范圍.

14.(2022?浙江嘉興?一模)如圖，在平行四邊形A8C。中，AB=3瓜AD=3,24=60。,

點(diǎn)E在AB邊上，將沿著直線OE翻折得AA7)E.連結(jié)AC,若點(diǎn)4恰好落在/BCD

的平分線上，則A,C兩點(diǎn)間的距離為()

A.3或6B.3或述C.邁D.6

22

【答案】A

【解析】

【分析】

過點(diǎn)4作4F_LC￡)于。，由平行四邊形ABCQ,得NBCZ)=NA=60。,CD=AB=3&,A'D=AD=3,

根據(jù)點(diǎn)恰好落在N8C￡＞的平分線上,所以/A，CF=30。,所以C4=2AE設(shè)A，F(xiàn)=x,貝UCA'=2x,

CF=&x,所以。尸=3石-Gx,在心△D4'尸中,由勾股定理，得32=(36-bx)2+x2,求解

即可得出x,從而求出C4的長.

【詳解】

:如圖，過點(diǎn)A'作于。，

C

:平行四邊形ABCD,

：.ZBCD=ZA=60°,CD=AB=3G,

由翻折可得，A'D^AD=3,

,/點(diǎn)A恰好落在/5C￡＞的平分線上,

.?.04,平分/BCZ）,

，ZA'CF=30°,

VATICD,

，CA'=2A'F,

設(shè)A'F=x,則CA'=2x,

由勾股定理，得CF=&x,

DF=30x,

在心△力4F中,由勾股定理，得

32=（3&-￡x）2+x2,

3

解得：Xl=2,以=3,

CA'=2x=3或6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，翻折性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，作輔助線

4FLC。于。，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共6個小題，每小題3分，共18分。

15.（2022?云南?云大附中七年級期中）已知4（1,-2）、B（-l,2）、E（2,a）、/9,1）,若將線

段AB平移至點(diǎn)A,E為對應(yīng)點(diǎn),則a-b的值為.

【答案】-3

【解析】

【分析】

根據(jù)點(diǎn)A平移到E,點(diǎn)B平移到點(diǎn)F,得到平移的方向和距離，在對應(yīng)求出。和b的值，即

可求解.

【詳解】

解：?..線段AB平移至EF,即點(diǎn)A平移到E,點(diǎn)8平移到點(diǎn)凡

而4（1,一2）、3（-1,2）、E（2,a）,尸伍,1）,

；.點(diǎn)A向右平移一個單位到E,點(diǎn)B向下平移1個單位到F,

二線段AB先向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到EF,

A-2-l=a,-1+1=/?

a=—3,h—0,

a+b——3+Q=—3.

故答案為-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平移的性質(zhì)：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖

形與原圖形的形狀和大小完全相同.解決本題的關(guān)鍵是通過點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系確定線段平

移的方向和距離.

16.（2021?遼寧盤錦?八年級期中）化簡+_________

bc

【答案】/

【解析】

【分析】

根據(jù)分式的乘除混合運(yùn)算可求解.

【詳解】

解：原式：

故答案為2記.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握分式的乘除混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

17.（2022?河北石家莊?一模）如圖所示，在正四邊形、正五邊形中，相鄰兩條對角線的夾角

分別為內(nèi)，4,則應(yīng)為______°.以此類推，正〃邊形相鄰兩條對角線的較大夾角為°.

(n-2)-180

【答案】108

【解析】

【分析】

根據(jù)正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，求得相鄰兩條對角線

的較大夾角，找到規(guī)律，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：如圖,

???四邊形ABC。是正方形，

可得AC_L3D,

.??%=90。，

v五邊形45CDE是正五邊形，

.?.AB=BC=CD,

5-2

??.ZABC=ZBCD=x180°=108°,

ZDBC=ZACB=-108。=36O,

2

.?.a,=180°-2DBC-乙4c3=108°=土匚xl80°,

5

同理可得%=120。='2x180。，

6

當(dāng)〃>3時、正〃邊形相鄰兩條對角線的較大夾角等于正多邊形的一個內(nèi)角，

，正〃邊形相鄰兩條對角線的較大夾角為七2x180。，

n

.八八(?-2)-180

故答案為：108；——1——.

n

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，找到規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

18.(2022?云南曲靖?一模)在平行四邊形ABC。中，8C邊上的高為8,AB=\0,AC=4不，

則平行四邊形ABCD的周長等于.

【答案】24或40

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出

即可.

【詳解】

解：如圖I所示：

BE

圖1

?.?在nABCO中，BC邊上的高為8,4B=10,AC=4石,

EC=jAC2—A￡2=4,AB=CD=IO,

BE=4AB--AE2=6>

：.AD=BC^IO,

...□ABCQ的周長等于：40,

如圖2所示：

圖2

.在DABCZ)中，BC邊上的高為8,AB=10,AC=4石，

?*-EC=y]AC2-AE2=4>AB=CD=10,

BE=y/AB2-AE2=6，

BC=6-4=2,

...□ABC。的周長等于：2+2+10+10=24,

則口ABC。的周長等于40或24.

故答案為：24或40.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.

三、解答題(19題6分，其余每題8分，共46分)

19.(2022?河南信陽?八年級期末)(1)因式分解：2/6-8必+86;

(2)化簡：(x+1)~+(2x+l)(2x—1)—4x(x4-1).

2

【答案】(1)2〃a-2)\(2)X-2X

【解析】

【分析】

(1)提公因式2b,然后根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解；

(2)根據(jù)完全平方公式，平方差公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：（1）原式=?（/-4.+4）

=2/7（a-2）2；

（2）原式=%2+2x+l+4f-1-4--4%

=x2-2x.

【點(diǎn)睛】

本題考查了提公因式法因式分解，整式乘法混合運(yùn)算，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?湖北襄陽?一模）化簡求值：/+土者其中a=0-i.

〃+1a-\（a-1J

【答案】-->2—>/2

。+1

【解析】

【分析】

先把分式化簡后，再把。的值代入求出分式的值即可.

【詳解】

2a+1+-2a（2?！?

a-\

。+1a2-1Ia-\

2。+1cr-2a（2。-1）-（。+1）（。-1）

------1---j----i-------------------

a+\a-1a-\

2。+1a~—2a—ci~+2tz

-----1--------；--------

a+1a—1a—\

2a+l__1_

q+1a+1

2a

a+\'

當(dāng)會正-時原式二婆二）=卑）=2-內(nèi)

V2-1+1V2

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的化簡求值，熟練分解因式是解題的關(guān)鍵.

21.（2022.福建泉州?二模）如圖，在RtZkABC中，ZBAC=90°,將RtAABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)

一定的角度得到RtZXAOE,且點(diǎn)E恰好落在邊BC上.

D

A

BEC

⑴求證：AE平分NCED；

(2)連接30,求證：ZDBC=90°.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，進(jìn)而根據(jù)等邊對等角性質(zhì)可將角度進(jìn)行

等量轉(zhuǎn)化，最后可證得結(jié)論.

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理對角度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化可證得結(jié)論.

(1)證明：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AE=AC,ZAED=ZC

:.ZAEC^ZC

:.ZAED=ZAEC

:.AE平分NCED

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AD^AB,ZDAE=ABAC=90°

/.ZADB=ZABD,ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE

^ZDAB=ZEAC

VNDAB=180°-2ZABD,NEAC=180°-2ZC

;.ZABD=NC

在Rt^ABC中，ZBAC=90°

:.ZABC+ZC=90°

:.ZABC+ZABD=9Q°

即NZ)8c=90°

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變化，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等以及合理

利用三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵.

22.(2022?廣東?二模)“四書”“五經(jīng)”是我國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，是儒家思想的經(jīng)典著

作.某學(xué)校計(jì)劃購買《孟子》和《論語》兩種書籍供學(xué)生閱讀.已知《孟子》與《論語》的

單價(jià)之和為40元，用90元購進(jìn)《孟子》的本數(shù)與用150元購進(jìn)《論語》的本數(shù)相同.

(1)求《孟子》《論語》的單價(jià)分別是多少元？

(2)該學(xué)校計(jì)劃購進(jìn)《孟子》和《論語》共100本，但花費(fèi)總額不超過1800元，問最少購進(jìn)

《孟子》多少本？

【答案】⑴每本《孟子》《論語》的單價(jià)分別是15元、25元

(2)70本

【解析】

【分析】

(1)設(shè)每本《孟子》《論語》的單價(jià)分別是工元、(4()-x)元.再分別表示90元購進(jìn)《孟子》

的數(shù)量與用150元購進(jìn)《論語》的數(shù)量，再列方程，解方程即可；

(2)設(shè)購進(jìn)《孟子》。本，則購進(jìn)《論語》本.利用花費(fèi)總額不超過1800元，

列不等式，再解不等式即可.

(1)解：設(shè)每本《孟子》《論語》的單價(jià)分別是x元、(40-x)元.

由題意得見=」"，解得x=15.

x40-x

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解.則40-x=25.

所以每本《孟子》《論語》的單價(jià)分別是15元、25元；

(2)設(shè)購進(jìn)《孟子》〃本，則購進(jìn)《論語》(100—〃)本.

由題意可得154+25(100-041800,

解得“270.

所以最少購進(jìn)《孟子》70本.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系列方程或

不等式是解本題的關(guān)鍵.

23.(2022.河南信陽.八年級期末)如圖，AABC,/ADE均是等邊三角形，點(diǎn)B,D,E三點(diǎn)

共線，連按CD,CE；且

B

⑴求證：BD=CE；

(2)若線段QE=3,求線段B。的長.

【答案】(1)見解析(2)6

【解析】

【分析】

(1)由“SAS”可證△ABDWZXACE,可得BD=CE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/AEC=/AO8=120。，可求NOEC=60。，由含30度角的直角

三角形的性質(zhì)可求解.

(1)證明：:△ABC、aAOE是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,/B4C=N￡>AE=60。，

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

：./BAD=NCAE,

在△AB。和△ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCA￡

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS),

：.BD=CE；

(2)解：:△AOE是等邊三角形，

ZADE=ZAED=60°,

?.?點(diǎn)B,D,E三點(diǎn)共線

ZADB=]20°,

'：/XABD^^ACE,

：.NAEC=NAOB=120。，

ZCED=ZAEC-ZAED=60°,

'JCDLBE,

ZCDE=90°,

ZDCE=30°,

：.BD=CE=2DE=6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的

判定定理是本題的關(guān)鍵.

24.(2022?安徽?宣州市雁翅鄉(xiāng)初級中學(xué)二模)如圖1,在梯形ABC￡>中，ZA=ZB=90,

AD//BC,AB=\2,AD=2\,,BC=16,一動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，在線段A￡>上以每秒2個

單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，動點(diǎn)。同時從點(diǎn)B出發(fā)在線段8c上以每秒1個單位長度的速

度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)。時，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為/(秒)，

(2)當(dāng)r為何值時，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形

【答案】(1)當(dāng)，=5時，四邊形PQC。是平行四邊形；

⑵當(dāng)，為/或(時，XPQC是以PQ為腰的等腰三角形.

【解析】

【分析】

(1)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故只要令9=。。，建立方程求接即可;

(2)APQC是以PQ為腰的等腰三角形，有兩種情況：?PC=PQ.②CQ=PQ,分別列

方程求解即可.

(1)W：-.AD//BC,即尸O〃QC

:.令PD=QC,四邊形PQC。是平行四邊形，

■.■PD=2\-2t,QC=\6-t

21—2f=16—t,

解得：f=5,

當(dāng)f=5時，四邊形PQC。是平行四邊形；

(2)過點(diǎn)尸作于點(diǎn)E,

-.■EB=AP=2t,PE=AB=\2,

①當(dāng)PC=P。時，

???PEVBC,

又\QE=BE-BQ=AP-BQ,

2

解得：f若,

，當(dāng)f=g時，PC=PQ；

②當(dāng)CQ=PQ時，

■.■EB=AP=2t,

:.QE=BE-BQ=2t-t=t,

?/CQ=16—/,

??.PQ=l6-tf

在RfAPQE中，根據(jù)勾股定理得：

『+122=(167)2,

解得：t=\,

二當(dāng)”;7時，CQ=PQ,

綜上，當(dāng)/為個或1?時，APQC是以PQ為腰的等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的判定、等腰三角形的判定和“三線合一”的性質(zhì)、勾股定理等知

識點(diǎn)，牢固掌握以上知識點(diǎn)并學(xué)會分類討論是做出本題的關(guān)鍵.

25.(2022.河南信陽?八年級期末)教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式/一2"+^及

°2一2必+廿叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添

加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使整個式子的值不變，這種方

法叫做配方法.能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例如：分解因式：X2+2X-3.

原式=x?+2%-3=(x2+2x+1)-4=(%+1)2-22=(x+1+2)(%+1-2)=(x+3)(x-l)

例如.求代數(shù)式2/+4x7的最小值.

原式=21+4X-1=2(犬+2*+1-1)=2*+1)2-3,可知當(dāng)x=-l時，+4x-l有最小值，

最小值是-3.

⑴分解因式：a2-2a-3=;

(2)試說明：x、y取任何實(shí)數(shù)時，多項(xiàng)式V+y2-4x+2y+6的值總為正數(shù)；

(3)當(dāng)“7,"為何值時，多項(xiàng)式旭2-2a〃+2〃2-4n+1有最小值，并求出這個最小值.

【答案】⑴(。-3)(。+1)

⑵見解析

(3)當(dāng)帆=〃=2時，多項(xiàng)式加一2加〃+2/-4〃+1有最小值-3

【解析】

【分析】

(1)仿樣例對含字母的項(xiàng)進(jìn)行配方化成完全平方式，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解因式；

(2)先用配方法把原式化成完全平方式與常數(shù)的和的形式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；

(3)用配方法將多項(xiàng)式“2-2〃?7+2〃2-4〃+1轉(zhuǎn)化(加一”)2+(〃-2)2—3,然后利用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)進(jìn)一步得最小值.

⑴解：a2-2a-3

=a2-2a+l-l-3

=(