數(shù)學(xué)人教A版必修3課堂探究3.1隨機事件的概率（第3課時）

課堂探究1．若事件A與事件B不互斥，則P(A∪B)≠P(A)＋P(B)剖析：否定一個等式不成立，只需舉出一個反例即可．例如：拋擲一枚均勻的正方體骰子，向上的點數(shù)是1或2或3或4或5或6為事件A，且A＝B，則A∪B表示向上的點數(shù)是1或2或3或4或5或6，則P(A)＝P(B)＝P(A∪B)＝1，P(A)＋P(B)＝1＋1＝2，所以此時P(A∪B)≠P(A)＋P(B)，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．上例中P(A∪B)≠P(A)＋P(B)的原因是事件A與事件B不是互斥事件．其實對于任意事件A與B，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)(不要求證明也不要求會用)，那么當(dāng)且僅當(dāng)A∩B＝，即事件A與事件B是互斥事件時，P(A∩B)＝0，此時才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)成立．2．事件與集合之間的對應(yīng)關(guān)系剖析：事件與集合之間的對應(yīng)關(guān)系如下表：事件集合必然事件全集不可能事件空集()事件B包含于事件A(B?A)集合B包含于集合A(B?A)事件B與事件A相等(B＝A)集合B與集合A相等(B＝A)事件B與事件A的并事件(B∪A)集合B與集合A的并集(B∪A)事件B與事件A的交事件(B∩A)集合B與集合A的交集(B∩A)事件B與事件A互斥(B∩A＝)集合B與集合A的交集為空集(B∩A＝)事件A的對立事件集合A的補集(?UA)題型一判斷互斥(對立事件)【例題1】判斷下列各事件是否是互斥事件，如果是互斥事件，那么是否是對立事件，并說明理由．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是女生．解：(1)是互斥事件．理由是在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實質(zhì)是選出“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以是互斥事件．不是對立事件．理由是當(dāng)選出的2名同學(xué)都是女生時，這兩個事件都沒有發(fā)生，所以不是對立事件．(2)不是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”這兩種結(jié)果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”這兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1名男生、1名女生時，它們同時發(fā)生．這兩個事件也不是對立事件．理由是這兩個事件能同時發(fā)生，所以不是對立事件．(3)是互斥事件．理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”這兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生．是對立事件．理由是這兩個事件不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，所以是對立事件．反思判斷互斥事件和對立事件時，主要用定義來判斷．當(dāng)兩個事件不能同時發(fā)生時，這兩個事件是互斥事件；當(dāng)兩個事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生時，這兩個事件是對立事件．題型二概率加法公式的應(yīng)用【例題2】某射箭運動員在一次訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21，0.23,0.25,0.28，計算這個射箭運動員在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)射中7環(huán)以下的概率．分析：(1)利用互斥事件的概率加法公式解決；(2)轉(zhuǎn)化為求對立事件的概率．解：(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，則“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B，事件A和事件B是互斥事件，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)設(shè)“射中7環(huán)以下”為事件C，“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”為事件D，則P(D)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.又事件C和事件D是對立事件，則P(C)＝1－P(D)＝1－0.97＝0.03.所以射中7環(huán)以下的概率是0.03.反思求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的并；二是先求對立事件的概率，進而再求所求事件的概率.題型三易錯辨析【例題3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點、6點的概率都是eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的點數(shù)不超過3”，求P(A∪B)．錯解：設(shè)向上的一面出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點、6點分別記為事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，則它們兩兩是互斥事件，且A＝C1∪C3∪C5，B＝C1∪C2∪C3.P(C1)＝P(C2)＝P(C3)＝P(C4)＝P(C5)＝P(C6)＝eq\f(1,6).則P(A)＝P(C1∪C3∪C5)＝P(C1)＋P(C3)＋P(C5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).P(B)＝P(C1∪C2∪C3)＝P(C1)＋P(C2)＋P(C3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1.錯因分析：錯解的原因在于忽視了“和事件”概率公式應(yīng)用的前提條件，由于“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”與“朝上一面的數(shù)不超過3”這二者不是互斥事件，即出現(xiàn)1或3時，事件A，B同時發(fā)生，所以不能應(yīng)用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B正解：記事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”分別為A1，A2，A3，A4，由題意知這四個事件彼此互斥．則A