貴州省銅仁市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

銅仁市2023年7月高二年級(jí)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置.2．答案全部填寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I部分選擇題（共60分）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解化簡(jiǎn)集合B,即可由交集的運(yùn)算求解.【詳解】由得，所以，故選：C2.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件得到，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，其?duì)應(yīng)點(diǎn)為，在復(fù)平面上為第一象限上的點(diǎn).故選：A.3.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（）A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可得，代入即可求解.【詳解】設(shè)上任意一點(diǎn)，則在上，故，故，故選：D4.音程由兩個(gè)音組成，是和聲的最小單位．有的音聽起來和諧而有的則不和諧，這和音與音之間的波形（正弦型）有關(guān)．比如，1（do）到i（高音do）可以構(gòu)成純八度音程，聽感上十分和諧，這是因?yàn)閮烧卟ㄐ蔚闹芷诒葹?，兩個(gè)聲波在1個(gè)（2個(gè)）周期后就立即重合，并有規(guī)律的進(jìn)行下去．再比如1（do）到5（sol）可以構(gòu)成純五度音程，兩者周期比為3：2，兩個(gè)聲波在2個(gè)（3個(gè)）周期后就立即重合，聽感上也很和諧．也就是說，兩個(gè)音波形的周期比例越簡(jiǎn)單，聽感越和諧．已知在一個(gè)調(diào)性中，1（do）的波形符合函數(shù)（為振幅，為時(shí)間），在音與音之間振幅相同的情況下，與1（do）構(gòu)成純八度音程的i（高音do）、純五度音程的5（sol）的波形函數(shù)分別為（）A.；B.；C.；D.；【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期求解即可；【詳解】由題意知，1（do）到i（高音do）兩者波形的周期比為，又因?yàn)?（do）的波形符合函數(shù)，故則由解得：所以i（高音do）的波形函數(shù)為；1（do）到5（sol）兩者周期比為3：2，故解得：所以純五度音程的5（sol）的波形函數(shù)為；故選；A.5.已知雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.9 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線方程求出漸近線方程，再與比較可求出的值【詳解】由題可得，由，得，所以雙曲線的漸近線方程，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，得，故選：A6.點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率最大時(shí)，直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，利用圓心到直線的距離小于等于1，從而得到不等式，即可得到的最大值.【詳解】設(shè)直線的方程為，即，，即，則圓心，半徑，則由題意得圓心到直線的距離小于等于1，，解得，則的最大值為，此時(shí)直線的方程為，化簡(jiǎn)得，故選：C.7.已知是腰長為2的等腰直角斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，可看成乘以在上的投影，由此求解.【詳解】如圖，則，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，可看成乘以在上的投影，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影最大為2，此時(shí)最大為4，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，在上的投影最小為0，此時(shí)最小為0，故，故選：C.8.已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，同構(gòu)得到，通過構(gòu)造得到原題意即存在，使得，再構(gòu)造，研究最值即可求解.【詳解】，即，即，構(gòu)造，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即存在，使得，記，，令，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)同構(gòu)問題和存在性問題.關(guān)鍵點(diǎn)在于將原式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，得到，進(jìn)而得到自變量的關(guān)系，再通過構(gòu)造函數(shù)研究最值即可.本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下圖是國家衛(wèi)健委給出的全國某種流行病通報(bào)中，甲、乙兩個(gè)省2月份從2月7日到2月13日一周新增該種流行病確診人數(shù)的折線圖：（）A甲省方差比乙省方差大 B.甲省平均數(shù)比乙省平均數(shù)大C.甲省中位數(shù)比乙省中位數(shù)大 D.甲省的極差比乙省極差大【答案】ACD【解析】【分析】利用題中折線圖中的數(shù)據(jù)信息以及變化趨勢(shì)，結(jié)合平均數(shù)、方差、中位數(shù)、極差的計(jì)算公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】甲省的確診人數(shù)依次為28，28，24，27，11，9，13，乙省的確診人數(shù)依次為19，26，24，29，18，17，23，所以甲省的平均數(shù)為，乙省的平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；甲省的方差為，乙省的方差為，故A正確；甲省的中位數(shù)為24，乙省的中位數(shù)為23，故C正確；甲省的極差為，乙省的極差為，故D正確．故選：ACD10.在正方體中，棱長為1，已知點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）A.與不可能垂直B.有無數(shù)條直線與直線平行C.直線與平面所成角為定值D.三棱錐的體積為定值【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可證得平面，然后利用線面垂直的性質(zhì)判斷，對(duì)于B，利用線面平行的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C，由與平面所成的角為定值分析判斷，對(duì)于D，由與平面平行分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谡襟w中，，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面，所以可得過的平面與平面相交，與直線，相交于點(diǎn)，，則∥，所以有無數(shù)條直線與直線平行，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)樵谏?，所以平面，因?yàn)樵谡襟w中，直線與平面所成的角為定值，在上，所以直線與平面所成角為定值，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椤危矫?，平面，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值1，所以，即三棱錐的體積為定值，所以D正確，故選：BCD11.的部分圖象如圖所示．則的表達(dá)式可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)五點(diǎn)法求解，最后根據(jù)正余弦恒等變換解析判斷即可；【詳解】由圖像可知，所以，又因?yàn)?，，結(jié)合函數(shù)圖像五點(diǎn)法可知，當(dāng)解得：即，正余弦三角恒等轉(zhuǎn)化，故選：AC12.已知函數(shù)，是定義域?yàn)榍叶缄P(guān)于對(duì)稱的函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是周期為的周期函數(shù)B.函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱C.D.的圖象與的圖象有8個(gè)交點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件可得為偶函數(shù)，周期，圖象還關(guān)于對(duì)稱，進(jìn)而可判斷A、B、C；再作出的圖象與的圖象可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，是定義域?yàn)榍叶缄P(guān)于對(duì)稱的函數(shù)，所以，，由，得，兩式相減得，即為偶函數(shù).由得，又為偶函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；由，，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，故B正確；因?yàn)楹瘮?shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；顯然可得函數(shù)也為偶函數(shù)，考慮作出函數(shù)和在上的圖象，如圖所示：由圖可知函數(shù)的圖象和的圖象在上共有5個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性可得，的圖象與的圖象共有10個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC第II部分非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程可知拋物線開口方向和幾何量p，然后可得方程.【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程可知，拋物線開口向右，其中，得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：14.的展開式中的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】80【解析】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于4，求出的值，即可求得展開式中的系數(shù)．【詳解】解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15.請(qǐng)舉出一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)且公差不為的等差數(shù)列，使得它的前項(xiàng)和滿足：數(shù)列也是等差數(shù)列，則_________．【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)的一次函數(shù)性、前項(xiàng)和的二次函數(shù)性可知，由此可得到滿足題意的.【詳解】，；若為等差，則，；若，，則滿足題意，此時(shí).故答案為：（答案不唯一，滿足即可）.16.粽子是端午節(jié)期間不可缺少的傳統(tǒng)美食，銅仁的粽子不僅餡料豐富多樣，形狀也是五花八門，有竹筒形、長方體形、圓錐形等，但最常見的還是“四角粽子”，其外形近似于正三棱錐．因?yàn)閷Ⅳ兆影蛇@樣形狀，既可以節(jié)約原料，又不失飽滿，而且十分美觀．如圖，假設(shè)一個(gè)粽子的外形是正三棱錐，其側(cè)棱和底面邊長分別是8cm和6cm，是頂點(diǎn)在底面上的射影．若是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與底面所成角的正切值為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正三棱錐的特征以及線面角的定義可判斷點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，即可求解半徑求解.【詳解】由題意可知是底面等邊三角形的的中心，所以,進(jìn)而,連接,由于底面，所以即為直線與底面所成的角，所以,因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，所以的軌跡長為,故答案為：四、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明．17.在中，，，．（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出，中，利用余弦定理求解即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，又，所以；【小問2詳解】由（1）得，，故，在中，由余弦定理得：，所以．18.來自微碧江的報(bào)道：2023年6月17日，銅仁市碧江區(qū)第二屆房地產(chǎn)交易展示會(huì)在三江公園隆重開幕．據(jù)了解，本次房交會(huì)以政府搭臺(tái)、企業(yè)讓利、政策支持、百姓受益為辦展宗旨，聚集了碧江區(qū)17家房開企業(yè)、18個(gè)樓盤參展，2080套房源、25萬平方米供群眾選購，9大銀行和公積金中心在現(xiàn)場(chǎng)助陣和提供咨詢服務(wù)．本次房交會(huì)從6月17日持續(xù)到6月22日，期間每天都安排有精彩演出、免費(fèi)美食、互動(dòng)游戲、露天電影和游江龍舟五類活動(dòng)．（1）甲、乙兩名市民參加了不同類的活動(dòng)，且每人只參加一類活動(dòng)．已知甲參加了免費(fèi)美食的活動(dòng)，求乙參加游江龍舟活動(dòng)的概率是多少?（2）已知來自某小區(qū)的市民參加互動(dòng)游戲的概率是，設(shè)來自該小區(qū)的2名市民參加互動(dòng)游戲的人數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）已知甲參加了免費(fèi)美食的活動(dòng)，則可求乙在剩下四類活動(dòng)中參加游江龍舟活動(dòng)的概率；（2）依題意可知，即可求二項(xiàng)分布的分布列和期望.【小問1詳解】在甲參加了免費(fèi)美食活動(dòng)的條件下，記“乙參加游江龍舟活動(dòng)的這一事件”為，則.所以已知甲參加了免費(fèi)美食的活動(dòng)，乙參加游江龍舟活動(dòng)的概率是.【小問2詳解】依題意，；；.所以的分布列如下：012的數(shù)學(xué)期望.19.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及它的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）對(duì)已知遞推式變形可得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論；（2）由（1）可求出，然后利用分組求和法可求出【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以20.如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，．（1）證明：；（2）若平面平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取為的中點(diǎn)，通過證明平面，即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算即可.【小問1詳解】證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由題意得：，，又平面，所以平面，平面，所以；【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，由平面垂直性質(zhì)得：，所以兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則.21.已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程；（2）直線：與橢圓分別相交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)不在直線上：（I）試證明直線過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；（II）從點(diǎn)作垂足為，點(diǎn)，寫出的最小值（結(jié)論不要求證明）．【答案】（1）（2）（I）證明見解析，定點(diǎn)；（II）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)垂直關(guān)系，代入根與系數(shù)的關(guān)系即可化簡(jiǎn)求解定點(diǎn)，根據(jù)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即可利用點(diǎn)到圓心的距離求解最值.【小問1詳解】由和，又，得，故的方程：.【小問2詳解】（I）設(shè)，，，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，,，，由，?=0得：，整理得：,代入得，化簡(jiǎn)得，分解得：，由于點(diǎn)不直線上，所以，可得，直線過定點(diǎn).（II）的最小值為．理由：由于直線過定點(diǎn)，不妨設(shè),由于，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心為，半徑為，所以點(diǎn)到圓心距離為，故點(diǎn)到圓上