江蘇省高三數(shù)學(xué)微專題十五-兩個數(shù)列的公共項問題-教案

兩個數(shù)列的公共項問題在全國卷、外省高考壓軸題或自主招生試題中，常有兩個數(shù)列的交集問題，除了我們常見的子數(shù)列問題（如：等差數(shù)列中的等比數(shù)列，等比數(shù)列中的等差數(shù)列）外，還有一些其它的數(shù)列的情況，可轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)列的公共項問題，這種類型在江蘇省內(nèi)的高考中還未涉及，本專題中我們將對此進(jìn)行專門研究．第一節(jié)兩個等差數(shù)列的公共項問題在我們常見的數(shù)列中，有些數(shù)列是沒有公共項的，如數(shù)列和數(shù)列就沒有公共項，那么數(shù)列公共項是什么？怎么樣去尋找公共項呢？我們首先從兩個最簡單、常見的等差數(shù)列的公共項開始．一、數(shù)列公共項的定義：將數(shù)列與看成兩個集合，這兩個集合的交集中的元素按照一定的順序排成一列數(shù)，形成的新數(shù)列，成為兩個數(shù)列的公共數(shù)列，其中的這些元素就是數(shù)列的公共項．【例1】數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的通項公式．通過列舉數(shù)列的前幾項：：3，7，11，15，19，23，27，31，35，…：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…數(shù)列的公共項不需要在兩個數(shù)列中項與項數(shù)相同，只需要項相同即可．比如本題中的11在兩個數(shù)列中都是第3項，它是數(shù)列的公共項，但是23在兩個數(shù)列中，一個為第6項，一個為第7項，它也是數(shù)列的公共項，由此可見：這兩個數(shù)列的公共項從小到大排列是11，23，35，…發(fā)現(xiàn)該數(shù)列是首項為11，公差為12的等差數(shù)列，通項公式為．上述方法通過列舉、觀察，看出兩個等差數(shù)列的公共項還是一個等差數(shù)列，是否具有普遍規(guī)律呢？二、兩個等差數(shù)列公共項的求法：【例1】數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的通項公式．【解析】法一：設(shè)，則，所以，因為3，4互質(zhì)，所以必為4的倍數(shù)，即，所以，即數(shù)列的通項公式為．【點評】通過定義及分析，本題的本質(zhì)是找到符合條件（其中）的二元不定方程的正整數(shù)解問題，可以通過簡單的數(shù)論知識的推演得到問題的結(jié)論．此方法可稱為不定方程法．【分析】回到觀察數(shù)列的公共項的方法中去，我們可以發(fā)現(xiàn)，在找到第一個公共項后，尋找第二個公共項的過程值得總結(jié)：寫出一個數(shù)列中的項，看是否在另一個數(shù)列中．寫出哪個數(shù)列中的項？如何判斷是不是另一個數(shù)列中的項？【解析】法二：由觀察可知，兩個數(shù)列的第一個公共項為11，所以．設(shè)，則，所以不是數(shù)列中的項，不是數(shù)列中的項，是數(shù)列中的項．所以，，則，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為12，首項為11，因此，數(shù)列的通項公式為．【點評】本方法的關(guān)鍵在于尋找下一個公共項，逐個檢驗公差為4的數(shù)列中的后續(xù)項是否為另一個數(shù)列中的項．此方法可稱為周期法．【方法小結(jié)（應(yīng)對策略）】在兩個等差數(shù)列的公共項問題中，可以有兩種方法：1、不定方程法：列出兩個項相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識，求出符合條件的項，并解出相應(yīng)的通項公式；2、周期法：即尋找下一項；通過觀察找到首項后，從首項開始向后，逐項判斷變化較大（如公差的絕對值大）的數(shù)列中的項是否為另一個數(shù)列中的項，并找到規(guī)律（周期），分析相鄰兩項之間的關(guān)系，從而得到通項公式．【跟蹤訓(xùn)練】1．（北師大版必修3第78頁例4）韓信采用下述點兵方法：先令士兵從1~3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2；再令士兵從1~5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3；又令士兵從1~7報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報4；這樣，韓信很快就算出了自己部隊士兵的總?cè)藬?shù)．【解析】根據(jù)士兵報數(shù)結(jié)果可得：士兵的總數(shù)是三個等差數(shù)列，，的公共項所組成的數(shù)列中的項．記，，，新數(shù)列記為．從小到大列舉數(shù)列中的項，并判斷是否為數(shù)列與的項，可得，數(shù)列的首項為，設(shè)，則，所以不是數(shù)列的項；不是數(shù)列的項；不是數(shù)列的項；不是數(shù)列的項；不是數(shù)列的項；不是數(shù)列的項；．．．是兩個數(shù)列中的項．所以，，則，所以數(shù)列的通項公式為．【點評】（1）本題已經(jīng)拓展為三個數(shù)列的公共項問題，可以使用兩次數(shù)列公共項的方法求解，也可以直接求解．（2）本法過程可簡化：，要使同時是兩個數(shù)列中的項，則，均為整數(shù)，所以的最小值為15，所以．（3）本題還可以用不定方程法求解．2．（2011年上海高考文科壓軸題）已知數(shù)列和的通項公式分別為，．將集合中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列，，，，，．（1）求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列中的項，又是數(shù)列中的項；（2）數(shù)列，，，，中有多少不是數(shù)列中的項；（3）求數(shù)列的前項和．【分析】將兩個等差數(shù)列的項組成的集合合并后的新數(shù)列，重復(fù)的項只可能出現(xiàn)一次，此問題可轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)列公共項的問題求解．【解析】將數(shù)列和的公共項從小到大排列，記為數(shù)列．設(shè)，則，即，所以為奇數(shù)，設(shè)，則，．（1）三個最小的數(shù)依次為9，15，21．（2）由數(shù)列，，，，，的構(gòu)成可知，與均為數(shù)列中的項，在和中還有以下項：，因此，數(shù)列中的項從第項起，連續(xù)的4項中只有第項是數(shù)列中的偶數(shù)項，不是數(shù)列中的項，所以數(shù)列，，，，中有10個不是數(shù)列中的項；（3）由（2）可知，數(shù)列的前項中，由數(shù)列中的前項和數(shù)列中的前項偶數(shù)項構(gòu)成，因此，．【點評】本解法避免了求解數(shù)列的通項公式，利用兩個數(shù)列公共項形成的新數(shù)列，找到新數(shù)列的編排規(guī)律，是快速解決本題的關(guān)鍵．【拓展研究】兩個遞增的等差數(shù)列的公共項還是等差數(shù)列．【定理1】設(shè)無窮等差數(shù)列與的公差分別為正數(shù)和，且存在正整數(shù)，使得，則存在正整數(shù)，使得的充要條件是是有理數(shù)．【證明】充分性：設(shè)，即存在正數(shù)使，所以，，所以．充分性成立．必要性：由，可知，，所以，則，顯然為有理數(shù)．必要性成立．【理解】兩個等差數(shù)列已有公共項，若還有公共項，兩個數(shù)列公差之比必須為有理數(shù)．【定理2】設(shè)無窮等差數(shù)列與的公差分別為正數(shù)和（其中，是互質(zhì)的正整數(shù)，），且兩個數(shù)列存在公共項，將這些公共項從小到大排列，則形成的新數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為．【證明】設(shè)存在正整數(shù)，使得，設(shè)為，若．所以，，所以，因為，是互質(zhì)的正整數(shù)，所以（），因為，是使成立的最小正整數(shù)，所以，所以．所以新數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為．【理解】兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新的等差數(shù)列，且新數(shù)列的公差為原來兩個數(shù)列公差的“最小公倍數(shù)”．【推論1】設(shè)無窮等差數(shù)列與的公差分別為正整數(shù)和，則它們的公共項從小到大排列成的新等差數(shù)列的公差為．【推論2】設(shè)無窮等差數(shù)列與的公差分別為既約分?jǐn)?shù)和，則它們的公共項從小到大排列成的新等差數(shù)列的公差為．（說明：為正整數(shù)的最小公倍數(shù)，為正整數(shù)的最大公約數(shù)．）【定理應(yīng)用】【例1再看】數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的通項公式．【分析】數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，公差為，首項為11，因此，通項公式為．【練習(xí)】數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的通項公式．【分析】數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成等差數(shù)列，公差為，首項為，因此，通項公式為．

第二節(jié)與等比數(shù)列有關(guān)的公共項問題與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列的通項公式更為復(fù)雜，涉及指數(shù)函數(shù)類型的問題，在求解中的難度高于等差數(shù)列，但方法卻基本相同，我們依然可以沿用上一講中重點介紹的不定方程法和周期法求解．下面我們結(jié)合具體問題進(jìn)行研究．一、兩個等比數(shù)列的公共項求解【例2】已知數(shù)列的前項的和滿足，數(shù)列的前項的積．?dāng)?shù)列與的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的前項的和．【分析】由題意可知兩個數(shù)列均為等比數(shù)列．其公共項可以用不定方程法求解．【解析】由可得，，所以，即（），因此．由可得，又（），因此．設(shè)，則，所以（）即可，所以，．所以，數(shù)列的前項的和為．【點評】本題主要研究兩個正項等比數(shù)列的公共項問題，尋找二元不定方程的正整數(shù)解為解題關(guān)鍵．【拓展】將等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列研究對于正項等比數(shù)列，我們可以通過取對數(shù)，將等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，因此本題還可以這樣研究：因為，所以令．因為，所以令．經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化，等比數(shù)列與的公共項可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和的公共項問題來研究，研究過程這里就不再贅述．由此，根據(jù)上述思路及第一節(jié)拓展知識可以得到幾個結(jié)論，特別強(qiáng)調(diào)：【推論3】兩個無窮正項數(shù)列與的公比分別為和，且存在正整數(shù)，使得，則存在正整數(shù)，使得的充要條件是是有理數(shù)．【方法指導(dǎo)】1、若兩個等比數(shù)列的各項均為負(fù)數(shù)，如數(shù)列和的公共項，可以先確定所有的公共項的符號均為負(fù)，再轉(zhuǎn)化為兩個正項數(shù)列和的公共項問題求解．2、若兩個等比數(shù)列中的項有正有負(fù)，亦可以先確定公共項的符號特點，再根據(jù)數(shù)列中項的絕對值形成的新數(shù)列的公共項問題求解．如數(shù)列和的公共項問題，數(shù)列和的公共項問題等都可以如此處理．二、等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項問題不是任意的等差數(shù)列和等比數(shù)列都有公共項，也不是都有無窮多個公共項．本專題中均涉及無窮數(shù)列的問題，其公共項也都是無窮項．對于數(shù)列公共項為有限個數(shù)的問題，這里不進(jìn)行探討．【例3】數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的通項公式．【分析】依然可以通過列舉的方法探求解題的思路，體現(xiàn)出特殊到一般的思想．【解析】方法一（周期法）：觀察數(shù)列的前幾項可得，．設(shè)，則．則不是數(shù)列中的項，是數(shù)列中的項，所以，，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為4，首項為8，即通項公式為．【點評】方法與等差數(shù)列中類似，選擇利用進(jìn)行探究的原因是該等比數(shù)列的項變化大，可以快速找到下一個公共項．【解析】方法二（不定方程法）：設(shè)，則，所以，考慮使用二項式定理：，其中，所以，故為奇數(shù)，考慮到，所以為大于等于3的奇數(shù)．所以，即通項公式為．【點評】考慮到2可以用表示，結(jié)合二項式定理，可以順利求解，特別要根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定初始值的取值，否則會出現(xiàn)漏項或者多項的情況．【拓展】由于等比數(shù)列與等差數(shù)列的公共項問題，與等差數(shù)列中的等比子數(shù)列、等比數(shù)列中的等差子數(shù)列問題非常相像，結(jié)論也基本相同，另有專題進(jìn)行研究，本專題中不再深入探討，僅做以下推論：【推論4】等比數(shù)列與等差數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列，一般仍為等比數(shù)列．三、等比數(shù)列與完全多項式型數(shù)列的公共項問題完全多項式指可化為相同的多項式的乘積的形式的多項式．如，等．【例4】數(shù)列與的通項公式分別為，，設(shè)集合，，將集合中的元素由小到大排成的數(shù)列記為，求的前30項的和．【分析】（1）本題是兩個數(shù)列的合并問題，先考慮兩個數(shù)列的公共項的情況，再對兩個數(shù)列的合并過程中項的排列順序進(jìn)行討論研究，找出合并數(shù)列的特征；（2）本題也可以僅找出數(shù)列合并后由小到大排列的前30項（數(shù)據(jù)量?。?，根據(jù)公共項的位置逐個判斷；（3）由于兩個通項公式都非常簡單，故公共項問題首先考慮不定方程法求解．【解析】設(shè)兩個數(shù)列與的公共項從小到大排列為一個新數(shù)列，方法一（不定方程法）：設(shè)，則，所以，，因此，即，所以，，即數(shù)列的通項公式為．方法二（周期法）：首先觀察數(shù)列的前幾項可得，．設(shè)，則．則不是數(shù)列中的項，不是數(shù)列中的項，是數(shù)列中的項，所以，，所以，則數(shù)列的通項公式為．由于，所以不超過（即、）的項中，中有12個，中有16個，減去4個公共項，則為數(shù)列中的第24項，還需要6項，因為，，，，所以這6項依次為．所以前30項的和為．【點評】（1）不定方程法需要對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式較為熟悉，才能順利求解；（2）在確定合并的第24項以后的項的過程中，應(yīng)該根據(jù)數(shù)據(jù)變化的特點，先考慮數(shù)列中的6項，再進(jìn)行檢驗和刪減．【練習(xí)】已知數(shù)列與的通項公式分別為，，設(shè)集合，，將集合中的元素由小到大排成的數(shù)列記為，求數(shù)列的前項的和．【解析】由于，所以不超過（即、）的項中，中有個，中有個，減去個公共項，則為數(shù)列中的第項，因此，為與的較小者．因為，當(dāng)時，，則，此時數(shù)列的前項的和為39．當(dāng)時，，則，因此，數(shù)列的前項的和為．所以，數(shù)列的前項的和為

第三節(jié)與多項式型數(shù)列有關(guān)的公共項問題除等差數(shù)列、等比數(shù)列外，還有不少通項公式不復(fù)雜的數(shù)列，其公共項的求解在高考、競賽、自主招生中有出現(xiàn)的可能，其對應(yīng)不定方程解的求解也較為復(fù)雜，會涉及到數(shù)論的部分知識，如整除、同余等等．這一節(jié)中，我們重點研究多項式型數(shù)列的公共項問題．【例5】數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列是，求數(shù)列的通項公式．【分析】考慮到三次方的展開并不復(fù)雜，需要整理成的形式為除以3余2的形式，考慮使用同余的相關(guān)知識進(jìn)行求解．【解析】方法一（不定方程法）：設(shè)，則，所以，考慮對進(jìn)行分類，分為，其中，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意；所以，，即通項公式為．【點評】1、本題中對參數(shù)進(jìn)行分類時要準(zhǔn)確判斷范圍，不可以用（其中或者）的形式；2、同余知識的使用和書寫要注意規(guī)范；【思考】如果符合題意的分類超過一個，怎么辦？【分析】周期法在研究公共項問題中常常顯得不太簡潔，但在用不定方程法研究受阻時，可利用對變化幅度較大的數(shù)列進(jìn)行逐項考察，直到找到滿足條件的下一個公共項，再指出其關(guān)系，適用于不太熟悉數(shù)論知識的學(xué)生使用．本題中也使用本法進(jìn)行嘗試．【解析】方法二（周期法）：首先觀察數(shù)列的前幾項可得，．設(shè)，則．則不是數(shù)列中的項，不是數(shù)列中的項，是數(shù)列中的項，所以，，所以，所以為等差數(shù)列，公差為3，首項為2，所以數(shù)列的通項公式為．【點評】利用確定的關(guān)系式代入，并找出各項與3的關(guān)系，利用同余的知識，可以大幅度的簡化思維與書寫過程．【練習(xí)】證明：數(shù)列與沒有公共項．【解析】設(shè)，．對進(jìn)行分類，可分為，其中，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，當(dāng)時，不是數(shù)列中的項，因此，數(shù)列與沒有公共項．【點評】本題使用不定方程法證明，使用周期法證明不太合適．【例6】將自然數(shù)中既是完全平方數(shù)，又能被3整除余1的數(shù)由小到大排成，形成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．【分析】本題中的數(shù)滿足兩個條件，再考慮范圍問題，本題可以看成是兩個數(shù)列與的公共項問題．【解析】設(shè)數(shù)列與的通項公式分別為，，它們的公共項由小到大排成的數(shù)列就是．方法一（不定方程法）：設(shè)，則，所以，考慮對進(jìn)行分類，分為，其中，當(dāng)時，，是數(shù)列中的項；當(dāng)時，，是數(shù)列中的項；當(dāng)時，，不是數(shù)列中的項；所以，數(shù)列的通項公式為方法二（周期法）：首先觀察數(shù)列的前幾項可得，．設(shè)，則．則，當(dāng)時不是數(shù)列中的項，當(dāng)