陜西省高三高考教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)（文科）試卷

2021年陜西省高三高考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（文科）（二）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x|≤2x＜16}，B＝{x|y＝log2（9﹣x2）}，則A∩B＝（）A．[﹣1，3） B．（﹣3，3） C．（﹣3，4） D．[﹣1，4）2．復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．一個(gè)年級(jí)有12個(gè)班，每個(gè)班的同學(xué)從1至50排學(xué)號(hào)，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要求每班學(xué)號(hào)為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這里運(yùn)用的是（）A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．抽簽抽樣 D．隨機(jī)抽樣4．已知直線ax+by+c＝0（abc≠0）與圓x2+y2＝1無交點(diǎn)，則三條邊長分別為|a|，|b|，|c|的三角形（）A．是銳角三角形 B．是直角三角形 C．是鈍角三角形 D．不存在5．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（﹣3，0），則m＝（）A． B．8 C．9 D．646．函數(shù)y＝esinx（﹣π≤x≤π）的大致圖象為（）A． B． C． D．7．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足lga＝10b＝，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．記單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a4＝10，a2a3a4＝64，則（）A．Sn+1﹣Sn＝2n+1 B．a(chǎn)n＝2n C．Sn＝2n﹣1 D．Sn＝2n﹣1﹣19．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積是（）A．12π B．4π C．3π D．12π10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）在橢圓上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），，且，則的最小值是（）A． B． C．2 D．311．埃及著名的吉沙（Giza）大金字塔，它的形狀是正四棱錐，大金字塔內(nèi)有著奇妙的走道設(shè)計(jì)，以及神秘的密室，已知它的高度的2倍的平方等于它的側(cè)面積，則高的平方與底面棱長的平方的比值為（）A． B． C． D．12．若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y＝sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．﹣1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，的夾角為30°，則的值為．14．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人數(shù)是6人，則參加該英語測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是．15．已知a＞0，b＞0，a+2b＝2，若2a+4b≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．16．已知數(shù)列{an）滿足a1＝﹣1，an﹣an﹣1＝（﹣1）n?n2，（n≥2，n∈N*），則a100＝．三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求A；（2）若a＝﹣1，求△ABC面積的最大值．18．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長AB＝1，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）若OP＝2，求三棱錐E﹣BCD的體積．19．科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表：x（年齡/歲）26273941495356586061y（脂肪含量/%）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖．（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：（i）求；（ii）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度．（2）若y關(guān)于x的線性回歸方程為，求的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量．附：參考數(shù)據(jù)：＝27，，，＝7759.6，，參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝＝回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝，20．已知拋物線C：y2＝4x，過點(diǎn)（﹣1，0）的直線與拋物線C相切，設(shè)第一象限的切點(diǎn)為P．（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在x軸上的射影為焦點(diǎn)F；（Ⅱ）若過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C相交于兩點(diǎn)A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求直線l與圓M的方程．21．設(shè)f（x）＝x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足f′（1）＝2a，f′（2）＝﹣b，其中常數(shù)a，b∈R．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f′（x）e﹣x．求函數(shù)g（x）的極值．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合，若曲線C的參數(shù)方程為（α是參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ﹣）＝1．（1）將曲線C的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）由直線l上一點(diǎn)向曲線C引切線，求切線長的最小值．[選修45：不等式選講]23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）．（1）若a＝2時(shí)，解不等式f（x）≤4；（2）若不等式f（x）≤4對(duì)一切x∈[a，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合A＝{x|≤2x＜16}，B＝{x|y＝log2（9﹣x2）}，則A∩B＝（）A．[﹣1，3） B．（﹣3，3） C．（﹣3，4） D．[﹣1，4）解：∵A＝{x|﹣1≤x＜4}，B＝{x|9﹣x2＞0}＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝[﹣1，3）．故選：A．2．復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），位于第四象限．故選：D．3．一個(gè)年級(jí)有12個(gè)班，每個(gè)班的同學(xué)從1至50排學(xué)號(hào)，為了交流學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，要求每班學(xué)號(hào)為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這里運(yùn)用的是（）A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．抽簽抽樣 D．隨機(jī)抽樣解：當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣．將總體分段，分段的間隔要求相等，這時(shí)間隔一般為預(yù)先制定的，在第1段內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)．本題中，把每個(gè)班級(jí)學(xué)生從1到50號(hào)編排，要求每班編號(hào)為14的同學(xué)留下進(jìn)行交流，這樣選出的樣本是采用系統(tǒng)抽樣的方法，故選：A．4．已知直線ax+by+c＝0（abc≠0）與圓x2+y2＝1無交點(diǎn)，則三條邊長分別為|a|，|b|，|c|的三角形（）A．是銳角三角形 B．是直角三角形 C．是鈍角三角形 D．不存在解：圓的圓心（0，0），半徑為1，因?yàn)橹本€與圓無交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離為d＝＞1，即a2+b2＜c2，所以以|a|，|b|，|c|為邊的三角形是鈍角三角形．故選：C．5．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（﹣3，0），則m＝（）A． B．8 C．9 D．64解：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（﹣3，0），可得，解得m＝8．故選：B．6．函數(shù)y＝esinx（﹣π≤x≤π）的大致圖象為（）A． B． C． D．解：由于f（x）＝esinx，∴f（﹣x）＝esin（﹣x）＝e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除A，D；又當(dāng)x＝時(shí)，y＝esinx取得最大值，排除B；故選：C．7．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足lga＝10b＝，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：設(shè)lga＝10b＝＝t，t則a＝10t，b＝lgt，c＝，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y＝10t，y＝lgx，y＝的圖象，當(dāng)t＝x3時(shí)，a＞b＞c，當(dāng)t＝x2時(shí)，a＞c＞b，當(dāng)t＝x3時(shí)，c＞a＞b．故選：D．8．記單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a4＝10，a2a3a4＝64，則（）A．Sn+1﹣Sn＝2n+1 B．a(chǎn)n＝2n C．Sn＝2n﹣1 D．Sn＝2n﹣1﹣1解：∵a2a3a4＝64，∴＝64，解得a3＝4．又a2+a4＝10，∴+4q＝10，化為2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2，．q＝2時(shí)，a1＝1；q＝，a1＝16．又等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞增，取q＝2，a1＝1．∴an＝2n﹣1．∴Sn＝＝2n﹣1．Sn+1﹣Sn＝2n+1﹣1﹣（2n﹣1）＝2n．因此只有C正確．故選：C．9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積是（）A．12π B．4π C．3π D．12π解：由三視圖知該幾何體為四棱錐，記作S﹣ABCD，其中SA⊥面ABCD．面ABCD為正方形，將此四棱錐還原為正方體，易知正方體的體對(duì)角線即為外接球直徑，所以2r＝．∴S球＝4πr2＝4π×＝3π．故選：C．10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）在橢圓上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），，且，則的最小值是（）A． B． C．2 D．3解：由可知點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓，過點(diǎn)P作該圓的切線PM，則|PA|2＝|PM|2+|AM|2，得|PM|2＝|PA|2﹣1，∴要使得的值最小，則要的值最小，而的最小值為a﹣c＝2，此時(shí)，故選：B．11．埃及著名的吉沙（Giza）大金字塔，它的形狀是正四棱錐，大金字塔內(nèi)有著奇妙的走道設(shè)計(jì)，以及神秘的密室，已知它的高度的2倍的平方等于它的側(cè)面積，則高的平方與底面棱長的平方的比值為（）A． B． C． D．解：設(shè)大金字塔的底面棱長為2a，高為h，如圖所示：取BC的中點(diǎn)H，O為正方形的中心，連接SO，OH和SH，在正四棱錐S﹣ABCD中，SH⊥BC，OH⊥BC，所以∠SHO是側(cè)面與底面所成的二面角，由題意知斜高SH＝，因?yàn)樗母叨鹊?倍的平方等于它的側(cè)面積，即4××2a×＝4h2，整理得h4﹣a2h2﹣a4＝0，解得＝，即高的平方與底面棱長的平方的比值為．故選：B．12．若x是三角形的最小內(nèi)角，則函數(shù)y＝sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（）A．﹣1 B． C． D．解：若x是三角形的最小內(nèi)角，則xy＝sinx+cosx+sinxcosx＝sinx（1+cosx）+1+cosx﹣1＝（1+sinx）（1+cosx）﹣1≤[（1+sinx）2+（（1+cosx）2]﹣1（當(dāng)且僅當(dāng)1+sinx＝1+cosx時(shí)成立，此時(shí)sinx＝cosx＝，即x＝）即y（max）＝+故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，的夾角為30°，則的值為．解：因?yàn)椋海?sin15°?4cos15°?cos30°＝4sin30°?cos30°＝2sin60°＝．故答案為：．14．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人數(shù)是6人，則參加該英語測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是20．解：∵成績(jī)低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對(duì)應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績(jī)低于60分的頻率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，∵低于60分的人數(shù)是6人，∴參加該英語測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是＝20．故答案為：20．15．已知a＞0，b＞0，a+2b＝2，若2a+4b≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，4]．解：若2a+4b≥m恒成立，可得m≤（2a+4b）min，由a＞0，b＞0，a+2b＝2，2a+4b≥2＝2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝1時(shí)，取得等號(hào)，則m≤4，即m的取值范圍是（﹣∞，4]．故答案為：（﹣∞，4]．16．已知數(shù)列{an）滿足a1＝﹣1，an﹣an﹣1＝（﹣1）n?n2，（n≥2，n∈N*），則a100＝5050．解：根據(jù)題意可得，，?，……，，將這（n﹣1）個(gè)式子相加可得，+（﹣1）2?22；∵a1＝﹣1∴……+（﹣1）2?22﹣1，∴＝（﹣1+22）+（﹣32+42）+……+（﹣992+1002）＝（﹣1+2）（1+2）+（﹣3+4）（3+4）+……+（﹣99+100）（99+100）＝1+2+3+4+……+99+100∴．故答案為：5050．三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求A；（2）若a＝﹣1，求△ABC面積的最大值．解：（1）因?yàn)椋?b﹣c）cosA＝acosC，由題意可得2bcosA＝acosC+ccosA，所以2sinBcosA＝（sinAcosC+sinCcosA）＝sin（A+C）＝sinB，因?yàn)閟inB≠0，所以cosA＝，因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝．（2）因?yàn)閍＝1，A＝，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得（﹣1）2＝b2+c2﹣2bc?，所以4﹣2＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，可得bc≤2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝時(shí)等號(hào)成立，所以S△ABC＝bcsinA≤＝，即△ABC面積的最大值為．18．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長AB＝1，E是PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA∥平面BDE；（2）若OP＝2，求三棱錐E﹣BCD的體積．【解答】（1）證明：連接OE，如圖所示，∵O、E分別為AC、PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA，∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE；（2）解：取OC中點(diǎn)F，連接EF，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EF為△POC的中位線，則EF∥PO，且EF＝OP＝1，又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴．19．科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表：x（年齡/歲）26273941495356586061y（脂肪含量/%）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖．（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：（i）求；（ii）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并刻畫它們的相關(guān)程度．（2）若y關(guān)于x的線性回歸方程為，求的值（精確到0.01），并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量．附：參考數(shù)據(jù)：＝27，，，＝7759.6，，參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝＝回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為＝，解：（1）根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖知，（?。?；………………（ⅱ）回歸系數(shù)r＝＝…………＝＝………………＝；……………因?yàn)?，，所以r≈0.98；…………………由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.98，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng)；……（2）因?yàn)榛貧w方程為，即，所以；【或利用＝＝……………所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，將x＝50代入線性回歸方程得；………………所以根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)年齡為50歲時(shí)人的脂肪含量為28.56%．…………………20．已知拋物線C：y2＝4x，過點(diǎn)（﹣1，0）的直線與拋物線C相切，設(shè)第一象限的切點(diǎn)為P．（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在x軸上的射影為焦點(diǎn)F；（Ⅱ）若過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C相交于兩點(diǎn)A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求直線l與圓M的方程．解：（I）證明：由題意知可設(shè)過點(diǎn)（﹣1，0）的直線方程為x＝ty﹣1聯(lián)立得：y2﹣4ty+4＝0，又因?yàn)橹本€與拋物線相切，則△＝0，即t＝±1，當(dāng)t＝1時(shí)，直線方程為y＝x+1，則聯(lián)立得點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2），又因?yàn)榻裹c(diǎn)F（1，0），則點(diǎn)P在x軸上的射影為焦點(diǎn)F；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立得：y2﹣4my﹣8＝0，則△＞0恒成立，y1y2＝﹣8，y1+y2＝4m，則，由于圓M是以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，則，x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝04m2+8m+3＝0，則或，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為y＝﹣2x+4，圓M的方程為，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，圓M的方程為．21．設(shè)f（x）＝x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足f′（1）＝2a，f′（2）＝﹣b，其中常數(shù)a，b∈R．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）設(shè)g（x）＝f′（x）e﹣x．求函數(shù)g（x）的極值．解：（I）∵f（x）＝x3+ax2+bx+1∴f'（x）＝3x2+2ax+b．令x＝1，得f'（1）＝3+2a+b＝2a，解得b＝﹣3令x＝2，得f'（2）＝12+4a+b＝﹣b，因此12+4a+b＝﹣b，解得a＝﹣，因此f（x）＝x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）＝﹣，又∵f'（1）＝2×（﹣）＝﹣3，故曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣）＝﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1＝0．（II）由（I）知g（x）＝（3x2﹣3x﹣3）e﹣x從而有g(shù)'（x）＝（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）＝0，則x＝0或x＝3∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x∈（0，3）時(shí)，g'（x）＞