一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系（原卷版）-1

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系一、一元二次方程的有關(guān)概念1、一元二次方程的概念：只有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程?！咀⒁狻恳粋€(gè)方程若是一元二次方程，必須具備三個(gè)條件：=1\*GB3①是整式方程；=2\*GB3②只含有一個(gè)未知數(shù)；=3\*GB3③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。這樣的方程才是一元二次方程，不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理都能化成如下形式：這種形式叫一元二次方程的一般形式，其中是二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)。3、一元二次方程的根：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。二、一元二次方程根的判別式與解集式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用表示，即=（1）當(dāng)>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；此時(shí)，方程的解集為：（2）當(dāng)=0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；此時(shí)，方程的解集為：（3）當(dāng)<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。此時(shí)，方程的解集為三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果的兩根、，那么，2、常見(jiàn)的涉及到一元二次方程兩根、的代數(shù)式的重要變形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）四、一元二次方程的解法（1）直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解；（2）配方法：通過(guò)方程的簡(jiǎn)單變形，將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，則可以直接開平方求解；（3）公式法：將一元二次方程中的系數(shù)，，的值代入式子中求解；（4）因式分解法：通過(guò)移項(xiàng)將等式右邊變成0，再因式分解，令每個(gè)因式為0即可求解。題型一求一元二次方程的解集【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程的解集是（）A．B．C．D．【變式11】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）方程的解集是（）A．B．C．D．【變式12】（2022秋·湖北恩施·高一?？茧A段練習(xí)）解下列方程：（1）；（2）.【變式13】（2022秋·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）（2）題型二根據(jù)一元二次方程的解求參數(shù)【例2】（2022·江蘇蘇州·高一常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是0，則的值是（）A．B．2C．0D．或2【變式21】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根是，則方程的另一個(gè)根是.【變式22】（2022秋·甘肅蘭州·高一?？计谀┤绻匠痰慕鉃?，則實(shí)數(shù)的值分別是（）A．B．C．D．【變式23】（2022秋·北京西城·高一北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）方程的解集是，則的值是.【變式24】（2022秋·吉林白城·高一?？茧A段練習(xí)）（）等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為，且是關(guān)于的一元二次方程的兩根，則的值為（）A．15B．16C．17D．18題型三判別式與根的個(gè)數(shù)問(wèn)題【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.【變式31】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于x的方程的解集是單元集，求實(shí)數(shù)m的值.【變式32】（2022秋·山東東營(yíng)·高一利津縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程的兩根同號(hào)，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式33】（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值.（1）有一根為；（2）有兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)根；（3）兩根互為倒數(shù).題型四利用根與系數(shù)的關(guān)系求值【例4】（2023秋·重慶·高一開學(xué)考試）設(shè)是方程的兩根，那么的值是（）A．B．C．D．【變式41】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知方程的兩根分別為、，則（）A．B．C．D．【變式42】（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為，則．【變式43】（2022秋·遼寧朝陽(yáng)·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程的兩根為與，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【變式44】（2022秋·浙江臺(tái)州·高一臺(tái)州一中?？奸_學(xué)考試）已知、是方程的兩根，則的值為.【變式45】（2022秋·北京·高一?？茧A段練習(xí)）若，且，，則的值為．【變式46】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知a、b是方程的兩個(gè)根，則的值為．題型五利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程【例5】（2022秋·福建漳州·高一?？奸_學(xué)考試）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，且，，則該一元二次方程是（）A．B．C．D．【變式51】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)m、n滿足m＋n＝4，，則以m、n為兩根的一個(gè)一元二次方程可以是.【變式52】（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學(xué)?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根分別為，則以和為根的一元二次方程可以是.【變式53】（2022秋·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，，則以為根的一元二次方程是．題型六利用根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)【例6】（2022秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期中）已知關(guān)于的方程的兩根分別是，且滿足，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2B．3C．4D．5【變式61】（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.若滿足，則實(shí)數(shù)k的取值為（）A．或6B．6C．D．