2023-2024學(xué)年福建省莆田二中高二（上）返校數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省莆田二中高二（上）返校數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.設(shè)z=2+i1A.1?2i B.1+2i2.已知直線l的一個(gè)方向向量為AB=(?3,A.30° B.60° C.120°3.設(shè)直線l的斜率為k，且?1≤k<3，求直線lA.[0,π3)∪(3π4.已知向量a=(1,1)，bA.λ+μ=1 B.λ+μ5.如圖：在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1

A.?12a+12b+c6.已知圓錐PO的底面半徑為3，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB=A.π B.6π C.3π7.已知O為△ABC的外心，且AO=λAB+(1?λ)A.[110,320] B.[8.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，NA.25 B.42 C.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知直線l的傾斜角等于30°，且l經(jīng)過點(diǎn)(0,1A.l的一個(gè)方向向量為n=(3,1) B.l的一個(gè)法向量為m=(1,10.有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，xA.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù)

B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù)

C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，?，11.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6A.事件B與C互斥 B.P(A?B)=34

C.12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有(

)A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知向量a，b滿足|a?b|=3，14.過點(diǎn)(3,?2)且在x軸、y15.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為23；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為12.假定每局之間相互獨(dú)立且無平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為______16.已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制(先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束)；方案二：五局三勝制(先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束)．

(1)若選擇方案一，求甲獲勝的概率；

(2)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，若“兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之和不大于18.(本小題12.0分)

已知直線l的方程為(a+1)x+y?5?2a=0(a∈R)．

(1)求直線l過的定點(diǎn)19.(本小題12.0分)

如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D中，AB=2，AA1=4.點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC20.(本小題12.0分)

已知△ABC的頂點(diǎn)B(3,2)，AB邊上的高所在的直線方程為x?2y?5=0．

(1)求直線AB的方程；

21.(本小題12.0分)

為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，廣州市有關(guān)單位舉行了“五四”青年節(jié)團(tuán)知識(shí)競賽活動(dòng)，為了解全市參賽者成績的情況，從所有參賽者中隨機(jī)抽樣抽取100名，將其成績整理后分為6組，畫出頻率分布直方圖如圖所示(最低90分，最高150分)，但是第一、二兩組數(shù)據(jù)丟失，只知道第二組的頻率是第一組的2倍．

(1)求第一組、第二組的頻率各是多少？

(2)現(xiàn)劃定成績大于或等于上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)為“良好”以上等級(jí)，根據(jù)直方圖，估計(jì)全市“良好”以上等級(jí)的成績范圍(保留1位小數(shù))；

(3)現(xiàn)知道直方圖中成績在[130,140)內(nèi)的平均數(shù)為136，方差為8，在22.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1=2，∠ACC1=60°.D，E分別是線段AC，CC1

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵i2=?1，i5=i，

∴z=2+i1+i2+2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為AB=(?3,3)，

所以直線l的斜率k=tanα=3?33.【答案】D

【解析】解：直線l的斜率為k，且?1≤k<3，

∴?1≤tanα<3，α∈[0,π)，

4.【答案】D

【解析】解：∵a=(1,1)，b=(1,?1)，

∴a+λb=(λ+1,1?λ5.【答案】A

【解析】【分析】

利用向量的運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則表示出BM．

本題考查利用向量的運(yùn)算法則將未知的向量用已知的基底表示從而能將未知向量間的問題轉(zhuǎn)化為基底間的關(guān)系解決．

【解答】

解：∵BM=BB1+B1M

6.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為h，即PO=h，取AB的中點(diǎn)E，連接PE、OE，

由于圓錐PO的底面半徑為3，即OA=OB=3，

而∠AOB=120°，故AB=OA2+OB2?2OA?OB?cos120°=3+3+3=3，

同時(shí)OE=OA×sin307.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锳O=λAB+(1?λ)AC，

所以CO=λCB，

又因?yàn)镺為△ABC的外心，

所以△ABC為直角三角形且AB⊥AC，O為斜邊BC的中點(diǎn)，

過A作BC的垂線AQ，垂足為Q，

因?yàn)锽A在BC上的投影向量為μBC，

所以O(shè)A在BC上的投影向量為OQ=BQ?BO=μBC8.【答案】A

【解析】解：分別取CC1、DD1的中點(diǎn)E、F，連接BE、EF、AF，設(shè)BE∩CN=O，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，CC1//DD1且CC1=DD1，

因?yàn)镋、F分別為CC1、DD1的中點(diǎn)，則CE//DF且CE=DF=1，

故四邊形DCEF為平行四邊形，故EF//CD且EF=CD=2，

因?yàn)锳B//CD且AB=CD，∴AB//EF且AB=EF，故四邊形ABEF為平行四邊形，

因?yàn)锽C=CC1，CE=C1N，∠BCE=∠CC1N=90°，故Rt△BCE≌Rt△CC19.【答案】AC【解析】解：直線l的傾斜角等于30°，

則直線l的斜率為tan30°=33，

對(duì)于A，直線l的斜率為33，

則直線l的一個(gè)方向向量為n=(3,1)，故A正確，

對(duì)于B，法向量m=(1,3)與直線l不垂直，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，直線3x?3y+2=10.【答案】BD【解析】解：A選項(xiàng)，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)不一定等于x1，x2，?，x6的平均數(shù)，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x3+x42，x1，x2，?，x6的中位數(shù)等于x3+x42，B正確；

C選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6為0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，?，x6的平均數(shù)是5，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是5，

x1，x2，?，x6的方差s111.【答案】BD【解析】解：由題意得，事件A的樣本點(diǎn)為{1,3,5,7}，

事件B的樣本點(diǎn)為{1,2,3,4}，

事件C的樣本點(diǎn)為{2,3,5,7}，

對(duì)于A，事件B與C共有樣本點(diǎn)2，3，所以不互斥，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，A∪B事件樣本點(diǎn){1,2,3,4,5,7}，所以P(A∪B)12.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1>0.99，選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，如圖，

正方體內(nèi)部最大的正四面體D?A1BC1的棱長為12+12=2>1.4，選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，棱長為1的正方體的體對(duì)角線為3<1.8，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，如圖，六邊形EFGHIJ為正六邊形，E，F(xiàn)，G，H，I，J為棱的中點(diǎn)，

高為0.01米可忽略不計(jì)，看作直徑為1.2米的平面圓，

六邊形EFGHIJ棱長為22米，∠GFH=∠GHF=30°，

所以FH=3FG=13.【答案】3【解析】解：∵|a?b|=3，|a+b|=|2a?b|，

∴14.【答案】2x+3【解析】解：由題知，若在x軸、y軸上截距均為0，

即直線過原點(diǎn)，又過(3,?2)，則直線方程為y=?23x，

若截距不為0，設(shè)在x軸、y軸上的截距為a，

則直線方程為xa+ya=1，

又直線過點(diǎn)(3,?2)，

則315.【答案】724【解析】解：第一局甲勝，第二局乙勝：

若第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為23，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為12，

若第一局乙執(zhí)黑子先下，則甲勝第一局的概率為12，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為12，

所以第一局甲勝，第二局乙勝的概率為P=12×216.【答案】40π

2【解析】解：設(shè)PC中點(diǎn)為O，則OP=OC=OD=OB=OA=10，

所以O(shè)為四棱錐P?ABCD外接球的球心，10為該球半徑，

所以其表面積為4π(10)2=40π；

如圖，將△PAC繞AC翻折到與△DAC所在面重合，

連接PB，交AC于點(diǎn)Q，此時(shí)17.【答案】(1)由題意可得，選擇方案一，三局兩勝制，記甲獲勝的事件為A

甲獲勝事件A包含甲連勝兩局記為A1；甲第一局負(fù)，第二、三局勝記為A2；

甲第一局勝，第二局負(fù)、第三局勝記為A3.且A1，A2，A3，互斥，且每局比賽相互獨(dú)立，

則P(A1)=23×23=49，P(A2)=13×23×23=827,P(A3)=23×13×23=827，

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=49+827+827=2027，

∴甲獲勝的概率為2027．

(2)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)為(a,b)，有36個(gè)樣本點(diǎn)，

為(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(1,【解析】(1)由互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可得解；

(218.【答案】解：(1)由題意，直線l的方程可化為(a+1)x+y?5?2a=0，

聯(lián)立方程組x?2=0x+y?5=0，解得x=2y=3，

所以直線l過的定點(diǎn)P(2,3)．

(2)設(shè)直線xa+yb=1(a>0,b>【解析】(1)將直線l的方程變形，列出方程組即可求解；

(2)利用直線的截距式方程設(shè)出直線l的方程，根據(jù)19.【答案】解：(1)證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：

B2(0,2,2)，C2(0,0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)，

∴B2C2=(0,?2,1)，A2D2=(0,?2,1)，

∴B2C2=A2D2，又B2，C2，A2，D2四點(diǎn)不共線，

∴B2C2//A2D2；

(【解析】(1)建系，根據(jù)坐標(biāo)法及向量共線定理，即可證明；

(220.【答案】解：(1)因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為x?2y?5=0，

所以直線AB的斜率為k=?2，又△ABC的頂點(diǎn)B(3,2)，

所以直線AB的方程為y?2=?2(x?3)，即2x+y?8=0；

(2)若選①，角A的平分線所在直線方程為x+2y?13=0，

由2x+y?8=0x+2y?13=0，解得x=1y=6，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為A(1,6)，

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x+2y?13=0的對(duì)稱點(diǎn)為B′(x0,y0)，【解析】(1)根據(jù)AB邊上的高所在的直線方程，可求得直線AB的斜率，再求出直線AB的方程；

(2)選①，先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再求得點(diǎn)B關(guān)于角A的平分線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，該對(duì)稱點(diǎn)一定在直線AC上，由此可求得直線AC的方程；

選②，聯(lián)立方程，先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)BC邊上的中線所在的直線方程，求出點(diǎn)21.【答案】解：(1)設(shè)第一組的頻率為a，則第二組的頻率為2a，

由題意可得3a+(0.034+0.03+0.018+0.006)×10=1，解得a=0.04，

因此，第一組的頻率為0.04，第二組的頻率為0.08；

(2)設(shè)樣本的第75百分位數(shù)為m，前三個(gè)矩形的面積之和為0.12+0.34=0.46，

前四個(gè)矩形的面積之和為0.46+0.3=0.76，所以，m∈(120,130)，

由百分位數(shù)的定義可得0.46+(m?120)×【解析】(1)設(shè)第一組的頻率為a，則第二組的頻率為2a，利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1可求得a的值，即可得解；

(2)計(jì)算出樣本的第75百分位數(shù)，即可得出全市“良好”以上等級(jí)的成績范圍；22.【答案】解：(1)證明：連接AC1，如圖所示：

在三棱柱ABC?A1B1C1中，四邊形AA1C1C為菱形，∴A1C⊥AC1，

∵D，E分別為AC，CC1中點(diǎn)，∴DE//AC1，

∴A1C⊥DE，

又D為線段AC中