北京市西城區(qū)北師大實驗高三上學期月月考數(shù)學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精北京師范大學附屬實驗中學12月高三月考試題數(shù)學(理科）第Ⅰ卷(選擇題共40分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題列出的四個選項中，選中符合題目要求的一項1。已知全集,集合，則()．A。B.C。D.【答案】B【解析】∵集合或，∴．故選．2。在平面直角坐標系中,已知，，,則的值為（）．A.B。C。D.【答案】B【解析】在平面直角坐標系中，已知,,,則。所以。故選B。3.已知數(shù)列的前項和，則（）．A.B。C。D.【答案】D【解析】．故選．4.為了得到函數(shù)的圖像，只需把的圖像上所有的點（)．A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D。向右平移個單位長度【答案】C【解析】由，，因此，為了得到的圖像，只需將的圖像上所有的點向左平移個單位長度．故選．5。“”是“函數(shù)在內存在零點”的（)．A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)在內存在零點,則，解得或.所以“”是“函數(shù)在內存在零點”的充分而不必要條件。故選A.點睛:解本題的關鍵是處理二次函數(shù)在區(qū)間上的零點問題，對于二次函數(shù)的研究一般從以幾個方面研究：一是，開口；二是，對稱軸,主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關系；三是,判別式，決定于x軸的交點個數(shù)；四是,區(qū)間端點值.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為()．A.B.C。D.【答案】D【解析】∵，∴，當時,，∴，當時，,∴，綜上所述，的解集為．故選．7.已知直線，若存在實數(shù)，使直線與曲線交于兩點、，且,則稱曲線具有性質,給定下列三條曲線方程:①；②；③．其中，具有性質的曲線的序號是（）．A.①②B。②C.③D.②③【答案】D【解析】①．與直線至多一個交點，故①不具性質．②．，圓心為，半徑為，直線過定點,故存在，使直線與曲線交于、兩點，且，具有性質．③過點，直線過定點，故存在,使得直線與曲線交于、兩點，且,具有性質．綜上，具有性質的曲線的序號是②③．故選．8.甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分別住在、、、、號房間，現(xiàn)已知：（)甲與乙不是鄰居；（）乙的房號比丁小;（）丙住的房是雙數(shù);（）甲的房號比戊大．根據(jù)上述條件,丁住的房號是（）．A.號B。號C。號D.號【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，、、、、號房間分別住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房號是．故選．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共6小題,每小題5分，共30分9.設，若復數(shù)在復平面內對應的點位于實軸上，則__________．【答案】—1【解析】復數(shù)，因為該復數(shù)在復平面內對應的點在數(shù)軸上，所以．故．點晴：本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念。首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如，其次要熟悉復數(shù)的相關基本概念，如復數(shù)的實部為,虛部為，模為，在復平面上對應的點為。10。設，，,則、、從大到小的順序為__________．【答案】【解析】，,∴，，∴，∴．點晴：本題考查的是對數(shù)式的大小比較。解決本題的關鍵是利用對數(shù)函數(shù)的單調性比較大小,當指、對函數(shù)的底數(shù)大于0小于1時，函數(shù)單調遞減，當?shù)讛?shù)大于1時，函數(shù)單調遞增;另外由于指數(shù)函數(shù)過點(0，1），對數(shù)函數(shù)過點(1，0），所以還經(jīng)常借助特殊值0,1比較大小11。在中，點為邊的中點，若，且，則__________．【答案】1【解析】∵是的中點，∴，又∵,∴,，∴．12。雙曲線的離心率為__________；若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則__________．【答案】(1).(2）.2【解析】∵雙曲線，∴焦點坐標為，，雙曲線的離心率，∵橢圓的焦點與雙曲線的焦點相同,∴，∴．13.已知點在不等式組,表示的平面區(qū)域內，則點到直線距離的最大值為__________．【答案】4【解析】結合不等式組表示的平面區(qū)域（如圖所示），當點落在時，點到直線距離的最大值為?？键c：1。簡單線性規(guī)劃的應用;2.點到直線的距離.14.設，定義為不小于實數(shù)的最小整數(shù)（如，），若，則滿足的實數(shù)的取值范圍是__________；若，則方程的根為__________．【答案】（1).(2)。-4【解析】∵，∴，故,設，則，,∴原方程等價于，即，從而，∴或,相應的為，,故所有實根之和為．三、解答題:本大題共小題,共分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求函數(shù)的最小正周期及單調遞減區(qū)間．【答案】（Ⅰ）1．（Ⅱ)最小正周期,,．【解析】試題分析:（Ⅰ）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式,然后求的值;

(Ⅱ）直接利用正弦函數(shù)的周期的求法，以及三角函數(shù)的單調性直接求函數(shù)的單調遞減區(qū)間.試題解析：（Ⅰ）函數(shù),∴．(Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，∴的最小正周期，令,則，，∴函數(shù)的單調遞減區(qū)間為,．16。在中，角、、所對的邊分別為、、,設,．（Ⅰ）若,求的值．（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）由正弦定理化簡已知可得，利用余弦定理可得，計算可得出b的值.

（Ⅱ）由三角形內角和可得,從而,利用兩角差的正弦公式,特殊角的三角函數(shù)、同角三函數(shù)基本關系式,計算可得tanC值。試題解析：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理可得:,由余弦定理可得：,,，∴，∴，解得．(Ⅱ）∵，∴，∴，即：，∴，∴．點睛：本題考查的是解三角形問題。在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,利用正弦定理把題目中角的關系轉化為邊的關系，再結合余弦定理可得解。有時需將邊的關系轉化為角的關系；另外在解三角形時,兩角差的正弦公式、三角形內角和及同角三角函數(shù)間的基本關系應用也比較廣泛。17.已知定圓,定直線，過的一條動直線與直線相交于,與圓相交于,兩點,是中點．（Ⅰ）當與垂直時，求證:過圓心．（Ⅱ）當,求直線的方程．（Ⅲ）設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由．【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）或．（Ⅲ）．【解析】試題分析：（I）由已知,故,所以直線的方程為,即可證明；（II)當直線與軸垂直時,易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；（III）當與軸垂直時，易得，,求得;當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的方程為,代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關系，化簡即可求解定值。試題解析:（Ⅰ）由已知,故，所以直線的方程為。將圓心代入方程易知過圓心。（Ⅱ）當直線與軸垂直時，易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為,由于，所以，由，解得。故直線的方程為或.（Ⅲ）當與軸垂直時,易得，，又，則，，故,即.當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的方程為,代入圓的方程得,則.，即,。又由得，則。故，綜上，的值為定值，且。另解一：連結，延長交于點,由（Ⅰ）知，又于，故。于是有。由，，得.故.另解二:連結并延長交直線于點，連結,，由（Ⅰ）知，又,所以四點都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得.考點：直線與圓的位置關系；向量的運算.【方法點晴】本題主要考查了直線與圓的位置關系、向量的運算,其中解答中涉及到直線的方程、點到直線的距離公式、一元二次方程中根與系數(shù)的關系等知識點的綜合考查,著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及分類討論和轉化與化歸思想的應用，其中解答中直線方程和圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系是解答的關鍵，屬于中檔試題.18.已知函數(shù),．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值．（Ⅱ）是否存在一次函數(shù),使得對于，總有,且成立？若存在，求出的表達式;若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．試題解析：（Ⅰ）的定義域為，，，易知時,，時，，∴在上單調遞減,在上單調遞增，∴當時,取得最小值為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以,故可證，代入，得恒成立，∴，∴，，設，則，當時，，當時,,∴在上單調遞減,在上單調遞增,∴,即對一切恒成立，綜上，存在一次函數(shù)，使得對于，總有，且，．19.已知橢圓過點，兩點．(Ⅰ）求橢圓的方程及離心率．（Ⅱ)設為第三個象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點,直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析?！窘馕觥吭囶}分析：（Ⅰ)根據(jù)兩頂點坐標可知，的值,則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質及離心率公式求解；（Ⅱ)四邊形的面積等于對角線乘積的一半,分別求出對角線,的值求乘積為定值即可．試題解析：（Ⅰ)由題意得，．所以橢圓的方程．又，所以離心率．（Ⅱ）設,則．又，，所以，直線的方程為．令，得，從而．直線的方程為．令，得，從而所以四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．考點:1、橢圓方程;2、直線和橢圓的關系．【方法點晴】本題考查橢圓的方程與幾何性質、直線與橢圓的位置關系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運算求解能力、方程思想與分類討論的思想．第一小題根據(jù)兩頂點坐標可知,的值,則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質及離心率公式求解；第二小題四邊形的面積等于對角線乘積的一半，分別求出對角線，的值求乘積為定值即可．20。若無窮數(shù)列滿足：只要，必有,則稱具有性質．（Ⅰ）若具有性質，且，，，,，求．（Ⅱ）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質,并說明理由．（Ⅲ)設是無窮數(shù)列，已知，求證：“對任意，都具有性質”的充要條件為“是常數(shù)列”．【答案】(Ⅰ）;（Ⅱ）見解析;(Ⅲ）見解析.【解析】試題分析：（1)根據(jù)已知條件，得到，結合求解．（2）根據(jù)的公差為，的公比為,寫出通項公式,從而可得．通過計算，，，，即知不具有性質．（3)從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．試題解析：（1)因為,所以，,．于是,又因為，解得．（2）的公差為，的公比