第2章一元二次函數(shù)方程和不等式知識(shí)點(diǎn)清單高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版

新教材湘教版2019版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第2章知識(shí)點(diǎn)清單目錄第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1相等關(guān)系與不等關(guān)系2.1.1等式與不等式2.1.2基本不等式2.1.3基本不等式的應(yīng)用2.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程2.3一元二次不等式第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1相等關(guān)系與不等關(guān)系2.1.1等式與不等式一、不等式的性質(zhì)及其推論1.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.性質(zhì)2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.性質(zhì)3：如果a>b，那么a+c>b+c.性質(zhì)4：如果a>b，c>0，那么ac>bc.如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)5：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N+性質(zhì)6：如果a>b，且ab>0，那么1a<1b.如果a>b，且ab<0，那么1a>2.不等式性質(zhì)的推論推論1：如果a+b>c，那么a>cb.推論2：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.推論3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推論4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N+).（1）在應(yīng)用不等式的性質(zhì)及其推論時(shí)，一定要弄清它們成立的前提條件.（2）要注意各性質(zhì)和推論是否具有可逆性.二、比較實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小?1.作差比較法(1)依據(jù)：ab>0?a>b；ab<0?a<b；ab=0?a=b.(2)應(yīng)用范圍：數(shù)(式)的大小不明顯，作差后可化為積或商的形式.(3)步驟：①作差；②變形；③判斷符號(hào)；④下結(jié)論.(4)變形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.2.作商比較法(1)依據(jù)：a>0，b>0且ab>1?a>b；a>0，b>0且ab<1?(2)應(yīng)用范圍：同號(hào)兩數(shù)比較大小.(3)步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④下結(jié)論.三、利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍?1.解決此類問題，一般先建立待求范圍的整體與已知范圍的關(guān)系，然后利用不等式

的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求式的范圍.2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，但這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.2.1.2基本不等式2.1.3基本不等式的應(yīng)用一、基本不等式不等式變形等號(hào)成立的條件注意a2+b2≥2abab≤a2+b22當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立a，b∈Ra+b2≥a+b≥2aba≥0，b≥0一般地，對(duì)于正數(shù)a，b，我們把a(bǔ)+b2稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a，b的幾何平均數(shù)二、基本不等式與最值已知x，y都為正數(shù)，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2p；(2)如果和x+y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值s2上述結(jié)論可歸納為“和定積最大，積定和最小”.三、利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)?1.利用基本不等式求最值必須滿足三個(gè)條件才可以進(jìn)行，即“一正，二定，三相等”.(1)“一正”：各項(xiàng)必須都是正值.例如：代數(shù)式x+1x，當(dāng)x<0時(shí)，絕不能認(rèn)為x+1x≥2，即x+1x的最小值為2.事實(shí)上，當(dāng)x<0時(shí)，x+1x=(-x)+1-x≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x，即x=1時(shí)，(2)“二定”：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值.例如：已知0<x<52，求(52x)x的最大值，需變形為(52x)·2x·12，這時(shí)2x+(52x)=5為定值，且2x>0，52x>0.當(dāng)2x=52x，即x=54時(shí)，[(52x)x]max(3)“三相等”：必須驗(yàn)證等號(hào)是否成立.特別是在連續(xù)使用基本不等式求最值時(shí)，要求必須同時(shí)滿足任何一步等號(hào)成立的字母取值存在且一致.四、利用基本不等式求最值?1.利用基本不等式求最值有關(guān)問題的關(guān)鍵是湊出“和”或“積”為定值，并保證等號(hào)成立，常見的方法技巧如下：(1)拆(裂項(xiàng)拆項(xiàng))：對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定值創(chuàng)造條件.(2)并(分組并項(xiàng))：目的是分組后各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式，或分組后先對(duì)一組應(yīng)用基本不等式，再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值.(3)配(配式、配系數(shù)，湊出定值)：有時(shí)為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配出的式子與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項(xiàng)之和為定值.(4)換(常值代換、變量代換)：對(duì)條件變形，以進(jìn)行“1”的代換，從而構(gòu)造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a，b，x，y均為正數(shù))，求1x+1y的最小值”和“已知ax+by=m(a，b，x，y均為正數(shù))，2.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程2.3一元二次不等式一、二次函數(shù)的零點(diǎn)1.一般地，我們把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的實(shí)數(shù)x叫作二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).這樣，一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).二、一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.2.解形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)的一元二次不等式的一般步驟：(1)確定對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的根；(2)畫出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的大致圖象；(3)由圖象得出不等式的解集.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的一元二次不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再按上述步驟求解.三、三個(gè)“二次”之間的關(guān)系二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式(即三個(gè)“二次”)之間的關(guān)系如下(其中a，b，c為常數(shù)，a>0)：Δ=b24acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=b沒有實(shí)根一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集{x|x<x1或x>x2}x|x∈R且R一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集{x|x1<x<x2}??四、一元二次不等式的應(yīng)用1.利用一元二次不等式解決實(shí)際問題的一般步驟(1)理解題意，分清量與量之間的關(guān)系；(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為一元二次不等式問題；(3)解這個(gè)一元二次不等式，結(jié)合實(shí)際檢驗(yàn)，得到實(shí)際問題的解.五、含參數(shù)的一元二次不等式的解法?解含參數(shù)的一元二次不等式的基本方法——分類討論1.解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，為了做到分類不重不漏，討論一般需從如下幾個(gè)方面考慮：(1)關(guān)于二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)的討論：分a>0，a<0.(注意，在未說明不等式為一元二次不

等式的情況下，還要考慮a=0的情況)(2)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)的討論：分兩根(Δ>0)，一根(Δ=0)，無根(Δ<0).(3)關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)方程的根x1，x2的大小的討論：分x1>x2，x1=x2，x1<x2.六、簡單的分式不等式的解法?1.解分式不等式的思路：先轉(zhuǎn)化為整式不等式，再求解.2.化分式不等式為“標(biāo)準(zhǔn)形式”的方法：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊化為f(x)g(x)式(f(x)，g(x)為關(guān)于x的整式).(1)形如f(x)g(x)>a(a≠0)的分式不等式可同解變形為f(x)-ag(x)g(x)>0g(x)[f(x)ag(x)]>0.(2)解f(x)g(x)≥0(≤0)型的分式不等式，轉(zhuǎn)化為整式不等式后，應(yīng)注意分子可取0，母不能取0.七、一元二次不等式恒成立問題?1.不等式ax2+bx+c>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a=0時(shí)，b=0，且c>0；當(dāng)a≠0時(shí)，a>0，且Δ<0.2.不等式ax2+bx+c<0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a=0時(shí)，b