山東省濟(jì)南市山東師大附中2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題含解析

山東師大附中2019級(jí)高三開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，若有且僅有1個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法表示集合，由題設(shè)條件可得，分析即得解【詳解】由題意，由有且僅有1個(gè)元素，可知，可得故選：C2.命題“?x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是（）A.不存在x∈Z，x2+2x+m＞0 B.?x∈Z，x2+2x+m＞0C.?x∈Z，x2+2x+m≤0 D.?x∈Z，x2+2x+m＞0【答案】B【解析】【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，求解即可．【詳解】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論，則命題“?x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是：?x∈Z，x2+2x+m＞0．故選：B．3.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部為，故選：B4.已知為導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值即可得出選項(xiàng).【詳解】，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D.又，排除C.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.5.A、B兩個(gè)物理興趣小組在實(shí)驗(yàn)室研究某粒子運(yùn)動(dòng)軌跡.共同記錄到粒子的13個(gè)位置的坐標(biāo)信息如下表：055010A小組根據(jù)表中數(shù)據(jù)，直接對(duì)y，x作線性回歸分析，得到：回歸方程為，相關(guān)指數(shù)；B小組先將數(shù)據(jù)依變換，進(jìn)行整理，再對(duì)，u作線性回歸分析，得到：回歸方程為，相關(guān)指數(shù)根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，下列方程中，最有可能是該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知，越大，擬合效果越好，由此可得擬合效果好的回歸方程，然后整理變換可得答案.詳解】由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)可知，越大，擬合效果越好.又A小組的相關(guān)指數(shù)，B小組相關(guān)指數(shù)所以B小組擬合效果好，擬合效果越好越能反映該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，其回歸方程為又，，則，即故選：C6.已知函數(shù)滿足，當(dāng)，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】轉(zhuǎn)化，可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】由，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)，故作圖如下，由于,若有兩個(gè)交點(diǎn)可得故選：A7.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，，為球O的直徑且，則點(diǎn)P到底面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】球心O是的中點(diǎn)，球半徑，取AB的中點(diǎn)D，可知，求得,利用勾股定理證得，利用線面垂直的判定定理證得平面，進(jìn)而求得點(diǎn)P到底面的距離【詳解】∵三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，為球O的直徑且，∴球心O是的中點(diǎn)，球半徑，取AB的中點(diǎn)D，連接OD，OB，則，且∵滿足，，∴，∴又，平面，平面所以點(diǎn)P到底面的距離為,故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，關(guān)鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，利用線面垂直的判定定理證得平面，求出OD即可求出點(diǎn)到底面的距離.8.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則m的最大值是A. B. C.2e D.e【答案】D【解析】【詳解】分析：將原問(wèn)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求解實(shí)數(shù)的最大值即可.詳解：不等式.設(shè)，則,于是f(x)在上是增函數(shù).因?yàn)?，，所以，即?duì)任意的恒成立，因此只需.設(shè)，，所以在上為增函數(shù)，所以，所以，即m的最大值是e.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上有2個(gè)零點(diǎn) D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】先求出的解析式，即可判斷A;對(duì)于B:利用誘導(dǎo)公式直接證明；對(duì)于C:令，直接解方程即可得到答案；對(duì)于D：直接判斷單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到；再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線，所以.故A錯(cuò)誤.對(duì)于B:，而.因?yàn)?，所以，?故B正確；對(duì)于C:當(dāng)時(shí)，令，解得：或.即在上有2個(gè)零點(diǎn).故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.故D正確.故選：BCD.10.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對(duì)立的事件有（）A.2張卡片不全為紅色 B.2張卡片恰有一張紅色C.2張卡片至少有一張紅色 D.2張卡片都為綠色【答案】BD【解析】【分析】本題先寫出所有情況：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍(lán)色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍(lán)色”、“1張為綠色1張為藍(lán)色”，再根據(jù)選項(xiàng)選擇互斥而不對(duì)立的事件即可.【詳解】6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有：“2張都為紅色”、“2張都為綠色”、“2張都為藍(lán)色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍(lán)色”、“1張為綠色1張為藍(lán)色”，選項(xiàng)中給出的四個(gè)事件中與“2張都為紅色”互斥而非對(duì)立“2張恰有一張紅色”“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件是“2張都為紅色”二者并非互斥，“2張不全為紅色”是對(duì)立事件．故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件、對(duì)立事件，是基礎(chǔ)題.11.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.以線段為直徑的圓與直線相交 B.以線段為直徑的圓與y軸相切C.當(dāng)時(shí)， D.的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，由拋物線的定義和中位線定理、直線和圓的位置關(guān)系，即可判斷A；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然成立；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為1，求得，，的橫坐標(biāo)，由直線和圓的位置關(guān)系可判斷B；以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，，，，求得，，可判斷C；考慮直線垂直于軸，取得最小值，可判斷D．【詳解】解：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，由，，，可得線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，與直線相交，故A對(duì)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然以線段為直徑的圓與軸相切；當(dāng)直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，可得，，設(shè)，，可得的橫坐標(biāo)為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，顯然以線段為直徑的圓與軸相交，故B錯(cuò)；以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，，，，可得，，可得，又，可得，，則，故C正確；顯然當(dāng)直線垂直于軸，可得取得最小值4，故D正確．故選：ACD．12.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于B，利用線面平行的判定定理，得出∥平面，再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于C，利用異面直線所成角的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于D，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，連接，，，，平面，，同理，，，直線平面，故A正確；對(duì)于B，∥，平面，平面，∥平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，利用等體積法知三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，∥，異面直線與所成的角即為與所成的角，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，平面，，，此時(shí)，與所成的角為，異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，得，所以，直線與平面所成角的正弦值為：，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值取得最大值，最大值為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積的計(jì)算方法、異面直線所成角的計(jì)算方法、利用向量法求解直線與平面所成角的正弦值，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力，屬于中檔題.二、填空題（本題共4小題每小題5分，共20分）13.的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】寫出二項(xiàng)展開(kāi)式，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入展開(kāi)式通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列滿足，，則_______．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，上述兩式作差可得，所以，數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，因此，.故答案為：.15.已知函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.【詳解】，，函數(shù)的對(duì)稱軸是，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，解得：或，所以不等式的解集是.故答案為：16.如圖，中點(diǎn)是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】8【解析】【分析】設(shè)，，由，，，共線可得，再利用乘“1”法求解最值.【詳解】設(shè)，，，，，共線，，．，則，點(diǎn)，是線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，．則的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】由向量共線定理的推論得到是解題關(guān)鍵，乘“1”法求解最值是基本不等式求最值的常用方法..四、解答題（本題共6小題共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.設(shè)數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1），，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2），，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，及數(shù)列求和，求數(shù)列和常用的方法：（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項(xiàng)相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法.18.在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理把化簡(jiǎn)得，再利用余弦定理可求得，從而可求出角；或先利用正弦定理得，再將代入化簡(jiǎn)可得，從而可求出角；（2）由（1）可知，所以=，再利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)得，由于為銳角三角形，，從而可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：（1）方法一：使用余弦定理∴由余弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以方法二：觀察等式，，齊次，考慮使用正弦定理因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以?）∴=∵為銳角三角形∴∴∴∴∴【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由利用正、余弦定理進(jìn)行邊角統(tǒng)一，然后化簡(jiǎn)可得結(jié)果，屬于中檔題19.一個(gè)盒子內(nèi)裝有張卡片，每張卡片上面寫著個(gè)數(shù)字，這個(gè)數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有個(gè)，偶數(shù)有個(gè)．每張卡片被取出的概率相等．（1）如果從盒子中一次隨機(jī)取出張卡片，并且將取出的張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù)，求所得新數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)，則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片設(shè)取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【詳解】（1）記事件取出的張卡片上的數(shù)字相加得到的新數(shù)為奇數(shù)，則所選的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，所以，；（2）由題意可知，隨機(jī)變量可取的值為、、、，則，，，.的分布列為：.20.已知四棱錐中，平面，且，底面是邊長(zhǎng)為b的菱形，．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)為中點(diǎn)，若二面角的正切值是，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）可證明，，繼而得到平面，由線在面內(nèi)，即得證；（2）過(guò)作交于，連接，可證明是的平面角，結(jié)合題干數(shù)據(jù)，即得解【詳解】（1）平面，平面，，因?yàn)闉榱庑?，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?（2）過(guò)作交于，連接，因?yàn)槠矫?，所以由三垂線定理可得，所以是的平面角，又，且，從而，.21.已知橢圓，離心率為，短軸長(zhǎng)為．為橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)（不同于），直線分別與直線交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若F為橢圓右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，若為定值，