江西省部分學(xué)校高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（文）試題

高三數(shù)學(xué)考試（文科）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則的元素個數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，再利用交集的定義求得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：B.2.若函數(shù)的最小正周期大于，則的解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性公式求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期為；的最小正周期為；的最小正周期為；的最小正周期為.故選：D.3.青少年近視情況日益嚴(yán)重，為了解情況，現(xiàn)從某校抽取部分學(xué)生，用對數(shù)視力表檢查視力情況，A組和B組數(shù)據(jù)結(jié)果用莖葉圖記錄（如圖所示），其中莖表示個位數(shù)，葉表示十分位數(shù)．對于這兩組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等 B.兩組數(shù)據(jù)的極差相等C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等 D.兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)相等【答案】C【解析】【分析】將兩組數(shù)據(jù)從小到大排列，分別根據(jù)中位數(shù)、極差、平均數(shù)、眾數(shù)的概念及求法，求解并判斷即可．【詳解】A組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：，，，，，，，，，，B組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：，，，，，，，，，，所以A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝，B組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝，故兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不相等，故A錯誤；A兩組數(shù)據(jù)的極差為－＝，B組數(shù)據(jù)的極差為－＝，故兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，故B錯誤；A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×＋＋3×＋＋＋＋＋5.2)＝，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×＋2×＋＋3×＋＋＋5.2)＝，故兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，故C正確；A組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，B組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不相等，故D錯誤．故選：C．4.在四面體ABCD中，為正三角形，AB與平面BCD不垂直，則（）A.AB與CD可能垂直 B.A在平面BCD內(nèi)的射影可能是BC.AB與CD不可能垂直 D.平面ABC與平面BCD不可能垂直【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線垂直、線面垂直、面面垂直的知識確定正確答案.【詳解】當(dāng)四面體ABCD為正四面體時，如圖所示，在平面上的射影為，即平面，由于平面，所以.延長交于，則，由于平面，所以平面，由于平面，所以.所以A正確，C錯誤.若A在平面BCD內(nèi)的射影是B，則AB與平面BCD垂直，與已知矛盾，B錯誤.平面ABC與平面BCD可能垂直，D錯誤.故選：A5.若是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定正確答案.【詳解】依題意，是定義在R上的奇函數(shù)，，A選項，對于函數(shù)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù).B選項，對于函數(shù)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù).C選項，對于函數(shù)，，所以函數(shù)是奇函數(shù).D選項，對于函數(shù)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù).故選：C6.的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，再利用基本不等式計算可得.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D7.若一個等比數(shù)列的首項為，公比為2，S是該等比數(shù)列前10項之和，是該等比數(shù)列前10項的倒數(shù)之和，則（）A.16 B.32 C.64 D.128【答案】B【解析】【分析】易得該等比數(shù)列前10項的倒數(shù)構(gòu)成一個新的等比數(shù)列，且其首項為4，公比為，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】依題意可得該等比數(shù)列前10項的倒數(shù)構(gòu)成一個新的等比數(shù)列，且其首項為4，公比為．故．故選：B8.已知函數(shù)的圖象在原點處的切線與在點處的切線的交點為P，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)原點處的切線與在點處的切線的傾斜角的正切值，再由與兩傾斜角的關(guān)系結(jié)合兩角差的正切公式可得.【詳解】由，可得，，則曲線在點O處的切線的傾斜角為，設(shè)曲線在點A處的切線的傾斜角為，則．由圖可知，．故選：A9.已知兩個單位向量滿足與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積解決夾角問題，根據(jù)所列方程求解即可.【詳解】依題意可得，令，得，解得，因為，所以.故選：A10.若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到其最小值，令最小值小于等于零進(jìn)行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，則，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，則，又，所以.故選：C.11.已知A，B，C為橢圓D上的三點，AB為長軸，，，，則D的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓D的方程為，如圖，點C的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，因為，所以，將點C的坐標(biāo)代入，得，解得，故.故選：D12.已知數(shù)列共有m項，，且當(dāng)時，．當(dāng)項數(shù)m的最大值為220時，常數(shù)p的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)項數(shù)m最大時，，則，m的最大值為220，解得．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)項數(shù)m最大時，，則，，將以上各式相加得，即．因為m的最大值為220，所以，解得．故選：C

二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.如圖為一個開關(guān)陣列，每個開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰（上、下相鄰或左、右相鄰）的開關(guān)改變狀態(tài).若從這十六個開關(guān)中隨機(jī)按其中一個開關(guān)1次，則（2，3）的狀態(tài)發(fā)生改變的概率為__________.【答案】【解析】【分析】若要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，要將上、下相鄰或左、右相鄰的開關(guān)改變狀態(tài)，用古典概型求解.【詳解】若要使得的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按這五個開關(guān)中的一個，共有16個開關(guān)，故所求概率為.故答案為：14.寫出一個滿足下列兩個條件的復(fù)數(shù)：______.①的實部為5；②z的虛部不為0.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算、實部、虛部的知識寫出正確答案.【詳解】設(shè)，則，依題意可得，.故可取，.故答案為：（答案不唯一）15.設(shè)是函數(shù)圖象上一點，，若，則__________.【答案】【解析】【分析】的圖象是雙曲線的一部分，由雙曲線的定義結(jié)合題意求解即可.【詳解】設(shè)，則，則的圖象是雙曲線的一部分.因為，所以是雙曲線的焦點，則，所以，所以.故答案為：.16.將3個6cm×6cm的正方形都沿其中的一對鄰邊的中點剪開，每個正方形均分成兩個部分，如圖（1）所示，將這6個部分接入一個邊長為的正六邊形上，如圖（2）所示.若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個七面體，則該七面體的體積為______.【答案】108【解析】【分析】根據(jù)平面圖形折起后得到七面體，由七面體為正方體被平面所截，由對稱性可得其體積.【詳解】將平面圖形折疊并補形得到如圖所示的正方體，該七面體為正方體沿著圖中的六邊形截面截去一部分后剩下的另一部分，由對稱性知其體積為正方體體積的一半，即.故答案為：三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.分別為的內(nèi)角的對邊.已知.（1）若的周長為，求；（2）若，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）用正弦定理由得，再由周長為求得；（2）由條件求得，由余弦定理求得，從而有，根據(jù)的范圍可得.【小問1詳解】因為，所以，又因為的周長為，所以所以.【小問2詳解】證明：因為，所以，則，，因為，所以，又，所以均為銳角，所以為銳角，所以.18.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為的中點.（1）過作該正方體的截面，使得該截面與平面平行，寫出作法，并說明理由；（2）設(shè)分別為棱上一點，與均不重合，且，求三棱錐體積的最大值.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點H，連接，所以截面為要求作的截面.通過面面平行的判定進(jìn)行證明；（2）利用三棱錐的體積公式并結(jié)合均值不等式進(jìn)行求解.【小問1詳解】取的中點H，連接，所以截面為要求作的截面.理由如下：因為E，F(xiàn)分別為的中點，所以，又平面平面，所以平面.在正方形中，因為G為的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可證，又平面平面，可得平面.又，平面，所以平面平面.連接，因為G為的中點，H為中點，所以，又，則，所以，B，H，G四點共面，從而截面為要求作的截面.【小問2詳解】設(shè)，由，得，則，當(dāng)僅當(dāng)時，等號成立.，因為，所以三棱琟體積的最大值為.19.2022年12月份以來，全國多個地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費券，助力消費復(fù)蘇.記發(fā)放的消費券額度為x（百萬元），帶動的消費為y（百萬元）.某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示.x33455668y1012131819212427（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）（ⅰ）若該省A城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元消費券，利用（1）中求得的線性回歸方程，預(yù)計可以帶動多少消費？（ⅱ）當(dāng)實際值與估計值的差的絕對值與估計值的比值不超過10％時，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇是理想的.若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費券后，經(jīng)過一個月的統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)實際帶動的消費為30百萬元，請問發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇是否理想？若不理想，請分析可能存在的原因.參考公式：，，.當(dāng)時，兩個變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,（2）（?。┌偃f元（ⅱ）不理想，理由見解析，答案不唯一【解析】【分析】（1）通過相關(guān)系數(shù)公式求得相關(guān)系數(shù)，利用回歸直線方程的計算公式求得回歸直線方程.（2）（?。├没貧w直線方程求得預(yù)測值.（ⅱ）根據(jù)“理想”的定義進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【小問1詳解】，.，，，代入公式可得相關(guān)系數(shù).由于且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.經(jīng)計算可得，.所以所求線性回歸方程.【小問2詳解】（ⅰ）當(dāng)時，，所以預(yù)計能帶動的消費達(dá)百萬元.（ⅱ）因為％，所以發(fā)放的該輪消費券助力消費復(fù)蘇不是理想的.發(fā)放消費券只是影響消費的其中一個因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費水平；A城市人口數(shù)量有限、商品價格水平、消費者偏好、消費者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費總量.（只要寫出一個原因即可）.20.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都存在，且.（1）若，求的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由條件得，可得a的取值范圍；（2）將條件轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，研究單調(diào)性，得，即可證明命題.【小問1詳解】因為，，，所以，因為，所以，因為，所以，即的取值范圍是.【小問2詳解】證明：由，得.設(shè)函數(shù)，則所以在上單淍遞增.因為，所以，即，即.21.已知拋物線的焦點為為圓上一動點，且的最小值為.（1）求方程；（2）在的準(zhǔn)線上，過作直線的垂線交于兩點，分別為線段的中點，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）（2）直線與相切，理由見解析【解析】【分析】（1）由最小值，可求出，從而得到的方程；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，設(shè)的坐標(biāo)分別為，直線的方程為，則，表示出點和的坐標(biāo)和直線的方程，利用韋達(dá)定理和判別式證明直線與相切.【小問1詳解】圓，圓心，半徑為，因為，所以，又，所以，故的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，如圖所示，由，得直線方程為，則點的坐標(biāo)為.聯(lián)立消去后整理得，設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，，可得點的坐標(biāo)為.由分別為線段的中點，可得點的坐標(biāo)為，即，同理可得點的坐標(biāo)為.當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，軸，直線的方程為，顯然與相切.當(dāng)時，直線的斜率為，則直線的方程為，將代入，得，整理得，將代入，得直線的方程為，聯(lián)立方程得，則，可得直線與相切.綜上，直線與相切.【點睛】方法點睛：解答直線與拋物線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．（二）選考題：共10分.請考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個題目計分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心在極軸上，半徑為2，且圓C經(jīng)過極點．（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若P為圓C上的動點，過P作直線的垂線，垂足分別為A，B，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)為圓C上一點，再根據(jù)圓的性質(zhì)與三角函數(shù)關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化可得圓C的直角坐標(biāo)方程，再設(shè)，進(jìn)而表達(dá)出面積，結(jié)合二次函數(shù)與三角函數(shù)的值域求解即可.【小問1詳解】如圖，設(shè)為圓C上一點，O為極點，為圓C的直徑，連