第5章-畫(huà)法幾何直線與平面-平面與平面

第5章-畫(huà)法幾何直線與平面-平面與平面第一頁(yè)，共41頁(yè)。直線與平面、平面與平面相對(duì)位置包括：平行、相交和垂直。第一節(jié)平行直線與平面平行平面與平面平行包括

判定規(guī)則：

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。一．直線與平面平行第一頁(yè)第二頁(yè)，共41頁(yè)。正平線例1：過(guò)M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面ABC。c

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abcmn唯一解n

xo第二頁(yè)第三頁(yè)，共41頁(yè)。例2：判別AB與CDE是否互相平行？11′ee′a′badc′cd′b′第三頁(yè)第四頁(yè)，共41頁(yè)。當(dāng)平面與投影面垂直時(shí)，直線與該平面的平行關(guān)系可直接在該平面具有積聚性的投影中反映出來(lái)。AHPPHABbaPHba′ab′第四頁(yè)第五頁(yè)，共41頁(yè)。二．兩平面平行若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。c

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abcdefox判定規(guī)則：第五頁(yè)第六頁(yè)，共41頁(yè)。若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

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ox第六頁(yè)第七頁(yè)，共41頁(yè)。[例3]

已知平面由平行兩直線AB和CD給定。試過(guò) 點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

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k第七頁(yè)第八頁(yè)，共41頁(yè)。第二節(jié)相交直線與平面相交平面與平面相交交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)交點(diǎn)是直線可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)?！袂笾本€與平面的交點(diǎn)。●判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見(jiàn)性。一．一般位置直線與特殊位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交要點(diǎn)：?jiǎn)栴}：第八頁(yè)第九頁(yè)，共41頁(yè)。（1）求交點(diǎn)直接利用特殊位置平面的積聚投影與直線的同名投影的交點(diǎn)（直線與平面的交點(diǎn)的其中一個(gè)投影）求出交點(diǎn)的其它投影。1．一般位置直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面交點(diǎn)畫(huà)法分析第九頁(yè)第十頁(yè)，共41頁(yè)?！怖?〕求直線與鉛錘面、正垂面的交點(diǎn)M、N。a′b′aQVPHbnmm′n′第十頁(yè)第十一頁(yè)，共41頁(yè)。（2）可見(jiàn)性判別

1）直接觀察法：讀出直線與平面在空間的趨勢(shì)（上行或下行），從而確定直線的可見(jiàn)性； 2）重影點(diǎn)法：利用直線和平面上的重影點(diǎn)的可見(jiàn)性，確定直線的可見(jiàn)性； 3）交點(diǎn)是直線可見(jiàn)部分與不可見(jiàn)部分的分界點(diǎn)。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共41頁(yè)。abcmnc

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〔例5〕求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見(jiàn)性?？臻g及投影分析：平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

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為可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k

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)作圖：k●●2●1●x第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共41頁(yè)。km(n)b●m

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ac空間及投影分析：直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見(jiàn)。1

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●2●1●●作圖：用面上取點(diǎn)法x2．特殊位置直線與一般位置平面相交輔助直線法第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共41頁(yè)。二．兩特殊位置平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要解決的問(wèn)題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見(jiàn)性。第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共41頁(yè)。M平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共41頁(yè)。垂直于同一投影面的兩個(gè)平面相交，其交線也垂直于相同的投影面（方向已確定），利用這兩個(gè)平面的積聚投影的交點(diǎn)求交線。第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共41頁(yè)?？赏ㄟ^(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc

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)空間及投影分析：平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線②判別可見(jiàn)性作圖：從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見(jiàn)。n●m●●能否不用重影點(diǎn)判別？能!如何判別？〔例6〕求兩平面的交線MN并判別可見(jiàn)性。⑴第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共41頁(yè)。一般位置平面與特殊位置平面相交，其交線投影的畫(huà)法可歸結(jié)為： 求作一般位置平面內(nèi)的兩條直線和特殊位置平面的兩個(gè)交點(diǎn)的投影，再連接這兩個(gè)交點(diǎn)的同名投影即得交線的投影。三．一般位置平面與特殊位置平面相交第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共41頁(yè)。b

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abcefh1(2)空間及投影分析：平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

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即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故m

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即MN的正面投影。①求交線②判別可見(jiàn)性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見(jiàn)，n2不可見(jiàn)。作圖：m●●n

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●〔例7〕求兩平面的交線MN并判別可見(jiàn)性。第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共41頁(yè)。1.一般位置直線與一般位置平面相交求交點(diǎn)，需作一個(gè)輔助平面（輔助平面法）。2.求交點(diǎn)的一般步驟：

(1)過(guò)已知直線作一輔助平面（一般為投 影面垂直面）；

(2)求輔助平面和已知平面的交線；

(3)確定此交線和已知直線的交點(diǎn)，此交 點(diǎn)即為所求直線與平面的交點(diǎn)；

(4)判別可見(jiàn)性。四．一般位置直線與一般位置平面相交第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共41頁(yè)。1

2

〔例8〕求直線與平面的交線（輔助平面法）PV21kk

步驟：1．過(guò)EF作正垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共41頁(yè)。12以鉛垂面為輔助平面PH1

步驟：1．過(guò)EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點(diǎn)K。k

k2

第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共41頁(yè)。兩個(gè)一般位置平面相交求交線，需作兩個(gè)輔助平面。求出兩個(gè)平面的任意兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)，再用直線連接這兩個(gè)公共點(diǎn)，即為所求交線。五．兩一般位置平面相交第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共41頁(yè)。2.求兩個(gè)一般位置平面交線的步驟：（1）在適當(dāng)位置作兩個(gè)輔助平面T1、T2；

（2）求輔助平面T1與P及Q的交線AB和CD，以及輔助平面T2與P及Q的交線EF和KL；（3）求AB和CD的交點(diǎn)Ⅰ及EF和KL的交點(diǎn)Ⅱ；

（4）連接Ⅰ和Ⅱ，即得所求交線。第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共41頁(yè)。

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。ll

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kee2．連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫(huà)出交線KE。第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共41頁(yè)。利用重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性兩平面相交，判別可見(jiàn)性3

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第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共41頁(yè)。[例9]過(guò)K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線 EF相交。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共41頁(yè)。分析

過(guò)已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共41頁(yè)。作圖m

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21．過(guò)點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H。3．連接KH，KH即為所求。第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共41頁(yè)。一直線若與一平面內(nèi)的任意兩根相交直線垂直，則這根直線和該平面垂直；一直線若垂直于一平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意直線。平面垂線的投影具有確定的方向：平面垂線的水平投影必垂直于這個(gè)平面內(nèi)的水平線的水平投影；平面垂線的正面投影必垂直于這個(gè)平面內(nèi)的正平線的正面投影。第三節(jié)垂直一．直線與平面垂直直角投影定理平面垂線投影特性第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共41頁(yè)。

平面垂線的投影特性第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共41頁(yè)。〔例10〕過(guò)平面外一點(diǎn)作平面的垂線。e11′aa′cdbd′c′b′e′2′2??作圖思路：（1）在已知平面內(nèi)找兩條相交直線，其中一條為水平線，另一條為正平線；（2）利用直角投影的特性作出所求直線。第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共41頁(yè)。（1）過(guò)已知點(diǎn)作一水平線、一正平線；（2）利用直角投影的特性作出所求平面。〔例11〕過(guò)點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EFaa′efe′f′??第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共41頁(yè)。（1）過(guò)已知點(diǎn)作平面垂直于已知直線；（2）求所作平面于已知直線的交點(diǎn)；（3）已知點(diǎn)與交點(diǎn)的連線即為所求直線?！怖?2〕過(guò)已知點(diǎn)作直線和已知直線垂直相交。faef′e′a′求點(diǎn)到直線的距離第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共41頁(yè)?！怖?3〕過(guò)A點(diǎn)作平面垂直于已知面并平行于ⅠⅡ。（1）過(guò)已知點(diǎn)A作直線AN垂直于已知平面；（2）過(guò)A作直線AM平行于ⅠⅡ。二．平面與平面垂直nn′a31′4′a′4213′2′

若一平面經(jīng)過(guò)另一平面的一條垂線，則此二平面互相垂直。??m′m第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共41頁(yè)。1.定位問(wèn)題點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，求作交點(diǎn)、交線、平面等。2.度量問(wèn)題（1）線段實(shí)長(zhǎng)、平面實(shí)形；（2）距離：點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面、面面；（3）角度：線線、線面、面面。

3.綜合問(wèn)題

第四節(jié)點(diǎn)、直線和平面的圖解方法一．問(wèn)題第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共41頁(yè)。1.定位問(wèn)題〔例13〕過(guò)A作直線既平行于平面BCD又和已知直線MN相交。（1）過(guò)A作平面ⅠAⅡ平行于已知平面BCD；（2）求已知直線MN與平面ⅠAⅡ的交點(diǎn)K；（3）連接A、K，即的所求。二．作圖問(wèn)題舉例第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共