第5章-畫法幾何直線與平面-平面與平面

第5章-畫法幾何直線與平面-平面與平面第一頁，共41頁。直線與平面、平面與平面相對位置包括：平行、相交和垂直。第一節(jié)平行直線與平面平行平面與平面平行包括

判定規(guī)則：

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。一．直線與平面平行第一頁第二頁，共41頁。正平線例1：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c

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abcmn唯一解n

xo第二頁第三頁，共41頁。例2：判別AB與CDE是否互相平行？11′ee′a′badc′cd′b′第三頁第四頁，共41頁。當(dāng)平面與投影面垂直時，直線與該平面的平行關(guān)系可直接在該平面具有積聚性的投影中反映出來。AHPPHABbaPHba′ab′第四頁第五頁，共41頁。二．兩平面平行若一平面上的兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。c

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abcdefox判定規(guī)則：第五頁第六頁，共41頁。若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。f

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ox第六頁第七頁，共41頁。[例3]

已知平面由平行兩直線AB和CD給定。試過 點K作一平面平行于已知平面。em

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k第七頁第八頁，共41頁。第二節(jié)相交直線與平面相交平面與平面相交交點是直線與平面的共有點交點是直線可見與不可見的分界點?！袂笾本€與平面的交點?！衽袆e兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。一．一般位置直線與特殊位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交要點：問題：第八頁第九頁，共41頁。（1）求交點直接利用特殊位置平面的積聚投影與直線的同名投影的交點（直線與平面的交點的其中一個投影）求出交點的其它投影。1．一般位置直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面交點畫法分析第九頁第十頁，共41頁。〔例4〕求直線與鉛錘面、正垂面的交點M、N。a′b′aQVPHbnmm′n′第十頁第十一頁，共41頁。（2）可見性判別

1）直接觀察法：讀出直線與平面在空間的趨勢（上行或下行），從而確定直線的可見性； 2）重影點法：利用直線和平面上的重影點的可見性，確定直線的可見性； 3）交點是直線可見部分與不可見部分的分界點。第十一頁第十二頁，共41頁。abcmnc

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〔例5〕求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性?？臻g及投影分析：平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

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)作圖：k●●2●1●x第十二頁第十三頁，共41頁。km(n)b●m

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ac空間及投影分析：直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

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●2●1●●作圖：用面上取點法x2．特殊位置直線與一般位置平面相交輔助直線法第十三頁第十四頁，共41頁。二．兩特殊位置平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。要解決的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線的方向。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。第十四頁第十五頁，共41頁。M平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL第十五頁第十六頁，共41頁。垂直于同一投影面的兩個平面相交，其交線也垂直于相同的投影面（方向已確定），利用這兩個平面的積聚投影的交點求交線。第十六頁第十七頁，共41頁。可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc

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)空間及投影分析：平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖：從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!如何判別？〔例6〕求兩平面的交線MN并判別可見性。⑴第十七頁第十八頁，共41頁。一般位置平面與特殊位置平面相交，其交線投影的畫法可歸結(jié)為： 求作一般位置平面內(nèi)的兩條直線和特殊位置平面的兩個交點的投影，再連接這兩個交點的同名投影即得交線的投影。三．一般位置平面與特殊位置平面相交第十八頁第十九頁，共41頁。b

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abcefh1(2)空間及投影分析：平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。a

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即為兩個共有點的正面投影，故m

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即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖：m●●n

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●〔例7〕求兩平面的交線MN并判別可見性。第十九頁第二十頁，共41頁。1.一般位置直線與一般位置平面相交求交點，需作一個輔助平面（輔助平面法）。2.求交點的一般步驟：

(1)過已知直線作一輔助平面（一般為投 影面垂直面）；

(2)求輔助平面和已知平面的交線；

(3)確定此交線和已知直線的交點，此交 點即為所求直線與平面的交點；

(4)判別可見性。四．一般位置直線與一般位置平面相交第二十頁第二十一頁，共41頁。1

2

〔例8〕求直線與平面的交線（輔助平面法）PV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。第二十一頁第二十二頁，共41頁。12以鉛垂面為輔助平面PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。k

k2

第二十二頁第二十三頁，共41頁。兩個一般位置平面相交求交線，需作兩個輔助平面。求出兩個平面的任意兩個不重合的公共點，再用直線連接這兩個公共點，即為所求交線。五．兩一般位置平面相交第二十三頁第二十四頁，共41頁。2.求兩個一般位置平面交線的步驟：（1）在適當(dāng)位置作兩個輔助平面T1、T2；

（2）求輔助平面T1與P及Q的交線AB和CD，以及輔助平面T2與P及Q的交線EF和KL；（3）求AB和CD的交點Ⅰ及EF和KL的交點Ⅱ；

（4）連接Ⅰ和Ⅱ，即得所求交線。第二十四頁第二十五頁，共41頁。

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。ll

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kee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。第二十五頁第二十六頁，共41頁。利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

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2

第二十六頁第二十七頁，共41頁。[例9]過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線 EF相交。第二十七頁第二十八頁，共41頁。分析

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH第二十八頁第二十九頁，共41頁。作圖m

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hnmPV1

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21．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。第二十九頁第三十頁，共41頁。一直線若與一平面內(nèi)的任意兩根相交直線垂直，則這根直線和該平面垂直；一直線若垂直于一平面，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意直線。平面垂線的投影具有確定的方向：平面垂線的水平投影必垂直于這個平面內(nèi)的水平線的水平投影；平面垂線的正面投影必垂直于這個平面內(nèi)的正平線的正面投影。第三節(jié)垂直一．直線與平面垂直直角投影定理平面垂線投影特性第三十頁第三十一頁，共41頁。

平面垂線的投影特性第三十一頁第三十二頁，共41頁?！怖?0〕過平面外一點作平面的垂線。e11′aa′cdbd′c′b′e′2′2??作圖思路：（1）在已知平面內(nèi)找兩條相交直線，其中一條為水平線，另一條為正平線；（2）利用直角投影的特性作出所求直線。第三十二頁第三十三頁，共41頁。（1）過已知點作一水平線、一正平線；（2）利用直角投影的特性作出所求平面。〔例11〕過點A作平面垂直于已知直線EFaa′efe′f′??第三十三頁第三十四頁，共41頁。（1）過已知點作平面垂直于已知直線；（2）求所作平面于已知直線的交點；（3）已知點與交點的連線即為所求直線。〔例12〕過已知點作直線和已知直線垂直相交。faef′e′a′求點到直線的距離第三十四頁第三十五頁，共41頁?！怖?3〕過A點作平面垂直于已知面并平行于ⅠⅡ。（1）過已知點A作直線AN垂直于已知平面；（2）過A作直線AM平行于ⅠⅡ。二．平面與平面垂直nn′a31′4′a′4213′2′

若一平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則此二平面互相垂直。??m′m第三十五頁第三十六頁，共41頁。1.定位問題點、線、面的位置關(guān)系，求作交點、交線、平面等。2.度量問題（1）線段實長、平面實形；（2）距離：點線、點面、線面、面面；（3）角度：線線、線面、面面。

3.綜合問題

第四節(jié)點、直線和平面的圖解方法一．問題第三十六頁第三十七頁，共41頁。1.定位問題〔例13〕過A作直線既平行于平面BCD又和已知直線MN相交。（1）過A作平面ⅠAⅡ平行于已知平面BCD；（2）求已知直線MN與平面ⅠAⅡ的交點K；（3）連接A、K，即的所求。二．作圖問題舉例第三十七頁第三十八頁，共