復變函數論第三版第三章

復變函數論第三版第三章第一頁，共66頁。簡單閉曲線正向的定義:簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.

在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點,另一個作為終點,除特殊聲明外,正方向總是指從起點到終點的方向.分段光滑的簡單閉曲線簡稱為周線.第一頁2第二頁，共66頁。2.積分的定義:(第二頁3第三頁，共66頁。二、積分存在的條件及其計算方法1.存在的條件證參數增加的方向,,正方向為根據線積分的存在定理,第三頁4第四頁，共66頁。當n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時,在形式上可以看成是公式第四頁5第五頁，共66頁。2.積分的計算方法在今后討論的積分中,總假定被積函數是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.即第五頁6第六頁，共66頁。例1解直線方程為這兩個積分都與路線C無關例2

解積分路徑的參數方程為第六頁7第七頁，共66頁。例3解積分路徑的參數方程為重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.一個重要而常用的積分公式第七頁8第八頁，共66頁。復積分與實變函數的定積分有類似的性質.絕對不等式三、復積分的性質第八頁9第九頁，共66頁。例4解根據估值不等式知第九頁10第十頁，共66頁。一、問題的提出此時積分與路線無關.第二節(jié)柯西積分定理由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復平面內處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關,可能決定于被積函數的解析性及區(qū)域的連通性.第十頁11第十一頁，共66頁。二、柯西積分定理定理中的C可以不是簡單曲線.關于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.第十一頁12第十二頁，共66頁。例1解根據柯西積分定理,有例2證由柯西積分定理,由柯西積分定理,由上節(jié)例4可知,三、典型例題第十二頁13第十三頁，共66頁。例3解根據柯西積分定理得第十三頁14第十四頁，共66頁。(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.應用柯西積分定理應注意什么?第十四頁15第十五頁，共66頁。1.問題的提出根據本章第一節(jié)的討論可知,由此希望將柯西積分定理推廣到多連域中.四、柯西積分定理的推廣—復合閉路定理2.閉路變形原理︵︵第十五頁16第十六頁，共66頁。︵︵︵︵︵︵︵︵得第十六頁17第十七頁，共66頁。解析函數沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經過函數f(z)的不解析的點.第十七頁18第十八頁，共66頁。3.復合閉路定理那末第十八頁19第十九頁，共66頁。4.典型例題例1解依題意知,根據復合閉路定理,第十九頁20第二十頁，共66頁。例2解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據閉路復合定理,第二十頁21第二十一頁，共66頁。例3解由復合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內即可.第二十一頁22第二十二頁，共66頁。例4解由上例可知

復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結論:第二十二頁23第二十三頁，共66頁。定理一由定理一可知:解析函數在單連通域內的積分只與起點和終點有關,1.兩個主要定理:五、原函數與不定積分第二十三頁24第二十四頁，共66頁。定理二證利用導數的定義來證.由于積分與路線無關,第二十四頁25第二十五頁，共66頁。由積分的估值性質,此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]第二十五頁26第二十六頁，共66頁。2.原函數的定義:原函數之間的關系:3.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)第二十六頁27第二十七頁，共66頁。證根據柯西積分定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.4.典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,第二十七頁28第二十八頁，共66頁。例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,另解此方法使用了微積分中“分部積分法”第二十八頁29第二十九頁，共66頁。例4解利用分部積分法可得課堂練習答案例5解第二十九頁30第三十頁，共66頁。例6解所以積分與路線無關,由牛頓-萊布尼茲公式知,第三十頁31第三十一頁，共66頁。一、問題的提出根據閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C的變化而改變,求這個值。第三節(jié)柯西積分公式及其推論第三十一頁32第三十二頁，共66頁。二、柯西積分公式定理證此式稱為柯西積分公式第三十二頁33第三十三頁，共66頁。證根據閉路變形原理知,左端積分的值與R無關,所以只有在對所有的R積分值為零時才有可能.[證畢]第三十三頁34第三十四頁，共66頁。(1)把函數在C內部任一點的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數的又一特征)(2)公式不但提供了計算某些復變函數沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數的一個積分表達式.(這是研究解析函數的有力工具)(3)解析函數的平均值定理：一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.則有

柯西積分公式的重要性在于:一個解析函數在區(qū)域內部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數的重要工具.第三十四頁35第三十五頁，共66頁。三、典型例題例1解由柯西積分公式第三十五頁36第三十六頁，共66頁。例2解(1)由柯西積分公式由柯西積分公式這種解法對嗎？為什么？第三十六頁37第三十七頁，共66頁。例3解由柯西積分公式第三十七頁38第三十八頁，共66頁。例4解由閉路復合定理,得第三十八頁39第三十九頁，共66頁。例5解根據柯西積分公式知,比較兩式得第三十九頁40第四十頁，共66頁。例6解被積函數是多值函數，支點為f(z)的原函數仍是多值函數，在代入上、下限時需要考慮對應的單值分支。01第四十頁41第四十一頁，共66頁。其中積分方向應是順時針方向.柯西積分公式對無界區(qū)域也是成立的，五、解析函數的無窮可微性問題:(1)解析函數是否有高階導數?(2)若有高階導數,其定義和求法是否與實變函數相同?回答:(1)解析函數有各高階導數.(2)高階導數的值可以用函數在邊界上的值通過積分來表示,這與實變函數完全不同.解析函數高階導數的定義是什么?第四十一頁42第四十二頁，共66頁。定理證根據導數的定義,從柯西積分公式得第四十二頁43第四十三頁，共66頁。第四十三頁44第四十四頁，共66頁。再利用以上方法求極限從而證明了一個解析函數的導數仍然是解析函數.依次類推,利用數學歸納法可證[證畢]第四十四頁45第四十五頁，共66頁。高階導數公式的作用:不在于通過積分來求導,而在于通過求導來求積分.

例1解第四十五頁46第四十六頁，共66頁。由復合閉路定理第四十六頁47第四十七頁，共66頁。例2解第四十七頁48第四十八頁，共66頁。例3解由柯西積分定理得由柯西積分公式得第四十八頁49第四十九頁，共66頁。例4解第四十九頁50第五十頁，共66頁。六、柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理定理1

(柯西不等式)設在區(qū)域D內解析，為D內一點，區(qū)域包含于D，則有其中證明：在上應用高階導數公式，則有由柯西不等式，容易得到劉維爾定理。劉維爾定理:z平面上解析且有界的函數必為常數．由劉維爾定理，可以證得到代數學基本定理。第五十頁51第五十一頁，共66頁。代數學基本定理

在z平面上，n次多項式

（）至少有一個零點．證(反證法)假設在z平面上無零點，由于在平面上解析，從而在z平面上也是解析的．其次，由于所以，于是，使得，。又因為在上連續(xù)，故，使得，從而在z平面上有，即在z平面上解析且有界，因此根據劉維爾定理，為常數，故亦為常數，這與已知為多項式矛盾，定理得證．第五十一頁52第五十二頁，共66頁。七、摩勒拉(Morera)定理柯西積分定理說明，只要在單連通區(qū)域D內解析，則對D內任一圍線均有。我們現在證明其逆也是正確的．摩勒拉定理設函數在單連通區(qū)域D內連續(xù)，且對D內任一圍線C，有，則在D內解析．證依題意可知可由導數的定義證明因為解析函數的導數仍為解析函數,第五十二頁53第五十三頁，共66頁。例6證不等式即證.第五十三頁54第五十四頁，共66頁。例7證積分值與R無關，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)為常數.第五十四頁55第五十五頁，共66頁。例8證任取一點z=a,取圍道C為|z|=R>|a|,逆時針方向,由柯西積分公式有即有由a的任意性得f(z)為常數.小結：高階導數公式是復積分的重要公式.它表明了解析函數的導數仍然是解析函數這一異常重要的結論,同時表明了解析函數與實變函數的本質區(qū)別.第五十五頁56第五十六頁，共66頁。高階導數公式這一點與實變量函數有本質的區(qū)別.定義

調和函數在流體力學和電磁場理論等實際問題中有很重要的應用.第四節(jié)解析函數與調和函數的關系一、調和函數的定義第五十六頁57第五十七頁，共66頁。定理

任何在區(qū)域

D

內解析的函數,它的實部和虛部都是

D

內的調和函數.證二、解析函數與調和函數的關系根據解析函數高階導數定理,[證畢]第五十七頁58第五十八頁，共66頁。三、共軛調和函數的定義

區(qū)域D內的解析函數的虛部為實部的共軛調和函數.四、偏積分法如果已知一個調和函數u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共軛調和函數v,從而構成一個解析函數u+vi.這種方法稱為偏積分法.第五十八頁59第五十九頁，共66頁。解得一個解析函數這個函數可以化為例1第五十九頁60第六十頁，共66頁。例2

解所求解析