北師大版八年級數(shù)學下冊 （直角三角形）三角形的證明教學課件(第1課時)

直角三角形（第1課時）第一章三角形的證明北師版八年級下冊

一般的直角三角形的三邊具有什么樣的性質(zhì)呢?勾股定理在直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.你會證明嗎?證明方法:數(shù)方格和割補圖形的方法你會利用公理及由其推導出的定理證明嗎?

講授新課已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．求證：證明：延長CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，連接ED、AE(如圖)，則△ABC≌△BED．∴∠BDE=90°，ED=a．∴四邊形ACDE是直角梯形．

∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)=(a+b)．

∴∠ABE=180°-∠ABC-∠EBD=180°-90°=90°，

AB=BE．∴S△ABE=∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED，∴即∴講授新課兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理直角三角形中,在兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反過來，如果在一個三角形中，當兩邊的平方和等于第三邊的平方時，我們曾用度量的方法得出“這個三角形是直角三角形”的結(jié)論．你能證明此結(jié)論嗎?講授新課逆定理的證明已知：如圖，在△ABC中，求證：△ABC是直角三角形．證明：作Rt△DEF，使∠D=90°，

DE=AB，DF=AC(如圖)，則.(勾股定理)．∵DE=AB，DF=AC∴∴BC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠A=∠D=90°(全等三角形的對應角相等)．因此，△ABC是直角三角形．講授新課勾股定理的逆定理

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．觀察上面兩個命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關系?勾股定理的條件是第二個定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個定理的條件．在前面的學習中還有類似的命題嗎?

講授新課1.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.與內(nèi)錯角相等，兩直線平行.2.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊就等于斜邊的一半在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°例如:講授新課觀察下面三組命題：

上面每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關系嗎?與同伴交流．講授新課

在兩個命題中，如果一個命題條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題，相對于逆命題來說，另一個就為原命題．互逆命題原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題!!講授新課原命題是真命題，而且逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理．互逆定理大膽嘗試！舉例說出我們已學過的互逆定理.講授新課說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假:(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；(3)如果ab=0，那么a=0b=0解：(1)多邊形是四邊形．原命題是真命題，而逆命題是假命題．

(2)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．原命題與逆命題同為真命題．

(3)如果a=0，b=0，那么ab=0．原命題是假命題，而逆命題是真命題．講授新課1.了解了勾股定理及逆定理的證明方法;2.了解了逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立;3.了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理都有逆命題.

課后小結(jié)北師版八年級下冊直角三角形（第2課時）第一章三角形的證明

設矩形的對角線AC與BD的交點為O，那么BO是直角△ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關系？ABCDOABCO定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半∵∠ABC=90°，OA=OC∴AC=2BO

或OA=OB=OC講授新課特殊的直角三角形的性質(zhì):1.在直角三角形中,如果有一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.2.在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.講授新課如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角.三角形中相等的邊所對的角相等.三角形中相等角的所對的邊相等.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.勾股定理：勾股定理逆定理：講授新課從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺.另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了.知道竹竿有多長嗎？請根據(jù)這一問題列出方程.（只列不解）問題討論講授新課直角三角形全等的判定定理及其三種語言定理:斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).如圖,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,∵AC=A′C′,AB=A′B′(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).ABCA′B′C′講授新課用三角尺作角平分線再過點M作OA的垂線,如圖:在已知∠AOB的兩邊OA,OB上分別取點M,N,使OM=ON;過點N作OB的垂線,兩垂線交于點P,那么射線OP就是∠AOB的平分線.請你證明OP平分∠AOB.ABO●●●PMN已知:如圖,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.求證:∠AOP=∠BOP.先把它轉(zhuǎn)化為一個純數(shù)學問題:講授新課如圖,已知∠ACB=∠BDA=900,要使△ABC≌△BDA,還需要什么條件?把它們分別寫出來.增加AC=BD;ABCD增加BC=AD;增加∠ABC=∠BAD;增加∠CAB=∠DBA;你能分別寫出它們的證明過程嗎?若AD,BC相交于點O,圖中還有全等的三角形嗎?O你能寫出圖中所有相等的線段,相等的角嗎?你能分別寫出它們的證明過程嗎?講授新課定理1直角三角形的兩個銳角互余.定理2在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理3在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.定理4直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半特殊圖形直角三角形的性質(zhì)講授新課命題:在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.是真命題嗎?如果是,請你證明它.300ABC已知:如圖,△ABC,∠ACB=900,BC=AB/2.求證:∠A=300.講授新課∵∠ACB=900,CD=BC(已知)∴AB=AD(線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等)又∵BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作圖),∴AB=BD(等量代換).∴AB=BD=AD(等式性質(zhì)）.∴△ABD是等邊三角形(等邊三角形意義)∴∠B=600(等邊三角形意義).∴∠A=300(直角三角形兩銳角互余).ABCD證明:延長BC至D,使CD=BC,連接AD.講授新課這是一個通過線段之間的關系來判定一個角的具體度數(shù)(300)的根據(jù)之一.定理:在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.在△ABC中∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),∴∠A=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).ABC300講授新課1.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點,沿著過點D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2)),折痕交AE于點G,那么∠ADG等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?DACBEFDACBEF(1)(2)GA鞏固提高DACBEF(2)GA1證明:∵DF=DC/2(中點意義),A1D=AD=CD(正方形各邊都相等)∴DF=A1D/2(等量代換).∴∠DA1F=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).又∵AD∥EF∴∠A1DA=∠DA1F=300(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分線意義).●●300鞏固提高直角三角形全等的判定定理:定理:斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).公理:三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）.公理:兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）.公理:兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）.推論:兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS）.綜上所述,直角三角形全等的判定條件可歸納為:一邊及一個銳角對應相等的兩個直角三角形全等;兩邊對應相等的兩個直角三角形全等;課后小結(jié)1.已知:如圖,D是△ABC的BC邊上的中點,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分別為E,F,且DE=DF.求證:△ABC是等腰三角形.分析:要證明△ABC是等腰三角形,就需要證明AB=AC;進而需要證明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;而△BDF≌△CDE的條件:從而需要證明∠B=∠C;BD=CD,DF=DE均為已知.因此,△ABC是等腰三角形可證.DBCAFE課后練習2.已知:如圖,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分別為E,F,DE