【解析】浙江省杭州市第二中學(xué)2023-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考試卷

第第頁【解析】浙江省杭州市第二中學(xué)2023-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考試卷浙江省杭州市第二中學(xué)2023-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考試卷

一、單選題

1．（2023高三上·杭州月考）已知集合，，則=（）

A．B．

C．D．

2．（2023高三上·杭州月考）若，則的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

3．（2023高三上·杭州月考）已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù)滿足，則（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·杭州月考）函數(shù)，的值域是（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·杭州月考）函數(shù)的大致圖象為（）

A．B．

C．D．

6．（2023高三上·杭州月考）下列命題中正確的是（）

A．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)

B．“，”是“”的充分必要條件

C．命題“若，則或”的逆否命題為“若或，則”

D．若，則

7．（2023高三上·杭州月考）已知內(nèi)角的對邊分別為，若，，則的形狀是（）

A．等腰三角形B．等邊三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

8．（2023·寧德模擬）函數(shù)()，滿足，且對任意，都有，則以下結(jié)論正確的是（）

A．B．C．D．

9．（2023高三上·杭州月考）若不等式組(為常數(shù))，表示的平面區(qū)域的面積8，則的最小值為（）

A．B．C．D．2

10．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足，且.設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．不能確定

二、填空題

11．（2023高三上·杭州月考）在中，，，，，則的最小值為，又若，則.

12．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間是，最小值是

13．（2023高三上·杭州月考）若銳角滿足，則；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

14．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，若，則；有個(gè)零點(diǎn)

15．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，則不等式的解集是.

16．（2023高三上·杭州月考）已知都為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．

17．（2023高三上·杭州月考）已知是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．

三、解答題

18．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)

（1）求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.

19．（2023高三上·杭州月考）已知兩個(gè)非零向量，且，

（1）求的夾角；

（2）若，求的最小值.

20．（2023高三上·杭州月考）已知銳角中，角的對邊分別為，向量,，且．

（1）求角；

（2）求的取值范圍．

21．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù),()

（1）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值。

（2）若對任意，總存在唯一，使得成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.

22．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，．

（1）若與的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，求切線方程；

（2）若為整數(shù)，且恒成立，求的最小值.

答案解析部分

1．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】∵集合

∴集合或

∵集合

∴集合

∴

故答案為：B.

【分析】通過解不等式求出集合A和B，即可得到.

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【解析】【解答】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，

∴b＜a＜c．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，取中間量，比較的大小即可。

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】由已知可得z1＝﹣1+i，

∴，

∴|z2|．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，寫出z1，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z2，即可得到復(fù)數(shù)的模.

4．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)y＝cos2x+sin2x＝cos2xcos2xcos2x．因?yàn)閤∈R，所以cos2x∈[﹣1，1]，

所以cos2x∈[0，1]．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到整個(gè)函數(shù)的值域.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又，所以函數(shù)的圖象應(yīng)對應(yīng)B，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)奇偶性的定義確定函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，逐一排除即可.

6．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】對A,因?yàn)楹氵^（0,1），故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，A不符合題意；

對B,的充分必要條件是，B不符合題意；

對C,命題“若，則或”的逆否命題為“若且，則”，C不符合題意；

對D,令，則，易得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故，則D符合題意

故答案為：D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，結(jié)合充分必要條件的判定及逆否命題逐一判斷即可.

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【解答】由題

當(dāng)，三角形為直角三角形

當(dāng)，則，又，則三角形為等腰三角形

故答案為：D

【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合的取值，即可確定三角形的形狀.

8．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】可知，函數(shù)的對稱中心為.

對任意，都有，知對稱軸是，

可知，故b=0，.

所以.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，知函數(shù)f（x）關(guān)于某點(diǎn)對稱，且關(guān)于某直線的對稱，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行分析、判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得到答案．考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題.

9．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】滿足約束條件的可行域如下圖所示，

若可行域的面積為8，則a＝2

由圖可得當(dāng)x，y時(shí)，

x2+y取最小值，

故答案為：B．

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)平面區(qū)域的面積，即可求出相應(yīng)的最小值.

10．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】令F（x）＝exf（x），∴F′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]；

又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，

∴F（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；

令0＜x＜1，則x，由已知F（x）＞F（），可得f（x）f（），

下面證明：，即證明x+2lnx＞0，

令g（x）x+2lnx，則：

g′（x）0，g（x）在（0，1）↓，g（x）＞g（1），

即，

∴xf（x）f（），即

故答案為：A

【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷相應(yīng)的不等式.

11．【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】，

所以當(dāng)時(shí)，取最小值；

因?yàn)?，所以，解得?/p>

故答案為：；.

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量模的最值，解方程即可求出m的值.

12．【答案】；4

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

【解析】【解答】易知，則函數(shù)的增區(qū)間是，

又，則函數(shù)的最小值為4

故答案為；4

【分析】對x的取值分類討論，去掉絕對值，寫成分段函數(shù)的形式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.

13．【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】銳角φ滿足sinφ﹣cosφ，

∴1﹣2sinφcosφ，

∴sin2φ；

又sinφ，

∴2φ，

解得φ；

∴函數(shù)f（x）＝sin2（x+φ）

cos（2x），

∴2kπ≤2x2kπ+π，k∈Z；

解得kπx≤kπ，k∈Z；

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ，kπ]（k∈Z）．

故答案為；

【分析】兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可得到相應(yīng)的角；根據(jù)余弦的二倍角公式，寫成函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

14．【答案】1或或；4

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)存在定理

【解析】【解答】當(dāng)均大于0，則或或或，此時(shí)1或或

當(dāng)均小于0，不合題意舍去.

又令，則，故或解得

則與交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為1個(gè)，0個(gè)，3個(gè)，綜上有4個(gè)零點(diǎn)

故答案為1或或；4

【分析】根據(jù)函數(shù)的取值，得到a和b的關(guān)系，采用換元法，解不等式組，即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】，故為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，則令，故為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故等價(jià)于，即，即，解得

故答案為

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，求出f（-x）=-f（x），確定函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，即可求出不等式的解集.

16．【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式

【解析】【解答】則且，則=，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?/p>

故答案為9

【分析】采用常數(shù)代換的方法，結(jié)合基本不等式，即可求出最小值.

17．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)乘的運(yùn)算

【解析】【解答】不妨設(shè)，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，由恒成立，則

故答案為

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示相應(yīng)的式子，求出最小值，結(jié)合不等式恒成立即可得到k的最小值.

18．【答案】（1）解：

（2）解：由（1）知，，

當(dāng)時(shí)由，得的值域?yàn)?/p>

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式，得到函數(shù)的表達(dá)式，代入即可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值；

（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域即可.

19．【答案】（1）解：由可得

，即

又

則

所以

故

（2）解：若

則的最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出兩向量的夾角；

（2）根據(jù)平面向量模的運(yùn)算，結(jié)合基本不等式，即可求出相應(yīng)的最小值.

20．【答案】（1）解：∵，∴，∴，由銳角故

（2）解：．

為銳角三角形，則

∴，所以．

故的取值范圍是

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可求出角C；

（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出相應(yīng)的取值范圍。

21．【答案】（1）解：,∵存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立；

即恒成立.（）恒成立.

設(shè)，則

∴，

即，且

，∴實(shí)數(shù)的最大值是4

（2）解：，∵∴

∴函數(shù)的值域?yàn)?/p>

其次，由題意知：，且對任意，總存在唯一，使得．以下分三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，則，解得；

②當(dāng)時(shí)，則，解得；

③當(dāng)時(shí)，則或，解得；

綜上：a的取值范圍是a≤﹣2或a

【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【分析】（1）將不等式恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到實(shí)數(shù)m的最大值；

（2）對a的取值分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，解不等式組，即可求出a的取值范圍.

22．【答案】（1）解：設(shè)公共點(diǎn)為，則有，解得，故切線方程是

（2）解：∵恒成立，∴恒成立

恒成立，令，，

令，，單調(diào)遞增，

，所以存在使，

所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為2

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【分析】（1）設(shè)出公共點(diǎn)的組別，解方程組，求出a和m，即可得到切線方程；

（2）采用分離參數(shù)的方法，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出a的最小值.

1/1浙江省杭州市第二中學(xué)2023-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考試卷

一、單選題

1．（2023高三上·杭州月考）已知集合，，則=（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】∵集合

∴集合或

∵集合

∴集合

∴

故答案為：B.

【分析】通過解不等式求出集合A和B，即可得到.

2．（2023高三上·杭州月考）若，則的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【解析】【解答】∵0＜a＝，b＝log0.51.2＜log0.51＝0，c＝1.20.5＞1.20＝1，

∴b＜a＜c．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，取中間量，比較的大小即可。

3．（2023高三上·杭州月考）已知復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)，復(fù)數(shù)滿足，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】由已知可得z1＝﹣1+i，

∴，

∴|z2|．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，寫出z1，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z2，即可得到復(fù)數(shù)的模.

4．（2023高三上·杭州月考）函數(shù)，的值域是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)y＝cos2x+sin2x＝cos2xcos2xcos2x．因?yàn)閤∈R，所以cos2x∈[﹣1，1]，

所以cos2x∈[0，1]．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到整個(gè)函數(shù)的值域.

5．（2023高三上·杭州月考）函數(shù)的大致圖象為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又，所以函數(shù)的圖象應(yīng)對應(yīng)B，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)奇偶性的定義確定函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，逐一排除即可.

6．（2023高三上·杭州月考）下列命題中正確的是（）

A．函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)

B．“，”是“”的充分必要條件

C．命題“若，則或”的逆否命題為“若或，則”

D．若，則

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】對A,因?yàn)楹氵^（0,1），故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，A不符合題意；

對B,的充分必要條件是，B不符合題意；

對C,命題“若，則或”的逆否命題為“若且，則”，C不符合題意；

對D,令，則，易得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故，則D符合題意

故答案為：D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，結(jié)合充分必要條件的判定及逆否命題逐一判斷即可.

7．（2023高三上·杭州月考）已知內(nèi)角的對邊分別為，若，，則的形狀是（）

A．等腰三角形B．等邊三角形

C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算

【解析】【解答】由題

當(dāng)，三角形為直角三角形

當(dāng)，則，又，則三角形為等腰三角形

故答案為：D

【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合的取值，即可確定三角形的形狀.

8．（2023·寧德模擬）函數(shù)()，滿足，且對任意，都有，則以下結(jié)論正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】可知，函數(shù)的對稱中心為.

對任意，都有，知對稱軸是，

可知，故b=0，.

所以.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，知函數(shù)f（x）關(guān)于某點(diǎn)對稱，且關(guān)于某直線的對稱，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行分析、判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得到答案．考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題.

9．（2023高三上·杭州月考）若不等式組(為常數(shù))，表示的平面區(qū)域的面積8，則的最小值為（）

A．B．C．D．2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】滿足約束條件的可行域如下圖所示，

若可行域的面積為8，則a＝2

由圖可得當(dāng)x，y時(shí)，

x2+y取最小值，

故答案為：B．

【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)平面區(qū)域的面積，即可求出相應(yīng)的最小值.

10．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)在區(qū)間上滿足，且.設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，下列不等式成立的是（）

A．B．C．D．不能確定

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】令F（x）＝exf（x），∴F′（x）＝ex[f（x）+f′（x）]；

又∵f（x）+f′（x）＜0，∴F′（x）＜0，

∴F（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；

令0＜x＜1，則x，由已知F（x）＞F（），可得f（x）f（），

下面證明：，即證明x+2lnx＞0，

令g（x）x+2lnx，則：

g′（x）0，g（x）在（0，1）↓，g（x）＞g（1），

即，

∴xf（x）f（），即

故答案為：A

【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷相應(yīng)的不等式.

二、填空題

11．（2023高三上·杭州月考）在中，，，，，則的最小值為，又若，則.

【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】，

所以當(dāng)時(shí)，取最小值；

因?yàn)?，所以，解得?/p>

故答案為：；.

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量模的最值，解方程即可求出m的值.

12．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間是，最小值是

【答案】；4

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

【解析】【解答】易知，則函數(shù)的增區(qū)間是，

又，則函數(shù)的最小值為4

故答案為；4

【分析】對x的取值分類討論，去掉絕對值，寫成分段函數(shù)的形式，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值.

13．（2023高三上·杭州月考）若銳角滿足，則；函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.

【答案】；

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】銳角φ滿足sinφ﹣cosφ，

∴1﹣2sinφcosφ，

∴sin2φ；

又sinφ，

∴2φ，

解得φ；

∴函數(shù)f（x）＝sin2（x+φ）

cos（2x），

∴2kπ≤2x2kπ+π，k∈Z；

解得kπx≤kπ，k∈Z；

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ，kπ]（k∈Z）．

故答案為；

【分析】兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可得到相應(yīng)的角；根據(jù)余弦的二倍角公式，寫成函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

14．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，若，則；有個(gè)零點(diǎn)

【答案】1或或；4

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)存在定理

【解析】【解答】當(dāng)均大于0，則或或或，此時(shí)1或或

當(dāng)均小于0，不合題意舍去.

又令，則，故或解得

則與交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為1個(gè)，0個(gè)，3個(gè)，綜上有4個(gè)零點(diǎn)

故答案為1或或；4

【分析】根據(jù)函數(shù)的取值，得到a和b的關(guān)系，采用換元法，解不等式組，即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

15．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)，則不等式的解集是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合

【解析】【解答】，故為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，則令，故為奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故等價(jià)于，即，即，解得

故答案為

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，求出f（-x）=-f（x），確定函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，解不等式，即可求出不等式的解集.

16．（2023高三上·杭州月考）已知都為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．

【答案】9

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式

【解析】【解答】則且，則=，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?/p>

故答案為9

【分析】采用常數(shù)代換的方法，結(jié)合基本不等式，即可求出最小值.

17．（2023高三上·杭州月考）已知是平面上兩個(gè)定點(diǎn)，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)乘的運(yùn)算

【解析】【解答】不妨設(shè)，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，由恒成立，則

故答案為

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示相應(yīng)的式子，求出最小值，結(jié)合不等式恒成立即可得到k的最小值.

三、解答題

18．（2023高三上·杭州月考）已知函數(shù)

（1）求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.

【答案】（1）解：

（2）解：由（1）知，，

當(dāng)時(shí)由，得的值域?yàn)?/p>

【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式，得到函數(shù)的表達(dá)式，代入即可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值；

（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域即可.

19．（2023高三上·杭州月考）已知兩個(gè)非零向量，且，

（1）求的夾角；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）解：由可得

，即

又

則

所以

故

（2）解：若

則的最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出