不變子空間的概念課件

一、不變子空間的概念二、線性變換在不變子空間上的限制§7.7線性變換的定義三、不變子空間與線性變換的矩陣化簡四、線性空間的直和分解7.7不變子空間一、不變子空間的概念二、線性變換在不變子空間上的限制§7.1設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的

的子空間，若有則稱W是的不變子空間，簡稱為－子空間.

V的平凡子空間（V及零子空間）對于V的任意一個變換來說，都是－子空間.

一、不變子空間1、定義注：7.7不變子空間設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，W是V的的子空間，21）兩個－子空間的交與和仍是－子空間.2）設(shè)則W是－子空間證：顯然成立.任取設(shè)

則

故W為的不變子空間.2、不變子空間的簡單性質(zhì)由于

7.7不變子空間1）兩個－子空間的交與和仍是－子空間.2）設(shè)31）線性變換的值域與核都是的不變子空間.證：

有

故為的不變子空間.又任取有3、一些重要不變子空間也為的不變子空間.

7.7不變子空間1）線性變換的值域與核都是42）若則與都是－子空間.

證：

對存在

使于是有，

為的不變子空間.

其次，由

對有

7.7不變子空間2）若則與都是5于是

故為的不變子空間.

的多項式的值域與核都是的不變子空間.這里為中任一多項式.注：7.7不變子空間于是故為的不變子空間.的多項式64）線性變換的特征子空間是的不變子空間.

有

5）由的特征向量生成的子空間是的不變子空間.

證：設(shè)是的分別屬于特征值

的特征向量.

3）任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間.

任取設(shè)則

為的不變子空間.

7.7不變子空間4）線性變換的特征子空間是的不變子空間.有7事實上，若

則為的一組基.因為W為－子空間，即必存在使是的特征向量.

特別地，由的一個特征向量生成的子空間是一個一維－子空間.

反過來，一個一維－子空間必可看成是的一個特征向量生成的子空間.

注：7.7不變子空間事實上，若則為的一組基.因為W為－子空間8二、在不變子空間W引起的線性變換定義：不變子空間W上的限制.記作

在不變子空間W上引起的線性變換，或稱作在

設(shè)是線性空間V的線性變換，W是V的一個的

不變子空間.把看作W上的一個線性變換，稱作7.7不變子空間二、在不變子空間W引起的線性變換定義：不變子空間W上的限制9①當(dāng)時，

③任一線性變換在它核上引起的線性變換是零

變換，即即有

注：當(dāng)時，無意義.

②在特征子空間上引起的線性變換是數(shù)乘變換，7.7不變子空間①當(dāng)時，③任一線性變換在它核上引起的線性101、設(shè)是維線性空間V的線性變換，W是V

的－子空間，為W的一組基，把它擴允為V的一組基：若在基下的矩陣為，則

在基下的矩陣具有下列形狀:

三、不變子空間與線性變換的矩陣化簡7.7不變子空間1、設(shè)是維線性空間V的線性變換，W是V的－子空間，11反之，若

則由生成的子空間必為的不變子空間.

事實上，因為W是V的不變子空間.

即，均可被線性表出.7.7不變子空間反之，若則由生成的子空間必為的不12從而，

設(shè)7.7不變子空間從而，設(shè)7.7不變子空間13在這組基下的矩陣為

若，則

為V的一組基，且在這組基下的矩陣為準(zhǔn)對角陣

2、設(shè)是維線性空間V的線性變換，都是的不變子空間，而是的一組基，且

（1）

7.7不變子空間在這組基下的矩陣為若14的子空間為的不變子空間，且V具有直和分解：

由此即得：下的矩陣為準(zhǔn)對角矩陣(1),則由生成

V的線性變換在某組基下的矩陣為準(zhǔn)對角形V可分解為一些的不變子空間的直和.反之，若在基7.7不變子空間的子空間為的不變子空間，且V具有直和分解：由此即15定理12：設(shè)為線性空間V的線性變換，是

四、線性空間的直和分解是的特征多項式.若具有分解式：

再設(shè)則都是的不變

子空間；且V具有直和分解：7.7不變子空間定理12：設(shè)為線性空間V的線性變換，是四、線16證：令則是的值域，是的不變子空間.

又

（2）7.7不變子空間證：令則是的值域，是的不變子空間.又17下證分三步：

證明

∴存在多項式使

于是

∴對有

證明是直和.

證明

7.7不變子空間下證分三步：證明∴存在多項式18這里

7.7不變子空間這里7.7不變子空間19其中（也即，），則

∴存在使

于是

(3)

即證，若證明是直和.7.7不變子空間其中（也即，），則∴存在20用作用（3）的兩端，得

又

7.7不變子空間用作用（3）的兩端，得又7.7不變子空21從而

所以是直和.∴有多項式，使7.7不變子空間從而所以是直和.∴有多項式22證明:首先由(2)，有即

其次，任取設(shè)即

令

7.7不變子空間證明:首先由(2)，有即其次，任取設(shè)即令7.723由（2）,有從而有又

又由，是直和，它的零向量分解式即唯一.7.7不變子空間由（2）,有從而有又又由，24

綜合，即有于是

故

即有

是的不變子空間，且

7.7不變子空間綜合，即有于是故即有是的不變子空間，且25練習(xí)：設(shè)3維線性空間V的線性變換在基下的矩陣為

證明：