華羅庚學(xué)校五年級數(shù)學(xué)上冊教材共15講

本系列共15講第一講數(shù)的整除問題一．基本概念和知識1．整除——約數(shù)和倍數(shù)一般地，如、、為整數(shù)，W,且小=即整數(shù)除以整數(shù)（w）,除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)（或者說余數(shù)是），我們就說，能被整除（或者說能整除）。記作I、。否則，稱為、不能被、整除（或、不能整除、）。如果整數(shù)、能被整數(shù)、整除，、就叫做、的倍數(shù)，、就叫做、的約數(shù)（或因數(shù)）。2．?dāng)?shù)的整除性質(zhì)性質(zhì)1如果、都能被整除，那么它們的和與差也能被整除。性質(zhì)2如果與的積能整除，那么與都能整除、性質(zhì)3如果、都能整除，且和互質(zhì)，那么與的積能整除、。性質(zhì)4如果能整除，能整除，那么能整除、3．?dāng)?shù)的整除特征

①能被2①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、的整數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或2）5整除。能被8（或12）5整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或12）整除。能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1的倍數(shù)。能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（11或13）整除。二．例題例1已知5酒可，求所有滿足條件的六位數(shù)49%。解：: X9???根據(jù)整除“性質(zhì)”可知IX1993y，Ix1993y，.J可取或5當(dāng)時，根據(jù)I119937及數(shù)的整除特征③可知 ;當(dāng)時，根據(jù)I加二及數(shù)的整除特征③可知 。x19937J滿足條件的六位數(shù)是5199或390199。35例2：李老師為學(xué)校一共買了28支價格相同的鋼筆，共付人民幣口口元，已知口處數(shù)字相同，請問每支鋼筆多少元？解：:口□元□□分XJ根據(jù)整除“性質(zhì)2”可知和均可能整除口口。I口，可知口處只能填或或8因為7不能整除口02，07不能整除口42，4所以口處不能填0和4；因為I2所以口處應(yīng)該填8又因為口82分8?？?.元28所以小 （元）答：每支鋼筆3.5元1。例3已知整數(shù)1a2a3a4a5a能被整除，求所有滿足這個條件的整數(shù)。解牛：- I1a2a3a4a5a，???根據(jù)能被整除的數(shù)的特征可知：++++的和與之差應(yīng)是的倍數(shù)，即:1（—a或I（一）。但是一（一），一一，又（，），因此1一或1 —又丁 是數(shù)位上的數(shù)字，，只能取?，所以只有才能I（一）或I（一）。即當(dāng)時，1一。???符合題意的整數(shù)只有 3例4把三位數(shù)標(biāo)接連重復(fù)地寫下去，共寫 個嬴,所得的數(shù)3a3ab…3ab恰是 的倍數(shù)，求a?（1993個3ab）解：: x,且（，），??? 能整除3ab3ab…3ab， 能整除3ab3ab…3ab。根據(jù)一個數(shù)能被7或13整除的特征可知：原數(shù)3ab3ab…3ab能被以及整除，當(dāng)且僅當(dāng)3ab…3ab（ 組2b）—3ab能被以及整除，也就是3ab..3b000（組）能被以及整除。因為（，0 ，（， 0 ,所以能整除3ab…3abO00（組），能整除3ab…3ab000（ 組），也就是能整除3ab...3ab1組），能整除30E1組），因此，用一次性質(zhì)1特征）就去掉了兩組3ab；反復(fù)使用性質(zhì) 次，最后轉(zhuǎn)化成：原數(shù)能被以及整除當(dāng)且僅當(dāng) 能被以及整除。又丁的倍數(shù)中小于的只有X 的百位數(shù)字是，??3ab 6??ab。例5：在86后5面被上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能的小。分析設(shè)補上數(shù)字后的六位數(shù)是8650反，因為這個六位數(shù)能分別被3、4、5整除，所以它應(yīng)該滿足以下三個條件：第一，數(shù)字和（+++++）是的倍數(shù)；第二，末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)一是的倍數(shù)；bc第三，末位數(shù)字是或5因為能被整除的數(shù)的個位數(shù)字不可能是，所以，只能取，因而只能取自，24。中之一。又因為I865湎，且（++）除以余，所以+除以余。為滿足題意“數(shù)值盡可能小”，只需取 所以，要求的六位數(shù)是8650。20例6：求能被26整除的六位數(shù)x1991y。分析因為X,所以加1y能分別被和整除。所以，解此題可以從IX國入手考慮。解：因為Ix1991y所以，可能取，，，，，8又因為3X1991y，所以，能整除還與91y的差。當(dāng)時，由于I，而又要整除X19與 之差，所以，3X19。又因為運 （X+X所以，根據(jù)整除“性質(zhì)1”，有13I9x+6.TOC\o"1-5"\h\z經(jīng)試驗可知只有當(dāng) 時，3所以，當(dāng) 時，符合題意的六位數(shù)是 9當(dāng)時，因為3X19912，所以整除XIP與（ ）之差，也即整除還與之差；與前相仿，砧7 ,所以13整除9x+6-2.即：3 0經(jīng)試驗可知只有當(dāng) 時，3所以，當(dāng)時，符合題意的六位數(shù)是 9同理，當(dāng) 時，3，即3經(jīng)試驗可知當(dāng) 時，3所以，當(dāng)時，符合題意的六位數(shù)是同理，當(dāng) 時，3，即3經(jīng)試驗可知無解（因為是運對的最高位數(shù)碼，牛）所以，當(dāng)時，找不到符合題意的六位數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z同理，當(dāng) 時，3，即3 -經(jīng)試驗只有當(dāng) 時，3 -所以，當(dāng)時，符合題意的六位數(shù)是 9答：滿足本題條件的六位數(shù)共有8199、10199、172199和16199四1個8。習(xí)題一i已知I —f滿足條件的五位數(shù)。2已知五位數(shù)4張被和整除，求+的值。,若五位數(shù)75同時被、、整除，試求滿足條件的所有這樣的五位數(shù)。4，將自然數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重復(fù)寫下去組成一個199位3數(shù)，這個數(shù)能否被3整除？5，一13整除。本陳老帳上記著：72只桶，共□67.95講□ 本系列共5講元。這里□處字跡不清，請把□處數(shù)字補上，并求桶的單價。6，證明：任意一個三位數(shù)連著寫兩次得到一個六位數(shù)，這個六位數(shù)一定能同時被7、11、

質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)第二講 .質(zhì)數(shù)、合數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)一．基本概念和知識1．質(zhì)數(shù)和合數(shù)一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素數(shù)）。一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。要特別記?。?不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2．質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。二．例題例1：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是21，0求這三個數(shù)。丁XXX???可知這三個數(shù)是、、7例2：兩個質(zhì)數(shù)的和是4，0求這兩個質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？解：把40表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：

＋1＋1=＋＋1＋1=＋??? 7 〉X >X i.J所求的最大值是 。例3：自然數(shù)12345是6質(zhì)7數(shù)8，9還是合數(shù)？為什么？解：12345是6合7數(shù)8。9因為它除了約數(shù)1和它本身，至少還有約數(shù)3，所以它是一個合數(shù)。例4：連續(xù)9個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)？為什么？解：如果這連續(xù)九個自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質(zhì)數(shù)（如：1~中9有4個質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個自然數(shù)中最小的不小于13，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有5個。這5個奇數(shù)中必只有一個個位數(shù)是5，因而5是這個奇數(shù)的一個因數(shù)，即這個奇數(shù)是合數(shù)。這樣，至多另4個奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有4個質(zhì)數(shù)。例5：把5、6、7、1、415這五個數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。解：丁, ，X,X,X5這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、質(zhì)因數(shù)2、3、各共有2個，所以如把14（=2X）放在第一組，那么和（X）只能放在第二組，繼而53）只能放在第一組，則必須放在第二組。這樣，X XX。???這五個數(shù)可以分為和，、和兩組。例：有三個自然數(shù)，最大的比最小的大，另一個是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是 。求這三個自然數(shù)。分析先大概估計一下，X0 ,遠小于，XX 4遠大于。因此，要求的三個自然數(shù)在之間。解： XXXX（X）x（X）XX（合題意）???要求的三個自然數(shù)分別是、和已知X,X已知X,X,XX。XX解：: X3 =、??XXX）XX3 ）??XXXX??XXXX??XXXX在例中有 5其中， ， ，像、9、25這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如：1 4 9 1?一， ， ，…其中1 4 9 ，…， ， ，…都叫做完全平方數(shù)。下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征。例：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。9，3，61，，，16，00，756。，5解：9=，336，=X，3， 1，，，X=3，， 16006X=5，，756，X5，=X37，可見，一個完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)均是偶數(shù)。反之，如果把一個自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后，各個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中，36=，，61，，=，，1，600，，=，，7056，5，。=5，例8一個整數(shù)與 的乘積是一個完全平方數(shù)，求的最小值與這個完全平方數(shù)。分析:與 的乘積是一個完全平方數(shù)。???乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因的指數(shù)一定全是偶數(shù)。解：: XXXX,又丁XX的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)。???必含質(zhì)因數(shù)2 35因此，最小為XX。???XXXXX 2答：的最小值為，這個完全平方數(shù)是 。例9：36共0有多少個約數(shù)？分析 3603X=32X5為了求 有多少個約數(shù)，我們先來看X有多少個約數(shù)，然后再把所有這些約數(shù)分別剩以1、2、22、23，即得到23X32X5( 6的所有約數(shù)。為了求X有多少個約數(shù)，可以先求出有多少個約數(shù)，然后再把這些約數(shù)分別乘以1、3、32，即得到32X的所有約數(shù)。解解記的約數(shù)個數(shù)為1X的約數(shù)個數(shù)為。(XX)的約數(shù)個數(shù)為。由上面的分析可知：

乂2 31顯然（只有和兩個約數(shù)）。因此3 33 43 。所以，36共0有24個約數(shù)。3中的“”即為“、。、”中數(shù)的個數(shù)，也就是其中2的最大指數(shù)加1，也就是36033=3235中質(zhì)因數(shù)2的個數(shù)加、 3中的“”即為“、、”中數(shù)的個數(shù)，也就是33。33。35中質(zhì)因數(shù)3的個數(shù)加1；而中的“。”即為“、、5”中數(shù)的個數(shù)，即。333。35中質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)加、。因此（+）3（+）3（+） 。對于任何一個合數(shù)，用類似于。333。35（=36）0的約數(shù)個數(shù)的討論方式，我們可以得到一個關(guān)于求一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的重要結(jié)論：一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加、的連乘積。例、0：求。4的0約數(shù)的個數(shù)。解: 3 3i??. 的約數(shù)的個數(shù)是：（4+、）3（、+、）3（、+、）=。個0，4有020個約數(shù)。請你列舉一下24的0所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是2個？習(xí)題二邊長為自然數(shù)，面積為10的5形狀不同的長方形共有多少種？11112個2棋2子2排成一個長方陣，每一橫行的棋子數(shù)比每一豎列的棋子數(shù)多1個。這個長方陣每一橫行有多少個棋子？五個相鄰自然數(shù)的乘積是554，4求0這五個自然數(shù)。自然數(shù)乘，恰好是自然數(shù)的平方。求的最小值以及自然數(shù)b。求105的0約0數(shù)共有多少個？本系列共15講第三講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).文檔貢獻者：與你的緣一．基本概念和知識1．公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，

叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。2．公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。3．互質(zhì)數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。二．例題例1：用一個數(shù)去除30、6、075，都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析:要求的數(shù)去除、0都能整除，???要求的數(shù)是0、的公約數(shù)。又;要求符合條件的最大的數(shù)，???就是求???就是求5的最大公約數(shù)。解：（30，60，75）=15所以，這個數(shù)最大是15。例2：一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析由題意可知，要求求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小公倍數(shù)。解：丁 [4 =.J用、、除都能整除的最小的數(shù)是0例3：有三根鐵絲，長度分別是12厘0米、18厘0米和30厘0米?，F(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？分析:要截成相等的小段，且無剩八，J每段長度必是J每段長度必是的0公約數(shù)；又;每段要盡可能長，J要求的每段長度就是12、018、0、0的0最大公約數(shù)。解：: （ 2 8 ）J每小段最長60厘米。++ ++ + ++ （段）答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。例4：加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、1和5的公倍數(shù)。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、1和5的最小公倍數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z解：丁 ,,???各道工序均應(yīng)加工個零件。0 （人）0 （人）0 （人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配人，第三道工序至少要分配6人。例5：一次會餐供有三種飲料。餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了6瓶：平均每個人飲用一瓶飲料，每個人飲用一瓶飲料，每個人飲用一瓶飲料。問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù)。解：: 2，?參加會餐人數(shù)應(yīng)是12的倍數(shù)。3 + 3 + ，又〈 ++++2 （瓶）???可見個人要用瓶飲料，瓶飲料，瓶飲料，共用13瓶飲料。又二2???參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是的倍。2 （人）答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是60人。例6：一張長方形紙，長270厘3米，寬111厘3。要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析由題意可知，正方形的邊長即是270和3111的3最大公約數(shù)。在學(xué)校，我們已經(jīng)學(xué)過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下子不好找到，但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù)。怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例6，可做如下圖解：從圖中可知：在長270厘3米、寬111厘3米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（111厘3米）為邊長的正方形2個，在裁后剩下的長111厘3米、寬47厘7米的長方形中，再裁去以寬（47厘7米）為邊長的正方形2個，然后又在裁剩下的長方形（長47厘7米，寬15厘米）中，以15厘9米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩余。因此可知，15厘9米是47厘7米、111厘3米和270厘3米的約數(shù)，所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應(yīng)是15厘9米。所以，15厘9米是270和3111的3最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程，即：，商余77商余5，商余0或者寫為：3 + 7X5當(dāng)除數(shù)為0時，最后一個算式中的除數(shù)15就9是原來兩個數(shù)270和3111的3最大公約數(shù)?？梢?， X31113=X13X529＋159=X175，92703=X17X529＋477=15X97X2＋15X93=1X5197。又因為7和17是互質(zhì)數(shù)，所以15是9270和3111的3最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法。輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例7：用輾轉(zhuǎn)相除法求481和1198的1最大公約數(shù)。解：因為4811X=1298＋184，91981X=824＋928，3X8所以，（48，119）8=12。83補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。也可以直接觀察，X =XX =XX =XX =X依次試公有的質(zhì)因數(shù)。例8：求100、8126、088和2113四4個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：因為（126，0100）8=25，2（88，2113）4=12，6又（25，212）6=12，6所以，（10，0182，6808，211）3=41。26求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9。例9：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是25，2其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？解：設(shè)要求的數(shù)為，則有：14x28Y7所以，X X所以，XXX又因為是和的最大公約數(shù)，（，），所以XX是和的最小公倍數(shù)。所以，所以，X+所以，要求的數(shù)是36。通過例的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用和表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：,X,X這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例10：求216和72113的5最2小公倍數(shù)。解：因為（216，71213）5=21032（103可2用輾轉(zhuǎn)相除法求得）所以，［216，72X+ 。答：216和71213的5最2小公倍數(shù)是2383。92習(xí)題三甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？一塊長方形地面，長12米0，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵樹之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3．已知兩個自然數(shù)的積是3．已知兩個自然數(shù)的積是576，它6們的最大公約數(shù)是31，求這兩個自然數(shù)。兄弟三人在外面工12天回家一次。兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面要再過多少天？將長25分米，寬20分米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？作，大哥6天

回家本系列共15講次，二哥8天

回家次，小弟一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過作，大哥6天

回家本系列共15講次，二哥8天

回家次，小弟第四講帶余數(shù)的除法第四講文檔貢獻者：與你的緣前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題。除此之外，例如：? ……，即X+,此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。一般地，如果是整數(shù)，是整數(shù)（w）,那么一定有另外兩個整數(shù)和rWW,使得X+當(dāng)時，我們稱能被整除。當(dāng)w時，我們稱不能被整除，為除以的余數(shù)，為除以的不完全商（亦簡稱為商）用帶余除式又可以表示為4=,?,《＜一．例題例1：一個兩位數(shù)去除25，1得到的余數(shù)是4，1求這個兩位數(shù)。分析這是一道帶余數(shù)的除法題，且要求的數(shù)是大于41的兩位數(shù)，解題可從帶余除式入手分析。解：:被除數(shù)小除數(shù)商…余數(shù)，即被除數(shù)除數(shù)X商+余數(shù)，??除數(shù)X商+1除數(shù)X商，?? 除數(shù)X商。XXX7?? 的兩位數(shù)的約數(shù)有 其中42和70大于41。所以除數(shù)是42或70，即要求的兩位數(shù)是4或70。例2：用一個自然去除另一個整數(shù)，商40，余數(shù)是16。被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是93，3求被除數(shù)和除數(shù)各是多少。解：:被除數(shù)除數(shù)X商+余數(shù)，即被除數(shù)除數(shù)X+6由題意可知：被除數(shù)+除數(shù)=93－34－016=8，77???（除數(shù)X06+除數(shù)，TOC\o"1-5"\h\z.J除數(shù)X— 8除數(shù)+ =???被除數(shù)X+ 8答：被除數(shù)是85，6除數(shù)是2。1例3：某年的十月里有5個星期六，4個星期日，問這年的1月1日是星期幾？解：十月份共有31天，每周共有7天。.J根據(jù)題意可知：有天的星期數(shù)必然是星期四、星期五和星期六。J這年的10月1日是星期四。例4：3月18日是星期日，從3月17日作為第一天開始往回數(shù)（即月日第二天，月日第三天…）的第天是星期幾？解：每周有天，9 （周）…（天）從星期日往回數(shù)5天是星期二，所以第199天3必是星期二。例5：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求適合此條件的最小數(shù)。這是一道古算題，它早在《孫子算經(jīng)》中有記載：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何”關(guān)于這道題的解法，在明朝就流傳一首解題之歌：“三人同行七十稀，五樹梅共廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知?！币馑际?，用除以3的余數(shù)乘以70，用除以5的余數(shù)乘以2，1用除以7的余數(shù)乘以1，5再把三個乘積相加。如果這三個數(shù)的和大于10，5那么就減去10，5直至小于10為5止。這樣就可以得到滿足條件的解。其解法如下：方法一：X+X+X—X 符合條件的最小自然數(shù)是2。3例5的解答方法不僅就這一種，還可以這樣解：方法二：[3，7]+2=2323除以5恰好余3。所以，符合條件的最小自然數(shù)是2。3方法2的思路是什么呢？讓我們再來看下面兩道例題。例6：一個數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合條件的最小自然數(shù)。分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同樣“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：[5，6]—2=，28即28適合前兩個條件。想：28+,]?之后能滿足“被除余”的條件？2+8[5，6]X4=1，41848=X27+11，又< =6所以，適合條件的最小自然數(shù)是14。8例7：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合條件的最小自然數(shù)。解：想+X?之后能滿足“被除余”的條件？+X。再想：+3 ]?之后能滿足“被除余”的條件？+3X5所以，符合條件的最小的自然數(shù)是歸納以上兩例題的解法為：逐步滿足條件法。當(dāng)找到滿足某個條件的數(shù)后，為了再滿足另一個條件，需做數(shù)的調(diào)整，調(diào)整時注意要加上已滿足條件中除數(shù)的倍數(shù)。解這類題目還有其他方法，將會在有關(guān)“同余”部分講到。例8：一個布袋中裝有小球若干個。如果每次取3個，最后剩1個；如果每次取5個或7個，最后都剩2個。布袋中至少有小球多少個？解：+,] （個）/ 除以余，除以余，除以余2.J布袋中至少有小球個。例9、和 被某個自然數(shù)除時，余數(shù)相同，試求的最大值。分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以2余1，19除以2余1，即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是1）。但是，1－915能被2整除。由此我們可以得到這樣的結(jié)論：如果兩個整數(shù)和，被自然數(shù)除的余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)之差（大一?。┮欢鼙徽?。反之，如果兩個整數(shù)之差恰被整除，那么這兩個整數(shù)被除的余數(shù)一定相同。例9可做如下解答：;三個整數(shù)被除余數(shù)相同，??I（—9即I；I（（ —0即I5??是和的公約數(shù)。;要求的最大值，，是和的最大公約數(shù)。二和的最大公約數(shù)是7二?最大是O習(xí)題四用一個自然數(shù)去除另一個自然數(shù)，不完全商是8，余數(shù)是1。6被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)這四個數(shù)的和為463，求除數(shù)。某數(shù)除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個數(shù)最小是多少？某數(shù)除以8余3，除以9余4，除以12余7。在100以0內(nèi)這樣的數(shù)有哪幾個？用卡車運貨，每次運9袋余1袋，每次運8袋余3袋，每次運7袋余2袋。這批貨至少有多少袋？57、96、14被8某自然數(shù)除，余數(shù)相同，且不為0。求28被4這個自然數(shù)除的余數(shù)。本系列共15講第五講奇數(shù)與偶數(shù)及奇偶性的應(yīng)用.文檔貢獻者：與你的緣一．基本概念和知識1．奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂茫檎麛?shù)）表示，奇數(shù)則可以用為整數(shù)）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。2．奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇數(shù)性質(zhì)5偶數(shù)*奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)X奇數(shù)奇數(shù)二．例題利用奇數(shù)與偶數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以巧妙地解決許多實際問題。例1+++…+ 的和是奇數(shù)？還是偶數(shù)？分析此題可以利用高斯求和公式直接求出和，再判別和是奇數(shù)還是偶數(shù)。但是如果從加數(shù)的奇、偶個數(shù)考慮，利用奇偶數(shù)的性質(zhì)，同樣可以判別和的奇偶性。此題可以有兩種解法。解法1: +++…+(1+1993"1993=997X1993，2又二和 是奇數(shù)，奇數(shù)X奇數(shù)奇數(shù)，,?原式的和是奇數(shù)。解法2: ? …?. ?的自然數(shù)中，有 個偶數(shù)，有個奇數(shù)。又:奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，99個7奇數(shù)之和是奇數(shù)。因為，偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)，所以，原式之和一定是奇數(shù)。例2：一個數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相差15，0這個數(shù)是多少？解法1:相鄰兩個奇數(shù)相差2.J 是這個要求的數(shù)的倍。TOC\o"1-5"\h\z??這個數(shù)是 + 7解法2設(shè)這個數(shù)為，設(shè)相鄰的兩個奇數(shù)為+， -1三則有+ — —1)x=150,2a+xx—2a+xx=150,J這個要求的數(shù)是7。5例3：元旦前夕，同學(xué)們互送賀年卡。每人只要接到對方賀年卡就一定回贈賀年卡，那么送了奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？分析此題初看似乎缺總?cè)藬?shù)，但解決問題的實質(zhì)在送賀年卡的張數(shù)的奇偶性上，因此與總?cè)藬?shù)無關(guān)。解：由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次，那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被2整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡的總和為偶數(shù)；另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)=所有人送出的賀年卡總數(shù)－所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)=偶數(shù)－偶數(shù)=偶數(shù)。他們的總?cè)藬?shù)必須是偶數(shù)，才能使他們送出的賀年卡總數(shù)為偶數(shù)。所以，送出奇數(shù)張賀年卡的人數(shù)一定是偶數(shù)。例4已知a、中有一個是5一個是6一個是。求證：-1 -2 -的乘積一定是偶數(shù)。證明：丁ab中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，.Ja中至少有一個奇數(shù)，??? -1-中至少有一個是偶數(shù)。又:偶數(shù)x整數(shù)偶數(shù)，J. -)-Xc是偶數(shù)。例5：任意改變某一個三位數(shù)的各位數(shù)字的順序得到一個新數(shù)，試證新數(shù)與原數(shù)之和不能等于99。9證明：設(shè)原數(shù)為次,設(shè)改變其各位數(shù)字順序后得到的新數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z假設(shè)原數(shù)與新數(shù)之和為 ，即/c-a-bc^^^ ，則有+， +， +，又因為‘、‘、,是、、調(diào)換順序得到的，所以++ ,+、+，因此，又有（+,）++、++， ++即++X可見：等式左邊是偶數(shù)，等式的右邊（X2是奇數(shù)，奇數(shù)W偶數(shù)。因此，等式不成立。所以，此假設(shè)“原數(shù)與新數(shù)之和為”是錯誤的，命題得證。例：用代表整數(shù)的字母、、、寫成等式組：XXXXXXXXXXXX-試說明：符合條件的整數(shù)、、、是否存在。解：由原題等式組可知： 一均為奇數(shù)，且只有奇數(shù)X奇數(shù)奇數(shù)，??abC分別為奇數(shù)，???XXX奇數(shù)。??abc的乘積分別減去、、、后，一定為偶數(shù)。這與原題等式組矛盾。不存在滿足題設(shè)等式組的整數(shù)a、b、c、d.例7：桌上有9只杯子，全部口朝上，每次將其中6只同時“翻轉(zhuǎn)”。請說明：無論經(jīng)過多少次這樣的“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。解：要使一只杯子口朝下，必須經(jīng)過奇數(shù)次“翻轉(zhuǎn)”，要使9只杯子口全朝下，必須經(jīng)過9個奇數(shù)之和次“翻轉(zhuǎn)”。即“翻轉(zhuǎn)”的總次數(shù)為奇數(shù)。但是，按規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)6只杯子，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，翻轉(zhuǎn)的總次數(shù)只能是偶數(shù)次。因此，無論經(jīng)過多少次“翻轉(zhuǎn)”，都不能使9只杯子全部口朝下。例8假設(shè)盞有拉線開關(guān)的燈亮著，規(guī)定每次拉動“一”個開關(guān)，能否把所有的燈都關(guān)上？請證明此結(jié)論，或給出一種關(guān)燈的辦法。證明：當(dāng)為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有的燈關(guān)上。因為要關(guān)上一盞燈，必須經(jīng)過奇數(shù)次拉動它的開關(guān)。由于是奇數(shù)，所以個奇數(shù)的和奇數(shù)。因此，要把所有的燈（盞）都關(guān)上，拉動拉線開關(guān)的總次數(shù)一定是奇數(shù)。但因為規(guī)定每次拉動一個開關(guān)，且一是偶數(shù)，;奇數(shù)W偶數(shù)，??當(dāng)為奇數(shù)時，不能按規(guī)定將所有燈都關(guān)上。當(dāng)為偶數(shù)時，能按規(guī)定將所有燈關(guān)上。關(guān)燈的辦法如下：設(shè)燈的編號為、、、、…、做如下操作：第一次，1號燈不動，拉動其余開關(guān)；第二次，、號燈不動，拉動其余開關(guān)；第三次，、號燈不動，拉動其余開關(guān)；…第次，號燈不動，拉動其余開關(guān)，這時所有的燈都關(guān)上了。例9：在圓周上有、98個7珠子，給每一珠子染兩次顏色，或兩次全紅，或兩次全藍，或一次紅、一次藍，最后統(tǒng)計有、98次7染紅，、98次7染藍。求證至少有一珠子被染上過紅、藍兩種顏色。證明：假設(shè)沒有一個珠子被染上紅、藍兩種顏色，即所有珠子都是兩次染同色。設(shè)第一次染個珠子為紅色，第二次必然還僅染這個珠子為紅色。則染紅色次數(shù)為次。丁m （偶數(shù)w奇數(shù)）???假設(shè)不成立。???至少有一個珠子被染上紅、藍兩種顏色。例10：如下圖1，從起點始，隔一米種一棵樹，如果把三塊“愛護樹木”的小牌分別掛在三棵樹上，那么不管怎樣掛，至少有兩棵掛牌的樹，它們之間的距離是偶數(shù)（以米為單位），這是為什么？解：任意挑選三棵樹掛上小牌，假設(shè)第一棵掛牌的樹與第二棵掛牌的樹之間相距米，第二棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間相距米，那么第一棵掛牌的樹與第三棵掛牌的樹之間的距離+（米）（如下圖）。如果、中有一個是偶數(shù)，題目已得證；如果a都是奇數(shù)，因為奇數(shù)+奇數(shù)偶數(shù)，所以必為偶數(shù)，那么題目也得證。圖圖2例11：某校六年級學(xué)生參加區(qū)數(shù)學(xué)競賽，試題共40道。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題給3分，答錯一題倒扣1分，某題不答給1分。請說明該校六年級參賽學(xué)生得分總和一定是偶數(shù)。解：對每個學(xué)生來說，40道題都答對共得12分0，是個偶數(shù)。如果答錯一道，相當(dāng)于從12分0中扣4分。不論答錯多少道，扣分的總數(shù)應(yīng)是4的倍數(shù)，即扣偶數(shù)分。從12里0減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù)。同樣，如果有某題不答，應(yīng)從12里0減去（3－1）分。不論有多少道題沒答，扣分的總數(shù)是2的倍數(shù)，也是偶數(shù)。所以從12里0減去偶數(shù)，差仍是偶數(shù)。因此，每個學(xué)生得分?jǐn)?shù)是偶數(shù)，那么全年級參賽學(xué)生得分總和也一定是偶數(shù)。例12：某校一年級一班共25名同學(xué)，教室座位恰好排成5行，每行5個座位。把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位。問：讓這25個學(xué)生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？分析為了便于分析，我們可借助于下圖，且用黑白染色幫助分析。我們把每一個黑、白格看作是一個單位，從圖中可知，已在黑格“座位”上的同學(xué)要換到鄰座，必須坐到白格上；已在白格“座位”上的同學(xué)要換到鄰座，又必須全坐到黑格“座位”上。因此，要使每人換為鄰座位，必須黑、白格數(shù)相等。解：從上圖可知，黑色座位有13個，白色座位有12個，13W2因此，不可能使每個座位的人換為鄰座位。例12的解法，采用了黑白兩色間隔染（著）色的辦法。因為整數(shù)按奇偶分類只有兩類，所以將這類問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹诎變缮g隔著色，可以幫助我們較直觀地理解和處理問題。讓我們再看一道例題，再體會一下奇偶性與染色的關(guān)系。例1：3在中國象棋盤任意取定的一個位置上放置著一顆棋子“馬”，按中國象棋的走法，當(dāng)棋盤上沒有其他棋子時，這只“馬”跳了若干步后回到原處。問：“馬”所跳的步數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？在中國象棋中，“馬”走“日”字，如果將棋盤上的各點按黑白二色間隔著色（如圖），可以看出，“馬”走任何一步都是從黑色點走到白色點，或從白色點走到黑色點。因此，“馬”從一色點跳到另一同色點，必定要跳偶數(shù)步。因此，不論開始時“馬”在棋盤的哪個位置上，而且不論“馬”跳多少次，要跳回原處，必定要跳偶數(shù)步。例4線段有兩個端點，一個端點染紅色，另一個端點染藍色。在這個線段中間插入個交點，或染紅色，或染藍色，得到條小線段（不重疊的線段）。求證：兩個端點不同色的小線段的條數(shù)一定是奇數(shù)。證明：當(dāng)在中插入第一點時，無論紅或藍色，兩端色不同的線段仍是一條。插入第二點時有三種情況：（1）插入點在兩端不同色的線段中，則兩端不同色線段條數(shù)不變；（2）插入點在兩端同色的線段中，且插入點顏色與線段端點顏色相同，則兩端不同色線段條數(shù)不變；（3）插入點在兩端同色的線段中，但插入點顏色與線段端點顏色不同，則兩端不同色線段條數(shù)增加兩條。因此插入第二個點時端點不同色的線段數(shù)比插入第一個點時端點不同色的線段數(shù)（=1）多0或2，因此是奇數(shù)（1或3）。同樣，每增加一個點，端點不同色的線段增加偶數(shù)（0或2）條。因此，無論是什么數(shù)，端點不同色的線段總是奇數(shù)條。習(xí)題五有10個0自然數(shù)，它們的和是偶數(shù)。在這10個0自然數(shù)中，奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多。問：這些數(shù)中至多有多少個偶數(shù)？有一串?dāng)?shù)，最前面的四個數(shù)依次是1、9、8、7。從第五個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面相鄰四個數(shù)之和的個位數(shù)字。問：在這一串?dāng)?shù)中，會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)嗎？求證：四個連續(xù)奇數(shù)的和一定是8的倍數(shù)。把任意6個整數(shù)分別填入下圖中的6個小方格內(nèi)，試說明一定有一個矩形，它的四個角上四個小方格中的四個數(shù)之和為偶數(shù)。5．如果兩個人通一次電話，每人都記通話一次，在24小時以內(nèi)，全世界通話次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總數(shù)為。A必為奇數(shù)、必為偶數(shù)、可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)一次宴會上，客人們相互握手。問握手次數(shù)是奇數(shù)的那些人的總?cè)藬?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？有12張卡片，其中有3張上面寫著1，有3張上面寫著3，有3張上面寫著5，有3張上面寫著7。你能否從中選出五張，使它們上面的數(shù)字和為20？為什么？有10只杯子全部口朝下放在盤子里。你能否每次翻動4只杯子，經(jīng)過若干次翻動后將杯子全部翻成口朝上？電影廳有每排有19個座位，共23排，要求每一位觀眾都僅和他鄰近（即前、后、左、右）一人交換位置。問：這種交換方法是否可行？由14個大小相同的方格組成下列圖形，請證明：不論怎樣剪法，總不能把它剪成7個由相鄰兩個方格組成的長方形。本系列第六講能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征文檔貢獻者：與你大家知道，一個整數(shù)能被2整除，那么它的個位數(shù)能被2整除；反過來也對，也就是一個數(shù)的個位數(shù)能被2整除，那么這個數(shù)本身能被2整除。因此，我們說“一個數(shù)的個位數(shù)能被2整除”是“這個數(shù)能被2整除”的特征。在這一講中，我們通過尋求對于某些質(zhì)數(shù)成立的等式來導(dǎo)出能被這些質(zhì)數(shù)整除的特征。為了敘述起見，我們把討論的數(shù)記為:^Oiaaa bX+X+X+,有時也表示為?DCBA。我們已學(xué)過同余，用 表示除以取余數(shù)，有公式：①三（）②三③三④=這幾個公式表明一個數(shù)被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除時，如何求余數(shù)。此外，被3（9）整除的數(shù)的特征為：它的各位數(shù)字之和可以被()整除。我們借用同余記號及一些運算性質(zhì)來重新推證一下。如()，如果：義+義+義+X++X++X+++++ +X+X+X那么，等式右邊第二個括號中的數(shù)是的倍數(shù)，從而有三+ + +對于，理由相仿，從而有公式：⑤三…++++三…++++對于被整除的數(shù)，它的特征為：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差(大減小)能被整除。TOC\o"1-5"\h\z先看一例。 ，改寫為如下形式： +(一)+(+)+( —)+( +)+(一)+( +)+( 一)—+—+—+—+X+X9X+X9X+X+X 由于下面這兩行里，、、FEDFEDX（—）+CBAFEDFEDX（—）+CBAFEDFEDX 00BA0都0是0111的倍數(shù)，所以三一+—+—+—（ ）小學(xué)生在運算時，碰上“小減大”無法減時，可以從上面的表達式最后一行中“借用”11的適當(dāng)倍數(shù)（這樣，最后一條仍都是11的倍數(shù)），把它加到“小減大”的算式中，這樣就得到：三+—+—+—+—三（ 1現(xiàn)在總結(jié)成一般性公式（推理理由與例題相仿）。設(shè)=…&aaaaaaa，76543210則三（一+—+—+—+…）或者：三+++ - +++ （當(dāng)不夠減時，可添加++的適當(dāng)倍數(shù)）。因此，一個自然數(shù)能被++整除的特征是：它的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差（大減小）能被++整除。我們這里的公式不僅包含整除情況，還包含有余數(shù)的情況。下面研究被7 +整除的數(shù)的特征。有一關(guān)鍵性式子：X++3=+。00+如有一個數(shù)有六位，記為fiDCBA，那么FEDX —FED+cbaFEDX（XX）+cba—FED所以能被、、整除，相當(dāng)于CBA—FED或FED—CBA（以大減?。┠鼙?、、、、、、3整除。總結(jié)為公式：,GFEDCBA三CBA——GFED（ ）（當(dāng)CBA<…GFED時，可在BA——GFED上加上或或的適當(dāng)倍數(shù)。）表述為：判定某數(shù)能否被、或、、或、3整除，只要把這個數(shù)的末三位與前面隔開，分成兩個獨立的數(shù)，取它們的差（大減小），看它是否被、或、、或、3整除。這法則可以連續(xù)使用。下面研究可否被、、、、9整除的簡易判別法?；仡檶Ρ惹懊妫傻仁絏X的啟發(fā)，才有簡捷的“隔位相減判整除性”的方法。對于質(zhì)數(shù)、、，我們有下面一些等式：、X、6F、0、2、X59F、0、0X、3588F9、9X、965882F9我們不妨從X出發(fā)。由于FEDCBAFEDX +0BAFEDX 0CBA—Xfed三CBA—Xfed（ 7（亦可在CBA—XFED上加上的適當(dāng)倍數(shù)）因此，判定一個數(shù)可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數(shù)與3倍的前面隔出數(shù)的差（大減?。┦欠癖?7整除。下面來推導(dǎo)被19整除的簡易判別法。尋找關(guān)鍵性式子：X9X 1由于FEDCBAFEDX（0+CBAFEDX（ —）+CBAFEDX +CBA—XFED三CBA—Xfed亦可在CBA—XFeD上加上的適當(dāng)倍數(shù)因此，判定一個數(shù)可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與倍的前面隔出的數(shù)的差（大減?。┦欠癖徽?。下面來推導(dǎo)被2、329整除的簡易判別法。尋找關(guān)鍵性式子，隨著質(zhì)數(shù)增大，簡易法應(yīng)該在的位數(shù)多時起主要作用，現(xiàn)有X X由此啟發(fā)得到一個末四位隔開的方法：由于GFEDCBAGFEX+DCBAGFEX—XGFE+DCBA所以三DCBA—XGFE（ ）（亦可在DCBA—XGFE上加上或的適當(dāng)倍數(shù)）因此，判定一個數(shù)可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與5倍的前面隔出的數(shù)的差（大減?。┦欠癖?或29整除。最后，如讀者還想尋找以上數(shù)的更簡明判別法，或被31以上質(zhì)數(shù)整除的判別法，都是可以去探索的。把這一節(jié)得到的公式簡列于下：.GFEDCBA①三CBA—GFED（ ）②三CBA—X..GFED③三CBA—X-.GFED④三DCBA—X-GFE_ __⑤三CBA+X-GFED⑥三CBA+X-GFED（可在上述這些同余式的右端加上相應(yīng)質(zhì)數(shù)的適當(dāng)倍數(shù)）后兩式?jīng)]有證明，讀者不難從 X7X啟發(fā)出“隔位加”的判別法。習(xí)題六1．公式X59曾用于推導(dǎo)判定被17整除的公式，請說明是質(zhì)數(shù)，并且公式②也是判定被10004X=16，4你能利用這一等式導(dǎo)出判定被61整除的簡便公式嗎？整除的簡便公式2．說明公式③也是判定被53整除的簡便公式。9．證明210－28＋26－24＋22－1被9整除。.求使一能被7整除的所有自然數(shù)n。4．67是質(zhì)數(shù)，X6請證明： 本系列共15講－5X994=X7114，1是質(zhì)數(shù)，請導(dǎo)出判定被

式。否被1整除的公7整除？2可7. 已知整數(shù)12345能被11整除，求可能的值。無xx8．判別51721＋437120能否被6整除？能否被9整除？說明理由。第七講行程問題 .文檔貢獻者：與你的緣在這一講中，我們將要研究的是行程問題中一些綜合性較強的題目。為此，我們需要先回顧一下已學(xué)過的基本數(shù)量關(guān)系：路程速度X時間總路程速度和X時間路程差速度差X追擊時間例1：小華在8點到9點之間開始解一道題，當(dāng)時時針、分針正好成一直線，解完題時兩針正好第一次重合。問：小華解這道題用了多長時間？分析：這道題實際上是一個行程問題。開始時兩針成一直線，最后兩針第一次重合。因此，在我們所考察的這段時間內(nèi)，兩針的路程差為分格，又因為時針每小時走分格，即它的速度為_112分格/分鐘，而分針的速度為1分格/分鐘，所以，當(dāng)它們第一次重合時，一定是分針從后面追上時針。這是一個追擊問題追及時間就是小明的解題時間。解：+（—1） +U32（分鐘）12 12 11例2：甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，

丙每分鐘走米。甲從地，乙和丙從地同時出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了分鐘又與丙相遇。求、兩地間的距離。畫圖如下：L—-- II—畫圖如下：L—-- II—fS--H-w-rr 11S fjl%［人］札JJ/j■一、r"丁丁”「不：七常 .一1"乙甲內(nèi)I甲、乙相遇Jfli］分析：結(jié)合上圖，如果我們設(shè)甲、乙在點相遇時，丙在點,則因為過分鐘后甲、丙在點相遇，所以、之間的距離就等于（+0X米。又因為乙和丙是同時從點出發(fā)的，在相同的時間內(nèi)，乙走到點，丙才走到點，即在相同的時間內(nèi)乙比丙多走了米，而乙與丙的速度差為一（米分），這樣可求出乙從到的時間為小分鐘，也就是甲、乙二人分別從、出發(fā)到點相遇的時間是 分鐘，因此，可求出、的距離。解：（1）甲和乙15分鐘的相遇路程：（+0X米（2）乙和丙的速度差：50－40=（1米0/分）(3)甲和乙的相遇時間：()A兩地間的距離：(+0X 米 千米。答：、兩地間的距離是 千米。例3：甲、乙、丙是一條路上的三個車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等。小強和小明同時分別從甲、丙兩站出發(fā)相向而行，小強經(jīng)過乙站10米0時與小明相遇，然后兩人又繼續(xù)前進，小強走到丙站立即返回，經(jīng)過乙站30米0時又追上小明。問：甲、乙兩站的距離是多少米？先畫圖如下：分析：結(jié)合上圖，我們可以把上述運動分為兩個階段來考察：1，第一階段：從出發(fā)到二人相遇；小強走的路程=一個甲、乙距離＋10米0小明走的路程=一個甲、乙距離－10米02，第二階段：從他們相遇到小強追上小明；小強走的路程=個2甲、乙距離－10米0＋30米0=個2甲、乙距離＋20米0小明走的路程=1＋300=米40從0小強在兩個階段所走的路程可以看出：小強在第二階段所走的路程是第一階段的2倍，所以，小明第二階段所走的路程也是第一階段的倍，即第一階段應(yīng)走小米，從而可求出甲、乙之間的距離為20＋0100=米3。00例4：甲、乙、丙三人進行20米0賽跑，當(dāng)甲到終點時，乙離終點還有20米，丙離終點還有25米；如果甲、乙、丙賽跑的速度都不變，那么當(dāng)乙到達終點時，丙離終點還有多少米？分析：在相同的時間內(nèi)，乙行了（20－020）=18米0，丙行了一米，則丙的速度是乙的速度的 + 35=那么，36在乙走米的時間內(nèi)，丙只能走： X35194米，因此，當(dāng)乙到36 9達終點時，丙離終點還有一19455米。9 9例5甲、乙二人分別從、兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇。又已知乙每分鐘行米，求、兩地的距離。先畫圖如下：分析：若設(shè)甲、乙二人相遇地點為，甲追及乙的地點為則由題意可知甲從到用分鐘，而從到則用分鐘。因此，甲走到之間的路程時，所用時間應(yīng)為：一 分0同時，由上圖可知，、之間的路程等于加，即等于在分鐘鐘內(nèi)所走的路程與在分鐘內(nèi)所走的路程之和，為X(+)米，所以甲的速度為 小(米分)，由此可求出、間的距離。例6：一條公路上，有一個騎車人和一個步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍，每隔6分鐘有一輛公共汽車超過步行人，每隔1分鐘有一輛公共汽車超過騎車人。如果公共汽車始發(fā)車的時間間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？分析：要求汽車的發(fā)車時間間隔，只要求出汽車的速度和相鄰兩汽車之間的距離就可以了，但題目沒有直接告訴我們這兩個條件，如何求出這兩個量呢？由題可知：相鄰兩汽車之間的距離（以下簡稱間隔距離）是不變的，當(dāng)一輛公共汽車超過步行人時，緊接著下一輛公共汽車與步行人之間的距離就是間隔距離，每隔6分鐘就有一輛汽車超過步行人，這就是說：當(dāng)一輛汽車超過步行人時，下一輛汽車要用6分鐘才能追上步行人，汽車與行人的路程差就是相鄰兩汽車的間隔距離。對于騎車人可作同樣的分析。因此，如果我們把汽車的速度記作汽，騎車人的速度為自，步行人的速度為人（單位都是米分鐘），則：間隔距離（汽一人）X（米）間隔距離（汽—自）X（米）V=3V自人綜合上面的三個式子，可得：V人，即人汽，則：TOC\o"1-5"\h\z汽 人 人6間隔距離（「一」汽）義 汽（米）汽6汽 汽所以，汽車的發(fā)車時間間隔就等于：間隔距離小十、一（米）+「（米分鐘）（分鐘）汽汽 汽例7：甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8秒鐘，離甲后5分鐘又遇乙，從乙身邊開過，只用了7秒鐘。問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇？分析：要求過幾分鐘甲、乙二人相遇，就必須求出甲、乙二人這時的距離與他們速度的關(guān)系，而與此相關(guān)聯(lián)的是火車的運動，只有通過火車的運動才能求出甲、乙二人的距離。火車的運行時間是乙知的，因此必須求出其速度，至少應(yīng)求出它和甲、乙二人的速度的比例關(guān)系。由于本問題較難，故分步詳解如下：1出火車速度車與甲、乙二人速度人的關(guān)系，設(shè)火車車長為，則：（1）火車開過甲身邊用8秒鐘，這個過程為追及問題，故：車一人）義（2）火車開過乙身邊用（2）火車開過乙身邊用秒鐘，這個過程為相遇問題，故：（車+人）X車+車+人）車人所以,車人火車頭遇到甲處與火車頭遇到乙處之間的距離是：（8+5X60）XV=308=3V0X815=V4620V車車 人 人，求火車頭遇到乙時甲、乙二人之間的距離?；疖囶^遇甲后，又經(jīng)過（+X0秒后，火車頭才遇乙，所以，火車頭遇到乙時，甲、乙二人之間的距離為：，求甲、乙二人過幾分鐘相遇？小 秒3311分鐘人人 30答：再過3311分鐘甲、乙二人相遇。30習(xí)題七． 晶晶每天早上步行上學(xué)，如果每分鐘走60米，則要遲到5分鐘；如果每分鐘走75米，則可提前2分鐘到校。求晶晶到校的路程。． 甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67.米，丙每分鐘走75米。甲、乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過2分鐘與甲相遇。求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？.A兩輛汽車同時從甲、乙兩站相對開出，兩車第一次在距甲站32公里處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64公里處相遇。甲、乙兩站間相距多少公里？.周長為 米的圓形跑道上，有相距 米的、兩點甲、乙兩人分別從、兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到時，乙恰好跑到。如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么追上乙時，甲共跑了多甲、乙跑的速度和方向都不變，那么追上乙時，甲共跑了多少米（從出發(fā)時算起）？老王15千米，回來時改騎摩托車，每小時騎33千米，騎摩托車比騎自行車少用1.小8時。求甲、乙兩城的距離。速度為快、中、慢的三輛汽車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面一個騎車人，這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人，現(xiàn)在知道快車每小時行24公里，中車每小時行20公里，那么慢車每小時行多少公里？在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘相遇一次。如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次。問兩人各跑一圈需要幾分鐘？從甲城騎自行車到乙城 本系列共15講去辦事，每小時騎

第八講流水行船問題第八講文檔貢獻者：與你的緣船在江河里航行時，除了本身的前進速度外，還受到流水的推送或頂逆，在這種情況下計算船只的航行速度、時間和所行的路程，叫做流水行船問題。流水行船問題，是行程問題中的一種，因此行程問題中三個量（速度、時間、路程）的關(guān)系在這里將要反復(fù)用到。此外，流水行船問題還有以下兩個基本公式：順?biāo)俣?船速＋水速 （1）逆水速度=船速－水速 （2）這里，船速是指船本身的速度，也就是在靜水中單位時間里所走過的路程。水速，是指水在單位時間里流過的路程。順?biāo)俣群湍嫠俣确謩e指順流航行時和逆流航行時船在單位時間里所行的路程。根據(jù)加減法互為逆運算的關(guān)系，由公式（1）可以得到：