第55講空間角與距離的計算（2）（原卷版）

第55講空間角與距離的計算（2）空間角與距離的計算eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探索性問題\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探點(diǎn)得位置關(guān)系,探點(diǎn)得角)),最值問題))1、【2021年甲卷理科】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?2、【2020年新高考1卷（山東卷）】如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．1、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，.（1）證明：平面平面；（2），分別是，的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，若二面角的平面角的大小為，試確定點(diǎn)的位置.2、(2022·青島二模)如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑AB＝4，母線PH＝2eq\r(2)，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形．(1)設(shè)平面POH∩平面PBC＝l，求證：l∥BC；(2)設(shè)D為OH的中點(diǎn)，N是線段CD上的一個點(diǎn)，當(dāng)MN與平面PAB所成的角最大時，求MN的長．考向一利用空間向量解決探索性問題例1、（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（理））四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，點(diǎn)P在底面的射影為點(diǎn)O，且，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)在線段上，是否存在點(diǎn)N，使二面角的余弦值為？若存在，請確定點(diǎn)N的位置，若不存在，請說明理由．變式1、（2022年河北省衡水中學(xué)高三模擬試卷）如圖，在四棱錐中，已知四邊形是邊長為的正方形，點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心，點(diǎn)在棱上，且的面積為1.（1）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.變式2、(2022·湖南長沙縣第一中學(xué)模擬)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，且AC＝AB＝AA1＝2.(1)求證：A1B⊥B1C；(2)M，N分別為棱CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A1B1上，是否存在點(diǎn)P，使平面PMN與平面ABC所成角的余弦值為eq\f(4\r(21),21)，若存在，試確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由．方法總結(jié)：用向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問題的方法：(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，并用向量表示出來，然后再加以證明，得出結(jié)論．(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．考向二運(yùn)用向量研究空間距離例2、（2022年福建省福州市高三模擬試卷）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PAB是邊長為2的等邊三角形．梯形ABCD滿足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．（1）求證：PD⊥AB；（2）若PD＝2，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．變式1、如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求點(diǎn)A到平面MBC的距離．方法總結(jié)：(1)作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離．(2)等體積法．(3)向量法．其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡便．考向三運(yùn)用向量研究最值問題例3、如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，沿DE將△ADE折起，得到如圖所示的四棱錐A′BCDE.(1)在棱A′B上找一點(diǎn)F，使EF∥平面A′CD；(2)當(dāng)四棱錐A′BCDE的體積取最大值時，求平面A′CD與平面A′BE所成角的余弦值．變式1、（2022·廣東東莞·高三期末）如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）若四棱錐的所有棱長為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值..方法總結(jié):建立關(guān)于角距離等所求的函數(shù)的關(guān)系式，然后運(yùn)用基本不等式或者求導(dǎo)進(jìn)行研究。1、（2022·山東青島·高三期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)A到平面的距離.2、（2022年廣州第十七中學(xué)高三模擬試卷）如圖所示，在梯形ABCD中，，四邊形ACFE為矩形，且平面，．（1）求證：平面BCF；（2）點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時，平面MAB與平面FCB所成的銳二面角的正弦值為．3、（惠州市高三期末試題）如圖，是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，平面平面，，，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線.（1）求證：直線平面；（2）直線上是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面，直線所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.4、（江門市高三期末試卷）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，且，，，．(1)求證：；(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)M，使二面角的余弦值為？若存在，求三棱錐體積；若不存在，請說明理由．5、（2023·江蘇泰州