高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編（新高考通用）專(zhuān)題15圓錐曲線壓軸大題（十大題型）（原卷版）

專(zhuān)題15圓錐曲線壓軸大題相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程1．（江蘇省淮陰中學(xué)、海門(mén)中學(xué)、姜堰中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知雙曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)m的值；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程．2．（2022秋·河北唐山·高三開(kāi)灤第一中學(xué)校考期中）已知A是圓O：x2+y2＝4上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足.（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；（2）垂直于x軸的直線M交軌跡C于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（3，0），直線PM與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.問(wèn)：直線NQ是否過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（湖南省衡陽(yáng)市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在直角坐標(biāo)系中，線段，且兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸和y軸上滑動(dòng)．(1)求線段的中點(diǎn)C的軌跡方程；(2)若直線．①證明直線l與曲線C恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)；②求直線l被曲線C截得的最短弦長(zhǎng)．4．（福建省泉州市晉江二中、鵬峰中學(xué)、廣海中學(xué)、泉港五中2023屆高三上學(xué)期10月期中）已知圓，點(diǎn)．(1)直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；(2)若動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與圓C外切，求動(dòng)圓的圓心D的軌跡方程；(3)是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，使得對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)M，均有為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)和常數(shù)的值；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（江蘇省徐州市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為，點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，并且滿(mǎn)足，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）作曲線的任意一條切線（不含軸），直線與切線相交于點(diǎn)，直線與切線、軸分別相交于點(diǎn)與點(diǎn)，試探究的值是否為定值，若為定值請(qǐng)求出該定值；若不為定值請(qǐng)說(shuō)明理由.交軌法求軌跡方程6．（2022秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)A(1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.7．（安徽省卓越縣中聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于，點(diǎn)和是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)非重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線左右頂點(diǎn)，恒成立．(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．8．（海南省?？诩蝿赘呒?jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考）已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線交拋物線與兩點(diǎn)（在軸的同側(cè)），求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程．9．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)三點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)右焦點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)，求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程.10．（2022秋·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B到直線的距離為(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點(diǎn)時(shí)，記直線的斜率為，直線的斜率為.（i）是否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）求直線和交點(diǎn)的軌跡方程.參數(shù)法求軌跡方程11．（福建省龍巖市永定區(qū)坎市中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，過(guò)拋物線（＞0）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB．⑴設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)⑵求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程13．（海南省?？诩蝿赘呒?jí)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中考）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ），為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.14．（江蘇省淮安市淮安區(qū)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，的焦點(diǎn)為．（1）若直線過(guò)焦點(diǎn)，且，求的值；（2）已知點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，且，當(dāng)直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上時(shí)，點(diǎn)在直線上，滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡方程．求參數(shù)范圍及最值問(wèn)題15．（江蘇省南京東山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右、上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.16．（福建省泉州市安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三期中）已知，為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且拋物線的焦點(diǎn)為，M為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若橢圓C上存在一點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.17．（2022秋·重慶渝北·高三重慶市渝北中學(xué)校期中）已知為坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)中點(diǎn)為，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，求證為定值；(3)在（2）的條件下，設(shè)，且，求直線在軸上的截距的變化范圍．18．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中?？计谥校┰O(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓上的點(diǎn)且坐標(biāo)為．(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(2)若C為橢圓上異于B的一點(diǎn)，且，求λ的值；(3)設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最大值．19．（山東省青島市青島第十九中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且，橢圓離心率．(1)求橢圓方程；(2)過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求滿(mǎn)足的直線的斜率的取值范圍．20．（廣東省廣州六中2023屆高三上學(xué)期期中）已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)和，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求的最小值．定點(diǎn)問(wèn)題21．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線距離的倍，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線：與曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)曲線上是否存在兩點(diǎn)滿(mǎn)足，若存在，請(qǐng)求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（遼寧省六校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線的中心，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同．(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為拋物線上的定點(diǎn)，，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).且，問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2022秋·山東青島·高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥校┮阎?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)且與直線相切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若A，B是曲線C上的兩個(gè)點(diǎn)，且直線AB過(guò)的外心，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:直線過(guò)定點(diǎn).24．（黑龍江省齊齊哈爾市三立高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).25．（2022秋·河北滄州·高三任丘市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獔A的圓心在第一象限內(nèi)，圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，與軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)為．若點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為，點(diǎn)．(1)求四邊形面積的最小值；(2)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明．26．（遼寧省葫蘆島市四校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，短軸長(zhǎng)為，焦距為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在軸上方，且.證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).27．（江蘇省淮安市高中校協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，．(1)求；(2)過(guò)點(diǎn)作直線，與交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理出．定值問(wèn)題28．（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)在直線：上，且橢圓的離心率．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的值．29．（2022秋·遼寧鐵嶺·高三昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的動(dòng)直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上，(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，證明:為定值.30．（山東省聊城市第二中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)重合，且與的離心率之積為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，若直線與圓相切，且與雙曲線左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為的斜率為，那么是否為定值？并說(shuō)明理由．31．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三嘉祥縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎菕佄锞€上一點(diǎn)，且M到C的焦點(diǎn)的距離為5.(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：是定值.32．（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中?？计谥校┮阎S圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長(zhǎng)為，面積為.(1)求的方程.(2)設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（不同于左右頂點(diǎn)），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立.33．（江蘇省無(wú)錫市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.34．（2023屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知橢圓，四點(diǎn)，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)交橢圓于A，兩點(diǎn)，在軸上是否存在一定點(diǎn)使得為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．定直線問(wèn)題35．（2022秋·黑龍江牡丹江·牡丹江一中上學(xué)期期中）以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積為，一個(gè)焦點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)過(guò)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在一條定直線：，使得上的任何一點(diǎn)P都滿(mǎn)足PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出直線的方程，若不存在說(shuō)明理由36．（重慶市楊家坪中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知直線，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)設(shè)直線與的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設(shè)圓在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，與的交點(diǎn)為.證明：Q，A，B，C四點(diǎn)共圓，并探究當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)是否恒在一條定直線上?若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說(shuō)明理由.37．（2022秋·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）已知拋物線和圓，傾斜角為的直線過(guò)焦點(diǎn)，且與相切.(1)求拋物線的方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)在上，若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，設(shè)，證明點(diǎn)在定直線上，并求該定直線的方程.38．（海南省瓊海市嘉積第三中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ交于點(diǎn)M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；②點(diǎn)M在定直線上.39．（遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.(1)求C的方程；(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.40．（2022秋·山西陽(yáng)泉·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線C：的離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且，試判斷直線AN與直線BM的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由41．（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于異于，的M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與直線交于點(diǎn)P，證明點(diǎn)P在定直線上，并求出該定直線的方程．向量共線問(wèn)題42．（廣東省深圳市南山區(qū)北京師范大學(xué)南山附屬學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.43．（海南省瓊海市嘉積中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°，到直線l的距離為.(1)求橢圓C的焦距；(2)如果，求橢圓C的方程.44．（2022秋·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）已知是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)．(1)求橢圓的焦距和離心率；(2)設(shè)，若，且、、和、、分別共線，求證：三點(diǎn)共線；(3)若是橢圓上的點(diǎn)，且，求的面積．45．（2022秋·河南安陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)已知為的中點(diǎn)，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線.46．（2022秋·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┌⒒椎拢ü?87年公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線.47．（廣東省羅定中學(xué)城東學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）已知橢圓C：的離心率，點(diǎn)，為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為3．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)P，若，且點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求的最小值．48．（2022秋·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓Γ：，點(diǎn)分別是橢圓Γ與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．(1)若橢圓焦點(diǎn)在軸上，且其離心率是，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．面積問(wèn)題49．（山西省運(yùn)城市2023屆高三上學(xué)期期中）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)延長(zhǎng)，并與橢圓分別相交于兩點(diǎn)，求的面積.50．（江蘇省常州市橫林高級(jí)中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且________．在①過(guò)點(diǎn)；②過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦的長(zhǎng)度為1；③長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并解答．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，求的面積．51．（河北省石家莊精英中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知圓心在軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸分別交于、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)．(1)求的軌跡方程；(2)若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．52．（廣東省江門(mén)市新會(huì)區(qū)新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知點(diǎn)在橢圓C：上，點(diǎn)在橢圓C內(nèi).設(shè)點(diǎn)A，B為C的短軸的上、下端點(diǎn)，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.53．（河北省張家口市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知離心率的橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．(3)設(shè)M是橢圓C上的點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)，，求的面積．54．（江蘇省南通市如皋市20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）在直角坐標(biāo)系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點(diǎn)在雙曲線上,設(shè)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,直線與軸相交于點(diǎn).(1)求雙曲線的方程;(2)在軸上是否存在一點(diǎn),使得,若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;(3)求點(diǎn)的坐標(biāo),使得的面積最小.55．（湖南省岳陽(yáng)市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)橢圓M：的右焦點(diǎn)的直線交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求橢圓M的方程;(2)C，D為M上兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線，求四邊形面積的最大值.切線問(wèn)題56．（湖南省常德市五校聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過(guò)Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．57．（黑龍江省大慶中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．(1)求的軌跡的方程；(2)過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，在處的切線為交軸于點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．58．（河北省五個(gè)一聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期期中）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，已知．(1)求與的值；(2)以點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線的切線，交y軸于點(diǎn)N，求的面積．59．（河北省唐山市第十中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）已知雙曲線為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其右支上一點(diǎn)，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；(2)過(guò)分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，求和的面積之積的最小值.60．（湖北省鄂北六校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，已知平行四邊形ABCD與橢圓相切，且，，，.(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)是橢圓上位于第一象限一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)處的切線與AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).證明：為定值.61．（2022秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，求證：過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的切線方程為；(3)若點(diǎn)M為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作該橢圓的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為，求△的面積的最小值．62．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2022秋·河南洛陽(yáng)·高三洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)到直線的距離分別為，求的值.2．（江蘇省鹽城市四校2023屆高三上學(xué)期期中）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過(guò)S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.3．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）已知圓：與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），過(guò)點(diǎn)作圓的切線，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值.4．（2022秋·云南·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，．(1)證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程．參考結(jié)論：為橢圓上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的橢圓的切線方程為．5．（遼寧省重點(diǎn)高中沈陽(yáng)市郊聯(lián)體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）已知橢圓C：的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)我們稱(chēng)圓心在橢圓C上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”，過(guò)原點(diǎn)O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2022秋·江蘇南通·高三?？计谥校┮阎?jiǎng)訄A恒過(guò)定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．7．（福建省南