2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)講專(zhuān)練第41講放縮法含解析

第41講放縮法在前面的幾個(gè)章節(jié)中已經(jīng)涉及了一部分放縮法的運(yùn)用,在導(dǎo)數(shù)里放縮法具有廣泛用途,比如說(shuō)直接利用放縮法證明不等式,利用放縮法找零點(diǎn)或者隱零點(diǎn)區(qū)間,利用放縮法判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào),進(jìn)而判定函數(shù)單調(diào)性等.那放縮法到底是什么?放縮法本質(zhì)上是一種近似估算,利用它達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的,其理論依據(jù)是高等數(shù)學(xué)里面的泰勒展開(kāi),這在后面的章節(jié)會(huì)具體講解,本節(jié)先從高中數(shù)學(xué)的視角來(lái)講解不等式放縮.那么如何利用放縮法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題呢?放縮法的核心在于利用不等式,對(duì)函數(shù)進(jìn)行放大或縮小,從而達(dá)到簡(jiǎn)化函數(shù)進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.下面一些關(guān)于不等式的常用結(jié)論,請(qǐng)?jiān)谧鲱}過(guò)程中慢慢體會(huì).1.能夠利用的不等式通常分為三類(lèi):(1)常用不等式,就是常用對(duì)數(shù)不等式、常用指數(shù)不等式和基本不等式,以及相關(guān)的變形.(2)已證不等式,通常就是第一小問(wèn)證明出來(lái)的不等式會(huì)被用在第二小問(wèn)題來(lái)進(jìn)行放縮.(3)變形不等式,常用不等式的變形或者在解題過(guò)程中積累下來(lái)的不等式.2.在利用不等式放縮的時(shí)候需要注意“一向,二等,三證明”.一向.就是不等式放縮時(shí)要注意不等號(hào)的方向要一致,需要同向才能放縮.二等.就是要注意等號(hào)成立的條件,如果多次放縮還要注意等號(hào)能否同時(shí)成立.三證明.就是在運(yùn)用了不等式放縮之后,一定要對(duì)不等式進(jìn)行證明,除基本不等式之外,其他必須證明,也就是我們常說(shuō)的“欲用不等式,必證不等式”.3.運(yùn)用不等式放縮時(shí)通常可以分為以下幾類(lèi):(1)直接放縮.就是直接利用常用不等式或者函數(shù)單調(diào)性放縮即可求解.(2)去參數(shù)放縮.利用函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)取值范圍,把參數(shù)去掉來(lái)實(shí)現(xiàn)放縮.(3)去項(xiàng)放縮.是通過(guò)舍棄一些項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)放縮簡(jiǎn)化.(4)系數(shù)放縮.對(duì)函數(shù)進(jìn)行因式分解,在可預(yù)見(jiàn)不等式性質(zhì)的前提下,把某一個(gè)因式作為另一個(gè)因式的系數(shù)進(jìn)行放縮.基本放縮公式總結(jié)下面一些常用的不等式,可用于放縮法證明不等式或者賦值法找零點(diǎn),其原理會(huì)在后面泰勒展開(kāi)那里具體講【解析】,這里不過(guò)多證明.注意:如果考試的時(shí)候使用了下面的不等式,一定要用構(gòu)造函數(shù)的方式證明出來(lái),所謂“欲用不等式,必證不等式”.第一組:對(duì)數(shù)放縮(1)放縮成一次函數(shù).(2)放縮成雙撇函數(shù)....(3)放縮成二次函數(shù).(4)放縮成類(lèi)反比【例】函數(shù),.0),.第二組:指數(shù)放縮(1)放縮成一次函數(shù).(2)放縮成類(lèi)反比【例】函數(shù).(3)放縮成二次函數(shù)第三組:指對(duì)放縮.第四組:三角函數(shù)放縮.第五組:以直線為切線的函數(shù).下面舉例說(shuō)明如何運(yùn)用不等式放縮來(lái)證明不等式.【例】設(shè),若對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.先參變分離:.放縮法:由可得.這里直接利用指數(shù)不等式整體代換放縮,即可求出,極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算,這也是放縮法的魅力所在,我們一定要銘記不等式放縮的“三注意”：一向,二等,三證明.常用不等式及其變形方法總結(jié)不等式一：常用指數(shù)不等式【例1】證明:指數(shù)不等式:.【解析】證明：令,則.令得.令得.在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.,即..(1)記憶:可以利用圖像輔助記憶,即指數(shù)函數(shù)的圖像在一次函數(shù)的上方.(2)取等條件:時(shí)可以取到等號(hào).(3)變形:對(duì)于指數(shù)不等式變形通常是利用整體代換，(4)變方向:當(dāng)時(shí)要改變不等號(hào)方向通常不等號(hào)兩邊取倒數(shù),不等式二:常用對(duì)數(shù)不等式【例2】證明:對(duì)數(shù)不等式:.【解析】證明：令,則.令得,令得.在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.,即..(1)記憶:可以利用圖像輔助記憶,即指數(shù)函數(shù)的圖像在一次函數(shù)的下方.(2)取等條件:時(shí)可以取到等號(hào).(3)變形:對(duì)于對(duì)數(shù)不等式變形通常是利用整體代換,.(4)變方向:通常不等號(hào)兩邊同時(shí)乘負(fù)號(hào),.常用不等式直接放縮對(duì)于一些無(wú)參不等式的證明,特別是同時(shí)包含指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式,我們通常需要用常用指數(shù)不等式和常用對(duì)數(shù)不等式放縮為冪函數(shù),從而實(shí)現(xiàn)函數(shù)簡(jiǎn)化,進(jìn)而方便計(jì)算和求解.【例1】證明:.【解析】證明：由常用指數(shù)不等式,整體代換可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).由常用對(duì)數(shù)不等式,整體代換可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).(1)式與(2)式取等號(hào)的條件不同,.【例2】證明:.【解析】證明：由得,即,故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).又.由于(1)(2)式等號(hào)不能同時(shí)成立,兩式相加得,兩邊同乘得.【例3】設(shè).證明:當(dāng)時(shí),.【解析】證明：當(dāng)時(shí)，,故..記,則.當(dāng)時(shí),,在內(nèi)是減函數(shù).又.,即.當(dāng)時(shí),.去參數(shù)放縮所謂去參數(shù)放縮,就是在給出了參數(shù)取值范圍來(lái)證明不等式恒成立的題目中,把參數(shù)按取值范圍放縮為常數(shù).例如:已知參數(shù),證明恒成立,按去參數(shù)放縮可得,只需要證明即可.【例1】已知函數(shù),證明:當(dāng)時(shí),.【解析】證明:當(dāng)時(shí),.設(shè),則.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),是的最小值點(diǎn).當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.【例2】已知函數(shù),證明:當(dāng)時(shí),.【解析】證明；當(dāng)時(shí),令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增..因此.【例3】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí),證明:.【解析】證明：當(dāng)，時(shí)，,故只需證明當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù),在上為增函數(shù),且,.故在上有唯一實(shí)數(shù)根,且.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.從而當(dāng)時(shí),取得最小值.由得.故.綜上,當(dāng)時(shí),.去項(xiàng)放縮所謂去項(xiàng)放縮,就是直接去掉不等式兩邊的一些不影響不等式恒成立的確定項(xiàng),從而去除參數(shù)或者簡(jiǎn)化不等式,進(jìn)而快速得到證明.說(shuō)白了,就是簡(jiǎn)單粗暴地扔掉一些累贅,自然就簡(jiǎn)單了.比如要證明,如果能夠得到,則把直接扔掉,若成立,則不等式恒成立.【例1】已知函數(shù),若,證明:.【解析】證.明：由得,去項(xiàng)放縮:根據(jù),可直接放縮去掉含參項(xiàng),令,則,當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),設(shè)。,則.故函數(shù)在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.,即.故.【例2】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),證明：.【解析】證明：要證明,即證.當(dāng)時(shí),.去項(xiàng)放縮:只需證.設(shè),則.設(shè),則.在上是增函數(shù).又,存在,使得即.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.因此在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),有極小值,也是最小值,且最小值為因此,即.綜上,當(dāng)時(shí),.【例3】已知函數(shù).(1)設(shè)是的導(dǎo)函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性.(2)當(dāng)時(shí),求證:.【解析】(1)由已知.設(shè)..①當(dāng)時(shí),在上恒成立,在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)令得,得.在上單調(diào)遞減.在(上單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)(證明)由（1）題知,①當(dāng)時(shí).在上單調(diào)遞增.又,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增..②當(dāng)時(shí),.由(1)題