考研數(shù)學(xué)二矩陣

考研數(shù)學(xué)二矩陣1.【單項(xiàng)選擇題】A，B都是n階矩陣，下列命題中正確的是A.AB≠OA≠O且B≠O．B.如AB=O，則必有A=O或B=O．C.如AB=O，則|A|=0或|B|=0．D.如AB=B，則A=E．正確答案：C參考解析：

由行列式乘法公式|AB|=|A||B|

．當(dāng)AB=O時(shí)，有|A||B|=0所以|A|和|B|至少有一個(gè)為0，即(C)正確．

2.【單項(xiàng)選擇題】已知A是任意一個(gè)n階矩陣，則①A+AT；②A-AT；③AAT；④AA*；⑤ATA．上述矩陣中，對(duì)稱矩陣一共有A.2個(gè)．B.3個(gè)．C.4個(gè)．D.5個(gè)．正確答案：C參考解析：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT(AAT)T=(AT)TAT=AAT(ATA)T=AT(AT)T=ATAAA*=|A|E，所以①②③⑤均是對(duì)稱矩陣而(A-AT)T=AT-(AT)T=-(A-AT)是反對(duì)稱矩陣3.【單項(xiàng)選擇題】下列矩陣中，初等矩陣是A.B.C.D.正確答案：D參考解析：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣是初等矩陣，而(A)(B)(C)均需要單位矩陣作兩次初等變換才能得到．4.【單項(xiàng)選擇題】已知A是n階可逆矩陣，若A～B，則下列命題中①AB～BA，②A2～B2，③A-1～B-1，④AT～BT，正確的命題共有A.4個(gè)．B.3個(gè)．C.2個(gè)．D.1個(gè)．正確答案：A參考解析：由于矩陣A可逆，有

5.【單項(xiàng)選擇題】已知A，B，C均為n階矩陣，則運(yùn)算法則中錯(cuò)誤的是A.(A+B)+C=(C+B)+A．B.(AB)C=A(BC)．C.(A+B)C=AC+BC．D.A(B+C)=BA+CA．正確答案：D參考解析：矩陣加法有交換律、結(jié)合律，(A)正確．矩陣乘法有結(jié)合律，(B)正確．矩陣加法乘法有分配律，(C)正確．矩陣乘法沒有交換律，(D)錯(cuò)誤．6.【單項(xiàng)選擇題】A.OB.-EC.ED.E+αTα正確答案：C參考解析：7.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是(??)．A.若A，B可逆，則A+B可逆B.若A，B可逆，則AB可逆C.若A+B可逆，則A-B可逆D.若A+B可逆，則A，B都可逆正確答案：B參考解析：若A，B可逆，則|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，B正確。8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)=1，則(??)．A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正確答案：C參考解析：因?yàn)閞(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，選(C)．9.【單項(xiàng)選擇題】A.B=P1P2AB.B=P2P1AC.B=P2AP1D.B=AP2P1正確答案：D參考解析：10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)α為n階矩陣，且|A|=0，則A(??)．A.必有一列元素全為零B.必有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例C.必有一列是其余列向量的線性組合D.任一列都是其余列向量的線性組合正確答案：C參考解析：因?yàn)閨A|=0，所以r(A)<n，從而A的行個(gè)列向量線性相關(guān)，于是其列向量中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選(C)．11.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，下列結(jié)論不正確的是(??)．A.矩陣A與單位矩陣E合同B.矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù)C.存在可逆矩陣P，使PAP-1為對(duì)角陣D.存在正交陣Q，使QTAQ為對(duì)角陣正確答案：A參考解析：根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)，顯然(B)、(C)、(D)都是正確的，但實(shí)對(duì)稱矩陣不一定是正定矩陣，所以A不一定與單位矩陣合同，選(A)．12.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則(??)．A.當(dāng)m>n時(shí)，必有|AB|≠0B.當(dāng)m>n時(shí)，必有|AB|=0C.當(dāng)n>m時(shí)，必有|AB|≠0D.當(dāng)n>m時(shí)，必有|AB|=0正確答案：B參考解析：AB為m階矩陣，因?yàn)閞(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故當(dāng)m＞n時(shí)，r(AB)≤n＜m，于是|AB|=0，選B。13.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A，B都是n階可逆矩陣，則(??)．A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*-A*-B*D.(A+B)*一定可逆正確答案：B參考解析：因?yàn)?AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=|B|B-1·|A|A-1=B*A*，所以B正確。14.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n階矩陣，A2=A，則下列結(jié)論成立的是(??)．A.A=OB.A=EC.若A不可逆，則A=OD.若A可逆，則A=E正確答案：D參考解析：因?yàn)锳2=A，所以A(E-A)=0，由矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，則r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，選D。15.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n階方陣，B是A經(jīng)過若干次初等變換后所得到的矩陣，則有(??)．A.|A|=|B|B.|A|≠|(zhì)B|C.若|A|=0，則一定有|B|=0D.若|A|>0，則一定有|B|>0正確答案：C參考解析：因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩，所以若|A|=0，即r(A)<n，則r(B)<n，即|B|=0，應(yīng)選(C)．16.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，E是，n階單位矩陣，若AB=E，則(??)．A.B的行向量組線性無關(guān)B.B的列向量組線性無關(guān)C.A-1=BD.|AB|=|A||B|正確答案：B參考解析：由AB=E得，r(AB)=n，從而r(A)≥n，r(B)≥n，又r(A)≤n，r(B)≤n，所以r(A)=n，r(B)=n，故B的列向量組線性無關(guān)，應(yīng)選(B)．17.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A為n×m矩陣且r(A)=n(n<m)，則下列結(jié)論中正確的是(??)．A.若AB=AC，則A=CB.若BA=CA，則B=CC.A的任意n個(gè)列向量線性無關(guān)D.A的任意n個(gè)行向量線性相關(guān)正確答案：B參考解析：由BA=CA得(B-C)A=O，則r(A)+r(B-C)≤n，由r(A)=n得r(B-C)=0，故B=C，應(yīng)選(B)．18.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A是n(n≥3)階可逆方陣，下列結(jié)論正確的是（）．A.①②B.②③C.③④D.①②③④正確答案：D參考解析：19.【單項(xiàng)選擇題】A.B.-C.D.-正確答案：C參考解析：

20.【單項(xiàng)選擇題】A.當(dāng)k=1時(shí)，r(B)=1B.當(dāng)k=-3時(shí)，r(B)=1C.當(dāng)k=1時(shí)，r(B)=2D.當(dāng)k=-3時(shí)，r(B)=2正確答案：B參考解析：由AB=0知，r(A)+r(B)≤3．若k=1，則r(A)=1，故r(B)≤2，所以，r(B)=1或，r(B)=2，A，C不正確．若k=-3，則，r(A)=2，故r(B)≤3-r(A)=1，又B是非零矩陣，故r(B)≥1，從而r(B)=1．21.【單項(xiàng)選擇題】為（）．A.n=m=4B.n=5，m=4C.n=4，m=5D.n=m=5正確答案：A參考解析：P是初等矩陣，P左乘A，相當(dāng)于把A的第1，3行交換，故交換偶數(shù)次，相當(dāng)于不變，右乘A相當(dāng)于把A的第1，3列交換，同理交換偶數(shù)次，相當(dāng)于不變，故A正確．22.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：4【解析】23.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

24.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

25.【填空題】已知A3=O，則(E+A+A2)-1=．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：E-A【解析】

(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E26.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：將B的第一行元素分別與A的行對(duì)調(diào)m次，然后將B的第二行分別與A的行對(duì)調(diào)m次，如此下去直到B的最后一行與A的行對(duì)調(diào)m次，則26.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：將B的第一行元素分別與A的行對(duì)調(diào)m次，然后將B的第二行分別與A的行對(duì)調(diào)m次，如此下去直到B的最后一行與A的行對(duì)調(diào)m次，則27.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：由A*=|A|A-1得28.【填空題】設(shè)α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，則An=_______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：29.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：30.【填空題】A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要條件是_______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要條件是AB=BA．31.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：32.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：33.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：34.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：35.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：因?yàn)閨B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．36.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：37.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：38.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：39.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：40.【填空題】設(shè)A為四階可逆方陣，將A第3列乘3倍再與第1列交換位置，得到矩陣B，則B-1A=_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】41.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：2【解析】于是r(AB)=r(A)=2．42.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】43.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】44.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】45.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：2【解析】故r(A)=2．46.【填空題】若An=0，n為正整數(shù)，則(E-A)-1=_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：E+A+A2+…+An-1【解析】47.【填空題】設(shè)方陣A滿足A2-3A-2E=0，則A-1=_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】利用可逆矩陣的定義．

48.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】49.【填空題】設(shè)A是n階可逆矩陣，A的每行元素之和均為k，則A-1的每行元素之和均為_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】50.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：解找出An的規(guī)律．

51.【解答題】設(shè)n階矩陣A和B滿足條件AB=A+B.(1)證明A-E可逆.(2)求秩r(AB-BA+2E).(3)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(1)由AB=A+B有AB-B-A+E=E，即(A-E)B-(A-E)=E，從而(A-E)(B-E)=E．故矩陣A-E可逆．(2)因A-E可逆且(A-E)-1=B-E，有(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，即有AB=BA，于是r(AB-BA+2E)=r(2E)=n．(3)由(1)知(B-E)-1=A-E，52.【解答題】已知A是n階矩陣，證明A2=A的充分必要條件是r(A)+r(A-E)=n.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：53.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

54.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：A是對(duì)稱矩陣，將A拆成兩個(gè)矩陣，

55.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

56.【解答題】已知方陣A，B，(A+B)均可逆，求(A-1+B-1)-1.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：求抽象矩陣的逆，常用可逆的定義與(AB)-1=B-1A-1.57.【解答題】設(shè)A，B都是n階方陣，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B，證明：AB=BA．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：由已知，58.【解答題】設(shè)A為2n+1階正交矩陣，且|A|=1，證明：A-E不可逆．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：故|A-E|=0，所以A-E不可逆．59.【解答題】設(shè)n階方陣A，B，滿足A2=E，B2=E，且|A|+|B|=0，證明：A+B不可逆．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：由已知，只要證明|A+B|=0．由A2=E，B2=E，知|A2|=|A|2=|E|=1，及60.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：由AB+E=A2+B，可得AB-B=A2-E，則(A-E)B=A2-E．61.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：62.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

63.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：64.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

65.【解答題】正交矩陣．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：66.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：67.【解答題】設(shè)A為n階可逆矩陣，A2=|A|E．證明：A=A*．請(qǐng)查看答案解析