2024屆江蘇省南師大附中樹人學校數學九年級第一學期期末質量檢測模擬試題含解析

2024屆江蘇省南師大附中樹人學校數學九年級第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比為1：，則AB的長為A．12米 B．4米 C．5米 D．6米2．己知是一元二次方程的一個根，則的值為（）A．1 B．－1或2 C．－1 D．03．在一個不透明的盒子里，裝有4個黑球和若干個白球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別，搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復，共摸球40次，其中10次摸到黑球，則估計盒子中大約有白球（）A．12個 B．16個 C．20個 D．30個4．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一個解，則m的值是（）.A． B．2 C． D．1或25．教育局組織學生籃球賽，有x支球隊參加，每兩隊賽一場時，共需安排45場比賽，則符合題意的方程為（）A． B． C． D．6．如圖，某停車場人口的欄桿，從水平位置AB繞點O旋轉到A'B′的位置已知AO＝4m，若欄桿的旋轉角∠AOA′＝50°時，欄桿A端升高的高度是（）A． B．4sin50° C． D．4cos50°7．在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（）A． B． C． D．8．把Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍得到Rt△A′B′C′，對應銳角A，A′的正弦值的關系為()A．sinA＝3sinA′B．sinA＝sinA′C．3sinA＝sinA′D．不能確定9．某射擊運動員在訓練中射擊了10次，成績如圖所示：下列結論不正確的是（）A．眾數是8 B．中位數是8 C．平均數是8.2 D．方差是1.210．以下列長度的線段為邊，可以作一個三角形的是（）A． B． C． D．11．如圖，銳角△ABC的高CD和BE相交于點O，圖中與△ODB相似的三角形有（）A．1個B．2個C．3個D．4個12．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=1，與x軸交于A、B（-1,0），與y軸交于C．下列結論錯誤的是（）A．二次函數的最大值為a+b+c B．4a-2b+c﹤0C．當y＞0時，-1﹤x﹤3 D．方程ax2+bx+c=-2解的情況可能是無實數解，或一個解，或二個解.二、填空題（每題4分，共24分）13．點（5，﹣）關于原點對稱的點的坐標為__________．14．如圖，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是對角線BD的垂直平分線，分別交AD，BC于點EF，則ED的長為____________________________．15．一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他都相同的2個紅球和1個黃球，隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸岀一個，則兩次都摸到黃球的概率為__________．16．定義符號max{a，b}的含義為：當a≥b時，max{a，b}＝a；當a＜b時，max{a，b}＝b．如max{1，﹣3}＝1，則max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是_____．17．若，則＝____．18．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”，在△ABC中，AB=AC，若△ABC是“好玩三角形”，則tanB____________。三、解答題（共78分）19．（8分）拋物線的頂點為，且過點，求它的函數解析式.20．（8分）已知關于的一元二次方程．（1）若方程有實數根，求的取值范圍；（2）若方程的兩個實數根的倒數的平方和等于14，求的值．21．（8分）如圖，已知與⊙交于兩點，過圓心且與⊙交于兩點，平分.（1）求證：∽（2）作交于，若，，求的值.22．（10分）已知是一張直角三角形紙片，其中，，小亮將它繞點逆時針旋轉后得到，交直線于點.（1）如圖1，當時，所在直線與線段有怎樣的位置關系？請說明理由.（2）如圖2，當，求為等腰三角形時的度數.23．（10分）“十一”黃金周期間，我市享有“江南八達嶺”美譽的江南長城旅游區(qū)，為吸引游客組團來此旅游，特推出了如下門票收費標準：標準一：如果人數不超過20人，門票價格60元/人；標準二：如果人數超過20人，每超過1人，門票價格降低2元，但門票價格不低于50元/人．（1）若某單位組織23名員工去江南長城旅游區(qū)旅游，購買門票共需費用多少元？（2）若某單位共支付江南長城旅游區(qū)門票費用共計1232元，試求該單位這次共有多少名員工去江南長城旅游區(qū)旅游？24．（10分）如圖，從一塊長80厘米，寬60厘米的鐵片中間截去一個小長方形，使截去小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，并且剩下的長方框四周的寬度一樣，求這個寬度．25．（12分）已知二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m為常數）．（1）求證：不論m為何值，該二次函數的圖像與x軸總有兩個公共點；（2）將該二次函數的圖像向下平移k（k＞0）個單位長度，使得平移后的圖像經過點（0，－2），則k的取值范圍是．26．如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，點E從點A出發(fā)，沿射線AD移動，以CE為直徑作圓O，點F為圓O與射線BD的公共點，連接EF、CF，過點E作EG⊥EF，EG與圓O相交于點G，連接CG．（1）試說明四邊形EFCG是矩形；（2）當圓O與射線BD相切時，點E停止移動，在點E移動的過程中，①矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由；②求點G移動路線的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】試題分析：在Rt△ABC中，BC=6米，，∴AC=BC×=6（米）.∴（米）.故選A.【題目詳解】請在此輸入詳解！2、C【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．即把x=2代入方程求解可得m的值．【題目詳解】把x=2代入方程(m﹣2)x2+4x﹣m2=0得到(m﹣2)+4﹣m2=0，解得：m=﹣2或m=2．∵m﹣2≠0，∴m=﹣2．故選：C．【題目點撥】本題考查了一元二次方程的解的定義，解題的關鍵是理解一元二次方程解的定義，屬于基礎題型．3、A【解題分析】∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，∴有10次摸到白球．∴摸到黑球與摸到白球的次數之比為1：1．∴口袋中黑球和白球個數之比為1：1．∴4×1=12（個）．故選A．考點：用樣本估計總體．4、B【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x=1代入mx2–2=0可得關于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案.【題目詳解】∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一個解，∴m-2=0，解得：m=2，故選：B.【題目點撥】本題考查一元二次方程的解的定義，把求未知系數的問題轉化為方程求解的問題，能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解；熟練掌握定義是解題關鍵.5、A【分析】先列出x支籃球隊，每兩隊之間都比賽一場，共可以比賽x（x-1）場，再根據題意列出方程為．【題目詳解】解：∵有x支球隊參加籃球比賽，每兩隊之間都比賽一場，

∴共比賽場數為，

故選：A．【題目點撥】本題是由實際問題抽象出一元二次方程，主要考查了從實際問題中抽象出相等關系．6、B【分析】過點A'作AO的垂線,則垂線段為高度h,可知AO=A'O,則高度h=A'O×sin50°，即為答案B.【題目詳解】解：欄桿A端升高的高度＝AO?sin∠AOA′＝4×sin50°，故選：B．【題目點撥】本題的考點是特殊三角形的三角函數.方法是熟記特殊三角形的三角函數.7、B【分析】利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值即可．【題目詳解】：∵Rt△ABC中，cosA=，

∴sinA==，

故選B．【題目點撥】本題考查了同角三角函數的關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握同角三角函數的關系是解題的關鍵．8、B【解題分析】根據相似三角形的性質，可得∠A=∠A′，根據銳角三角函數的定義，可得答案．【題目詳解】解：由Rt△ABC各邊的長度都擴大3倍的Rt△A′B′C′，得

Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

∠A=∠A′，sinA=sinA′

故選：B．【題目點撥】本題考查了銳角三角函數的定義，利用相似三角形的性質得出∠A=∠A′是解題關鍵．9、D【分析】首先根據圖形數出各環(huán)數出現(xiàn)的次數，在進行計算眾數、中位數、平均數、方差.【題目詳解】根據圖表可得10環(huán)的2次，9環(huán)的2次，8環(huán)的3次，7環(huán)的2次，6環(huán)的1次.所以可得眾數是8，中位數是8，平均數是方差是故選D【題目點撥】本題主要考查統(tǒng)計的基本知識，關鍵在于眾數、中位數、平均數和方差的概念.特別是方差的公式.10、B【分析】根據三角形的三邊關系定理逐項判斷即可.【題目詳解】A、，不滿足三角形的三邊關系定理，此項不符題意B、，滿足三角形的三邊關系定理，此項符合題意C、，不滿足三角形的三邊關系定理，此項不符題意D、，不滿足三角形的三邊關系定理，此項不符題意故選：B.【題目點撥】本題考查了三角形的三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，熟記定理是解題關鍵.11、C【解題分析】試題解析：∵∠BDO=∠BEA=90°，∠DBO=∠EBA，∴△BDO∽△BEA，∵∠BOD=∠COE，∠BDO=∠CEO=90°，∴△BDO∽△CEO，∵∠CEO=∠CDA=90°，∠ECO=∠DCA，∴△CEO∽△CDA，∴△BDO∽△BEA∽△CEO∽△CDA．故選C．12、D【分析】A.根據對稱軸為時，求得頂點對應的y的值即可判斷；B.根據當時，函數值小于0即可判斷；C.根據拋物線與軸的交點坐標即可判斷．D.根據拋物線與直線的交點情況即可判斷.【題目詳解】A.∵當時，，根據圖象可知，，正確．不符合題意；B.∵當時，，根據圖象可知，，正確．不符合題意；C.∵拋物線是軸對稱圖形，對稱軸是直線，點，所以與軸的另一個交點的坐標為，根據圖象可知：當時，，正確．不符合題意；D.根據圖象可知：拋物線與直線有兩個交點，∴關于的方程有兩個不相等的實數根，本選項錯誤，符合題意．故選：D．【題目點撥】本題考查了二次函數與系數的關系、根的判別式、拋物線與x軸的交點，掌握二次函數的性質、二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、（-5，）【分析】讓兩點的橫縱坐標均互為相反數可得所求的坐標．【題目詳解】∵兩點關于原點對稱，∴橫坐標為-5，縱坐標為，故點P（5，?）關于原點對稱的點的坐標是：（-5，）．故答案為：（-5，）．【題目點撥】此題主要考查了關于原點對稱的坐標的特點：兩點的橫坐標互為相反數；縱坐標互為相反數．14、【分析】連接EB，構造直角三角形，設AE為，則，利用勾股定理得到有關的一元一次方程，即可求出ED的長．【題目詳解】連接EB，

∵EF垂直平分BD，

∴ED=EB，

設，則，

在Rt△AEB中，

，

即：，

解得：．∴，

故答案為：．【題目點撥】本題考查了矩形的性質，線段的垂直平分線的性質和勾股定理，正確根據勾股定理列出方程是解題的關鍵．15、【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到黃球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【題目詳解】畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩次都摸到黃球的有1種結果，

∴兩次都摸到黃球的概率為；

故答案為：．【題目點撥】此題考查列表法或樹狀圖法求概率．解題關鍵在于掌握注意畫樹狀圖與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．16、1【分析】根據題意，利用分類討論的方法、二次函數的性質和一次函數的性質可以求得各段對應的最小值，從而可以解答本題．【題目詳解】∵(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=x2+4x﹣5=(x+5)(x﹣1)，∴當x=﹣5或x=1時，(x2+2x+3)﹣(﹣2x+8)=0，∴當x≥1時，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥1，當x≤﹣5時，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=x2+2x+3=(x+1)2+2≥18，當﹣5＜x＜1時，max{x2+2x+3，﹣2x+8}=﹣2x+8＞1，由上可得：max{x2+2x+3，﹣2x+8}的最小值是1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查了二次函數的性質、二次函數的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和分類討論的方法解答．17、【解題分析】根據比例的性質進行求解即可.【題目詳解】∵，∴設a=3k，b=5k，∴＝，故答案為：．【題目點撥】本題考查了比例的性質，熟練掌握是解題的關鍵.18、1或【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題．【題目詳解】①如圖1中，取BC的中點H，連接AH．∵AB=AC，BH=CH，∴AH⊥BC，設BC=AH=1a，則BH=CH=a，∴tanB==1．②取AB的中點M，連接CM，作CN⊥AM于N，如圖1．設CM=AB=AC=4a，則BM=AM=1a，∵CN⊥AM，CM=CA，∴AN=NM=a，在Rt△CNM中，CN=，∴tanB=，故答案為1或．【題目點撥】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質、“好玩三角形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．三、解答題（共78分）19、【分析】已知拋物線的頂點，故可設頂點式，由頂點可知，將點代入即可.【題目詳解】解：設將點代入得解得所以【題目點撥】本題考查了拋物線的解析式，由題中所給點的特征選擇合適的拋物線的解析式的設法是解題的關鍵.20、（1）且；（2）【分析】(1)根據方程有實數根得出，且解之可得；

(2)利用根與系數的關系可用k表示出的值，根據條件可得到關于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍．【題目詳解】解：(1)由于是一元二次方程且有實數根，所以，即，且∴且(2)設方程的兩個根為，則，∴整理，得解得根據(1)中且，得.【題目點撥】此題主要考查了根的判別式和根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．21、（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意可得∠BOE=∠AOC=∠D，且∠A=∠A，即可證△ACD∽△ABO；（2）由切線的性質和勾股定理可求CD的長，由相似三角形的性質可求AE=，由平行線分線段成比例可得，即可求EF的值．【題目詳解】證明：（1）∵平分∴又∵所對圓心角是，所對的圓周角是∴∴又∵∴∽（2）∵，∴∵，∴∵，∴∵∽∴∴，∴，∵，∴∽∴∴∴【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓的有關知識，勾股定理，求出AE的長是本題的關鍵．22、（1）BD與FM互相垂直，理由見解析；（2）β的度數為30°或75°或120°．【分析】（1）由題意設直線BD與FM相交于點N，即可根據旋轉的性質判斷直線BD與線段MF垂直；（2）根據旋轉的性質得∠MAD=β，分類討論：當KA=KD時，根據等腰三角形的性質得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當DK=DA時，根據等腰三角形的性質得∠DKA=∠DAK，然后根據三角形內角和可計算出∠DAK=75°，即β=75°；當AK=AD時，根據等腰三角形的性質得∠AKD=∠D=30°，然后根據三角形內角和可計算出∠KAD=120°，即β=120°．【題目詳解】解：（1）BD與FM互相垂直，理由如下設此時直線BD與FM相交于點N∵∠DAB=90°，∠D=30°∴∠ABD=90°-∠D=60°，∴∠NBM=∠ABD=60°由旋轉的性質得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°-60°=90°∴BD與FM互相垂直（2）當KA=KD時，則∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當DK=DA時，則∠DKA=∠DAK，∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；當AK=AD時，則∠AKD=∠D=30°，∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，綜上所述，β的度數為30°或75°或120°．【題目點撥】本題考查作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．應用分類討論思想和等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．23、（1）112；（2）22【分析】（1）利用單價＝原價﹣2×超出20人的人數，可求出22人去旅游時門票的單價，再利用總價＝單價×數量即可求出結論；（2）設該單位這次共有x名員工去江南長城旅游區(qū)旅游，利用數量＝總價÷單價結合人數為整數可得出20＜x≤27，由總價＝單價×數量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【題目詳解】解：（1）60﹣2×（23﹣20）＝54（元/人），54×23＝1452（元）．答：購買門票共需費用112元．（2）設該單位這次共有x名員工去江南長城旅游區(qū)旅游，∵1232÷60＝20（人），1232÷50＝1，∴20＜x≤1．依題意，得：x[60﹣2（x﹣20）]＝1232，整理，得：x2﹣50x+616＝0，解得：x1＝22，x2＝28（不合題意，舍去）．答：該單位這次共有22名員工去江南長城旅游區(qū)旅游．【題目點撥】本題考查一元二次方程的應用,關鍵在于理解題意找到等量關系.24、長方框的寬度為10厘米【分析】設長方框的寬度為x厘米，則減去小長方形的長為（80﹣2x）厘米，寬為（60﹣2x）厘米，根據長方形的面積公式結合截去小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．【題目詳解】解：設長方框的寬度為x厘米，則減去小長方形的長為（80﹣2x）厘米，寬為（60﹣2x）厘米，依題意，得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，整理，得：x2﹣70x+600＝0，解得：x1＝10，x2＝60（不合題意，舍去）．答：長方框的寬度為10厘米．【題目點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25、（1）證明見解析；（2）k≥.【分析】（1）根據判別式的值得到△=（2m－1）2＋3＞0，然后根據判別式的意義得到結論；

（2）把（0，－2）帶入平移后的解析式，利用配方法得到k=(m+)2+，即可得出結果.【題目詳解】（1）證：當y=0時x2－2mx＋m2＋m－1＝0∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）＝8m2－4m2－4m＋4＝4m2－4m＋4＝（2m－1）2＋3＞0∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有兩個不相等的實數根∴二次函數y＝x2－2mx＋m2＋m－1圖像與x軸有兩個公共點（2）解：平移后的解析式為:y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,過(0,-2),∴-2=0-0+m2+m-1-k,∴k=m2+m+1=(m+)2+,∴k≥.【題目點撥】本題考查了二次函數圖象與幾何變換以及圖象與x軸交點個數確定方法，能把一個二次三項式進行配方是解題的關鍵．26、（1）證明見解析；（2）①存在，矩形EFCG的面積最大值為12，最小值為；②．【解題分析】試題分析：（1）只要證到三個內角等于90