2022-2023學(xué)年湖南省益陽市安化縣第十三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省益陽市安化縣第十三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）A．20 B．21 C．200 D．210參考答案：D【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的s，i的值，當(dāng)i=21時(shí)，滿足條件i＞20，退出循環(huán)，輸出s的值為210．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有s=0，i=1s=1，i=2，不滿足條件i＞20，s=3，i=3，不滿足條件i＞20，s=6，i=4，不滿足條件i＞20，s=10，i=5，不滿足條件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，i=6，不滿足條件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，…觀察規(guī)律可知，i=20，不滿足條件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，i=21，滿足條件i＞20，退出循環(huán)，輸出s的值為210．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了程序框圖和算法，等差數(shù)列的求和，屬于基本知識的考查．2.若為銳角，且，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.的展開式中的系數(shù)為（

）（A）25

（B）5

（C）15

（D）20參考答案：C，含有項(xiàng)的構(gòu)成為，故選C．4.設(shè)命題，則為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C根據(jù)全稱命題的否定,選C.5.，則的值等于

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.等差數(shù)列中，如果，，則數(shù)列前9項(xiàng)的和為(

)(A)297

(B)144

(C)99

(D)66參考答案：C略7.函數(shù)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c（b≠1），且、都是方程的根，則△ABC（）A．是等腰直角三角形B．是等腰三角形但不是直角三角形C．是直角三角形但不是等腰三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形參考答案：C【考點(diǎn)】GZ：三角形的形狀判斷．【分析】先求出對數(shù)方程的根，然后建立等式關(guān)系，根據(jù)sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的公式進(jìn)行化簡整理可得cosB=0，從而得到三角形形狀，得到結(jié)論．【解答】解：∵∴x2=4x﹣4解得x=2∵、都是方程的根∴==2∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+2sinAcosA=2sinAcosA即sinAcosB=0∴cosB=0即B=90°，A=30°，C=60°∴△ABC是直角三角形但不是等腰三角形故選C【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的形狀判斷以及對數(shù)方程的綜合題，以及兩角和與差的運(yùn)用，同時(shí)考查了計(jì)算化簡能力，屬于中檔題．9.過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓所截得的弦長為A．

B．2

C．

D．參考答案：D略10.設(shè)P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱<4｝，則A. B. C. D.

參考答案：B本題考查集合間的基本關(guān)系。Q=｛x︱｝，所以。選B。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點(diǎn)O、F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn)，則的最大值為 參考答案：6略12.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是_______.參考答案：813.若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是__________．參考答案：4做出不等式對應(yīng)的可行域，由得，作直線，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，最小為。如圖14.已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（x+1）．若f（a）=﹣2，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由題設(shè)知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）不可能為負(fù)，故應(yīng)求出x＜0時(shí)的解析式，代入f（a）=﹣2，求a的值．【解答】解：令x＜0，則﹣x＞0，所以f（﹣x）=﹣x（1﹣x），又f（x）為奇函數(shù)，所以當(dāng)x＜0時(shí)有f（x）=x（1﹣x），令f（a）=a（1﹣a）=﹣2，得a2﹣a﹣2=0，解得a=﹣1或a=2（舍去）．故應(yīng)埴﹣1【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，用奇偶性這一性質(zhì)求對稱區(qū)間上的解析式，這是函數(shù)奇偶性的一個(gè)重要應(yīng)用．15.程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸入結(jié)果是_______。參考答案：127解析：根據(jù)流程圖可得的取值依次為1、3、7、15、31、63……16.如圖，在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是線段AA1的中點(diǎn)，M是平面BB1D1D內(nèi)的點(diǎn)，則|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，則點(diǎn)M在平面BB1D1D內(nèi)形成的軌跡的面積等于

．參考答案：【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】運(yùn)動思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）由圖形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距離與C到平面BB1D1D的距離相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；（2）設(shè)點(diǎn)E在平面BB1D1D的射影為O，則EO=AC=，令ME=1，則△EMO是直角三角形，所以點(diǎn)M在平面BB1D1D上的軌跡為圓，有勾股定理求得OM=，即點(diǎn)M的軌跡半徑為，代入圓面積公式即可求得面積．【解答】解：連接AC交BD于N，連接MN，MC，則AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，連接EC，∴線段EC的長就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．過E作平面BB1D1D的垂線，垂足為O，則EO=AN=AC=，令EM=1，則M的軌跡是以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑的圓，∴OM==，∴S=π?（）2=．故答案為，【點(diǎn)評】本題考查了空間幾何中的最值問題，找到MA與MC的相等關(guān)系是本題的關(guān)鍵．17.如圖，已知F1、F2是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=alnx+，a∈R．（1）若f（x）的最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥﹣e1﹣x恒成立．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a分類分析，可知當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）的最小值不為0；當(dāng)a＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，可得原函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，由最小值為0進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求得a值；（2）通過構(gòu)造函數(shù)h（x）=2lnx+，問題轉(zhuǎn)化為證明h′（x）＞0恒成立，進(jìn)而再次構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，整理即得結(jié)論．【解答】（1）解：∵f（x）=alnx+=alnx+，∴f′（x）=（x＞0）．當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）的最小值不為0；當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）==．當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)，∴=，令g（a）=，則g′（a）=（a＞0）．當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，g′（a）＞0；當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，g′（a）＜0，∴g（a）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，則g（a）max=g（2）=0．∴f（x）的最小值為0，實(shí)數(shù)a的值為2；（2）證明：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2lnx+，x＞1，令h（x）=f（x）﹣+e1﹣x=2lnx+，則h′（x）==，記q（x）=2x2+x﹣2﹣x3e1﹣x，則q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x，∵x＞1，0＜e1﹣x＜1，∴當(dāng)1＜x＜3時(shí)，q′（x）＞4x+1+x2（x﹣3）=x3﹣3x2+4x+1＞0，又∵當(dāng)x≥3時(shí)，q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x＞0，∴當(dāng)x＞1時(shí)，q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x＞0恒成立，∴q（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，q（x）＞q（1）=2+1﹣2﹣1=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（1）=0+1﹣1﹣1+1=0，即當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥﹣e1﹣x恒成立．19.已知二次函數(shù)滿足條件，及。（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在上的最值。參考答案：20.（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）設(shè)bn=an+3，證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式an．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．【分析】（1）由Sn=2an﹣3n（n∈N+）．能求出a1，a2，a3的值．（2）由Sn=2an﹣3×n，求出an+1=2an+2，從而能證明數(shù)列{bn}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出通項(xiàng)公式an．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an﹣3n（n∈N+）．∴n=1時(shí)，由a1=S1=2a1﹣3×1，解得a1=3，n=2時(shí)，由S2=2a2﹣3×2，得a2=9，n=3時(shí)，由S3=2a3﹣3×3，得a3=21．（2）∵Sn=2an﹣3×n，∴Sn+1=2an+1﹣3×（n+1），兩式相減，得an+1=2an+2，*把bn=an+3及bn+1=an+1+3，代入*式，得bn+1=2bn，（n∈N*），且b1=6，∴數(shù)列{bn}是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴bn=6×2n﹣1，∴．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列中前3項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．21.設(shè)數(shù)列{an}是前n項(xiàng)和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a1?a2；（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，當(dāng)n=2時(shí)，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，則a2=2，則a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，則an=﹣an﹣1，即=﹣1，即數(shù)列{an}為公比q=﹣1的等比數(shù)列．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的證明，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．22.（本小題滿分12分）某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試。已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會，兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書。現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績合格的概率均為，科目B每次考試成績合格的概率均為.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.（Ⅰ）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；（Ⅱ）在這項(xiàng)考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會，記他參加考試的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望E.參考答案：解析：設(shè)“科目第一次考試合格”為事件，“科目補(bǔ)考合格”為事件；“科目第一次考試合格”為事件，“科目補(bǔ)考合格”為事件.

(Ⅰ)不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為,注意到與相互獨(dú)立，則.答：該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為.(Ⅱ)由已知得，，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥