立體幾何中的向量方法(一)

第7講立體幾何中的向量方法（一）【2014年高考會這樣考】1．通過線線、線面、面面關(guān)系考查空間向量的坐標運算．2．利用空間向量解決直線、平面的平行與垂直問題．3．利用空間向量求空間距離.考點梳理(1)數(shù)量積的坐標運算：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝_______________.(2)共線與垂直的坐標表示：設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?_________，_________，_______________，a⊥b?a·b＝0?_________________(a，b均為非零向量)．1．空間向量的坐標表示及運算a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb3(λ∈R)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0非零向量v1∥v2存在兩個實數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u2v1⊥v2v1·v2v∥uu1⊥u2u1·u2＝0一種思想用坐標表示向量是對空間向量大小和方向的量化：(1)以原點為起點的向量，其終點坐標即向量坐標；(2)向量坐標等于向量的終點坐標減去其起點坐標．得到向量坐標后，可通過向量的坐標運算解決平行、垂直等位置關(guān)系，計算空間成角和距離等問題．【助學(xué)·微博】1．(2013·西安模擬)與向量a＝(1，－3,2)平行的一個向量的坐標為 (

)．考點自測答案

CA．α∥β B．α⊥βC．α、β相交但不垂直

D．以上均不正確答案

C2．(人教A版教材習(xí)題改編)若平面α，β的法向量分別為n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則 (

)．答案

C①若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則n1∥n2?α∥β；②若n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a與α共面，則n·a＝0；④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．答案①②③④4．下列命題中，所有正確命題的序號為________．5．如圖所示，在空間直角坐標系中，有一棱長為a的正方體ABCO－A′B′C′D′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為________．【例1】?如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD.考向一利用空間向量證明平行問題

法一是建立坐標系，通過坐標運算證明結(jié)論，法二和法三沒有建系，直接通過向量的分解等運算進行證明，當然在法二和法三中也可通過建立坐標系，利用坐標運算來證明．【訓(xùn)練1】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．求證：PB∥平面EFG.證明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD為正方形，∴AB、AP、AD兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0)．【例2】?(2012·天津)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1. (1)證明：PC⊥AD； (2)求二面角A-PC-D的正弦值； (3)設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．考向二利用空間向量證明垂直問題[審題視點]直接用向量法解決，即建系求點坐標、求向量坐標，用向量知識解決．

用向量法解答這類題要做到以下幾點：①建系要恰當，建系前必須證明圖形中有從同一點出發(fā)的三條兩兩垂直的直線，如果圖中沒有現(xiàn)成的，就需進行垂直轉(zhuǎn)化；②求點的坐標及有關(guān)計算要準確無誤，這就需要在平時加強訓(xùn)練；③步驟書寫要規(guī)范有序．【訓(xùn)練2】如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.考向三利用空間向量求空